Топологические замечания

Топологические замечания. Как простую иллюстрацию топологической ситуации, часто встречающейся в более сложной форме, рассмотрим частицу, движущуюся [c.203]

Замечания. 1. Топологическое различие главных семейств (9) при а =—1 и п=—3 наблюдается только при нулевом значении параметра см., с одной стороны, рис. 13 и, с другой стороны, рисунки- 14 6, 14 е, отличающиеся структурой множества 0-кривых. [c.30]

Замечания. 1. Теорема о ж,есткости навязывает некоторую гладкость сопрягающему отображению, которое по определению было лишь гомеоморфизмом. Поэтому для отображений, осуществляющих лишь топологическую, а не гладкую эквивалентность семейств диффеоморфизмов, удалось провести те же построения, что и для гладких отображений в п. 5.9. [c.78]

Замечание 4.1. Из проведенных рассуждений следует, что система (4.2) при выполнении условий предыдущей теоремы имеет хотя бы одно периодическое решение с единичным периодом. Действительно, при достаточно больших с множество и (л , у) с представляет собой, как легко видеть, замкнутый топологический круг. Так как при преобразовании Т этот круг переходит в себя, то из теоре.чы Брауэра и следует наше утверждение. [c.68]

Замечание 3.6. Согласно определению эффективного потенциала Ус т) 7о( г) /г, где Н — начальное значение полной механической энергии. Поэтому неравенство Ус г) к определяет в пространстве конфигураций область возможности движения при данных значениях с постоянных первых интегралов и данного начального значения к полной механической энергии. Топологический тип этих областей изменяется на поверхностях (с /г) Е X), где Е = Ед и Е1 и Е2. .., [c.83]

Замечание 2. Поскольку система (1.24),(1.25) на плоскости имеет три топологически различных типа фазового портрета, для исследования системы (1.31),(1.32) в каждой из областей ее параметров используется свой топологический тип (см. также главу 4 и ил. 3—5). [c.95]

Замечание 1. Количество траекторий, уходящих на бесконечность, определяется через топологический тип бесконечно удаленной особой точки. В частности, в системах (1.24),(1.25), [c.109]

Замечание. По всей видимости, лишь в локальном случае отношение топологической сопряженности является конструктивным, поскольку в глобальном случае это влечет наличие очень жестких условий. [c.146]

Топологическая классификация фазовых портретов системы. Замечания об относительной структурной устойчивости. Фазовый портрет системы (1.24),(1.25) реализуется в трех различных топологических типах. [c.204]

Некоторые предварительные замечания относительно возможной топологической структуры простых состояний равновесия. Рассмотрим систему (1), предполагая, как и выше, что состояние равновесия О (О, 0) является простым (т. е. Д О, так что ни один из корней и Яг не равен нулю). [c.145]

Общие замечания. Ввиду отсутствия регулярных эффективных методов, с помощью которых можно было бы во всех конкретных примерах установить топологическую структуру, и ввиду того, что частные приемы, о которых мы говорили в 12, далеко не всегда приводят к цели, естественно обратиться к вычислительным методам. [c.249]

Замечание. Если топологическое отображение Т сохраняет ориентацию и направление по 1, то ю-орбитно-неустойчивая траектория отображается в ю-орбитно-неустойчивую и а-орбитно-неустойчивая — в а-орбитно-неустойчивую. [c.260]

Принимая во внимание замечание к лемме 2, дуги Я1 и Я всегда могут быть взяты так, чтобы сектор целиком лежал в О), а — в О ). Установим топологическое отображение четырехугольника Г1 на четырехугольник Г, при котором траектории переводятся в траектории и сохраняется заданное топологическое соответствие между точками дуг Я и Я и точками дуг полутраекторий и 1/ +, и входящих в границы [c.342]

Замечание 1. Из доказанной теоремы, в частности, следует, что существует топологическое отображение друг па друга любых двух канонических окрестностей данного состояния равновесия, при котором траектории отображаются в траектории и сохраняется ориентация и направ-ление по I. [c.355]

Замечание 2. Пусть заранее задано топологическое отображение канонических кривых Е и Е друг на друга, при котором соответствующие друг другу по схеме дуги этих кривых, а также соответствующие [c.355]

Из замечания 1, очевидно, следует, что в случае конечного числа особых траекторий всякое состояние равновесия имеет определенную топологическую структуру в смысле определения, данного в 5, и что локальная схема описывает топологическую структуру состояния равновесия. При этом очевидно (см. лемму 7 18), что когда схемы двух состояний равновесия различны, то различны и их топологические структуры. [c.356]

Замечание. Пусть заранее задано топологическое отображение траекторий Ь Ь друг на друга, при котором сохраняется направление по I, тогда топологическое отображение замкнутых канонических окрестностей и, обладающее указанными в теореме свойствами, всегда может быть построено таким образом, чтобы в точках траекторий Ь и Ь оно совпадало с этим заданным отображением. [c.361]

После этих предварительных общих замечаний перейдем к подробному доказательству основной теоремы. Отметим прежде всего, что топологическая тождественность разбиения на траектории соответствующих друг другу по схеме канонических окрестностей доказана в теореме 72, а топологическая тождественность областей типа Наш и Sa , оо и после элементарного проведения вспомогательных дуг (в случае областей Еаю этими дугами являются дуги траекторий, соединяющие циклы без контакта, а в случае Zoo эти дуги являются дугами без контакта, соединяющими граничные замкнутые кривые, существующие в силу леммы 7 19) сводится к лемме 8 18 (о топологической тождественности разбиений элементарных четырехугольников). [c.490]

Замечание 3. Если Ь, больше максимума и на конфигурационном пространстве, то метрика ф не имеет особенностей. Поэтому мы можем применить топологические теоремы о геодезических на римановых многообразиях к изучению механических задач. [c.217]

Замечание. Минимальное множество потока фе Х Х изоморфно специальному потоку (с непостоянной функцией) над некоторым транзитивным символическим каскадом (вообще говоря, не над топологической цепью Маркова), так как всякий одномерный поток, разделяющий траектории, обладает этим свойством (см. 2]). [c.126]

Замечание. Специальные потоки устроены достаточно просто, поэтому справедливость утверждений (а) и (Ь) можно было бы доказать, не прибегая так часто к общим (н более сложным) результатам, касающимся топологического давления. [c.155]

Замечание. В случае растягивающего отображения Е , так же как и для топологической цепи Маркова сг , можно показать, что периодические точки образуют (п, е )-отделенное множество для некоторого Это позволяет нам получить неравенство /г, р р одним и тем же способом для всех трех случаев. [c.134]

Замечание. Обратное утверждение в общем случае неверно (см. упражнение 4.2.2). Однако оно верно при предположении, что преобразование / топологически транзитивно (см. упражнение 4.1.5). [c.150]

Замечание. Очевидно, что если непрерывное отображение / обладает перемешивающей инвариантной мерой fi, то —топологическое [c.161]

В предыдущих параграфах мы видели, что основные свойства, связанные со статистическим поведением орбит, а именно наличие возвращения для почти всех относительно инвариантной меры точек, эргодичность, строгая эргодичность и перемешивание, могут рассматриваться как более сильные количественные аналоги качественных свойств, описывающих возвращение, а именно возвращения орбит, топологической транзитивности, минимальности и топологического перемешивания соответственно (см. предложение 4.1.18 и замечание после определения 4.2.8). Теперь рассмотрим статистический аналог глобального инварианта скорости роста орбит — топологической энтропии. Это число называется энтропией сохраняющего меру преобразования или энтропией относительно инвариантной меры (см. определения 4.3.7 и 4.3.9). В случае эргодической меры энтропия может быть определена, подобно ее топологическому аналогу, как показатель экспоненциальной скорости роста числа статистически значимых отрезков орбит, различимых с произвольно хорошей, но конечной точностью ]. [c.170]

Пусть сначала состояние равновесия О есть топологический узел (случай 1) предыдущего пункта. В силу замечания к лемме 3 18 в зтом случае существует Eq >- О такое, что при любом е < ео можно провести целиком лежащий в окрестности U (О) цикл без контакта, содержащий состояние равновесия О внутри себя. Такой цикл без контакта мы будем в рассматриваемом случае называть <(канонпческой замкнутой кривой состояния равновесия О. [c.350]

Замечание. Если заранее задано топологическое отображение канонических кривых Е и Е, при котором соответствующие друг другу по схеме канонические дуги и соответствующие друг другу но схеме концы их отображаются друг в друга, то всегда существует отобрагкение [c.360]

Нам остается теперь псрс11ти от системы (А,) к исходной системе (А), применив лемму 1 и замечание 1. Из этой леммы и замечания следует, что в рассматриваемом случае, т. е. при п<Ст, п =7 О и 02,11-1 <С О состояние равновесия О (О, 0) системы (А) является топологически.м узлом, если п четно, состоянием равновесия с эллиптической областью, если к —нечетно. При этом если > О (Ьп < 0), то эллиптическая область расположена ниже (выше) гиперболической (Грис. 239) для случая > 0). [c.401]

Замечание I. Предположим, что задано топологическое отображение двух континуумов К п с одинаковыми локал1>иыми схемами (при котором точки траекторий, соответствующих друг другую ио схеме, отображаются друг в друга), и прп этол направление на траекториях сохраняется. Кроме того, предположим, что м( жду точками циклов без контакта С и С тоже задано топологическое отображение, прп котором согласованные с направлепием по I обходы этих циклов сохраняются (т. о. когда цикл С обходится в наиравлении. согласованном с направлением по I, то соответствующие ио заданному отоб])а г сншо точкп обходят [c.431]

ЦИКЛ с также в направлении, согласованном с направлением по t). Тогда топологическое отображение замкнутых канонических областей у и Y всегда может быть построено таким образом, чтобы заданное соответствие между точками континуумов и и циклов без контакта С и С сохранялось. Для этого, очевидно, концы М и М дуг и л нужно взять в точках, соответствующих по заданному отображению точкам Mi и М, а между точками отрезков без контакта Л и X нулчно брать соответствие, индуцированное соответствием, заданным меледу точками циклов без контакта С и С. Наконец, устанавливая отображение между элементарными четырехугольниками и седловыми областями, соответствующими друг другу по схеме, нужно сохранить заданное соответствие в точках этих замкнутых областей, принадлежащих континуумам /(lJ и (см. замечание к леммам главы VHI, устанавливающим тожде-ствеппость элементарных областей). Аналогичное замечание справедливо и в случае, когда рассматриваются а-предельные континуумы Kt. и пли 0-предельные континуумы и [c.432]

Справедливость второго утверждения теоремы в случае, когда континуумы А и являются свободными, непосредственно следует из теоремы 72. В случае, когда континуумы и являются несвободными сз- или а-предельными континуумами, всегда можно в силу условия 4) тождественности схем установить такое тонологическое соответствие между точками циклов без контакта С и С, при котором точкп пересечения с этими циклами полутраекторий ( ), ( ) и ( ), ( ), соответствующих друг другу по схеме, соответствуют друг другу. В силу замечания к теореме 72 существует топологическое отображение замкнутых канонических областей у и у друг на друга, прп котором установленное соответствие между точками циклов С и С сохраняется. Таким образом, теорема доказана. [c.446]

Замечание. В случае свободных коптинуумоп Ю п А топологическое отображение замкнутых канонических областей у и у всегда может быть взято таким, чтобы при этом осуществилось любое заданное соответствие между точками циклов без контакта С и С (сохраняющее согласованное с направлением но I направление обхода кривых С и С ). [c.447]

Замечание 1. Предположим, что заранее задано топологическое соответствие Т между точками дуг а и а (или Ь и Ь ), при котором точки А м А соответствуют друг другу, а такя е между точками некоторых (или всех) граничных для П ь и П -ь - и соответствующих друг другу по схеме траекторий L и Ц, при котором сохраняется направление [c.494]

Замечание 2. Предположим, что мсноду точками дуг а и а задано топологическое соответствие Т, прп котором соответствующие друг другу по схеме концы этих дуг соответств -ют друг другу. Пусть при отобран ении замкнутых областей П ь и Па ь друг на друга это соответствие Т сохраняется. Тогда в силу отображения областей П ь и И а ь-, в частности, устанавливается топологическое соответствио между точками дуг Ь п Ь (прп котором соответствующие друг другу точкп принадлежат траекториям, пересекающим дуги а и а в точках, соответствующих друг другу по Т, и соответствующие друг другу концы дуг Ь [c.495]

Это соображение является ключевым в обширной работе В. Вольтерра [280]. Мы не будем приводить здесь подробных вычислений, а ограничимся лишь замечаниями о недостатках такого явного решения. Уравнения четвертой степени для коэффициентов матрицы определяющей преобразование (7.9), не решается явно. Вследствие этого все дальнейшие рассуждения носят лишь формальный комплексный характер, сходный с теоремами существования. Практически из самого решения нельзя сделать каких-либо полезных динамических выводов. Все результаты, полученные после Вольтерра (по устойчивости, топологический анализ и пр.) [57, 150], не используют его явных квадратур. Видимо, здесь не совсем правильной является постановка задачи о сведении, несмотря ни на какие трудности, к эллиптическим функциям, которые являются мало приспособленными для такого сорта задач. Аналогичные проблемы имеются с решениями Кёттера [234, 236] для случаев Клебша и Стеклова. Хотя на них и приходится ссылаться при написании работ, они совсем бесполезны для динамики и практически не используются. Вообще, излишняя тяга к комплексным методам способна из очень естественных механических задач сделать сверхсложные и нерешаемые проблемы алгебраической геометрии [134]. [c.157]

Можно показать, что если множество А не является замкнутой орбитой, то энтропия потока по мере ц-р положительна это свидетельствует о сильных эргодических свойствах системы ( Хф,/0- Действительно, еслн ограничение потока на множество Л является топологическим переме-шиванием ), то (цср,/0—бернуллневский поток (см. замечание 3.5). С точки зрения физических приложений полезно рассматривать корреляционные функции [c.146]

Замечание. В [2] и [24] было доказано, что динамическая система (ал,Уо) ), где о — равновесное состояние для функции у А, изоморфна сдвигу Бернулли. Соответствующее утверлсдение для динамической системы ( Л, следуст из других рег ультатов. Если ограничение Д является Топологическим перемешиванием (т. е. ссли для любой точки л Л пересечение (х)ПЛ плотно в Л, где W x) = [c.157]

Замечание. Еще одио определение топологической энтропии можно получить, еслн мы будем оценивать разнообразие траекторий рассматриваемой динамической системы при помощи понятия 8-энтропии (подробнее см. [6]). Известно также, что асимптотические свойства е-энтропии связаны с хаусдорфовой размерностью пространства. В этой связи представляет интерес следующее утверждение. Пусть X — замкнутое подмножество в пространстве 2 односторонних т-ичных последовательностей, инвариантное относительно гомеоморфизма сдвига о. Обозначим через М образ X прн обычном отображения ф 2т- [О, определяемом равенством [c.200]

Замечание. Отображение тг Щ- К, тг(и , w,,...) = 0, /3(wo)/3(w,)... где К —стандартное канторово множество, /3(0)= О, /3(1) = 2, является гомеоморфизмом, и, очевидно, -п о = Е о тт. Таким образом, предложение 1.7.3 влечет топологическую транзитивность сдвига Это простейший пример ситуации, когда ограничение гладкой системы на инвариантное множество выглядит как некоторый сдвиг. Соответственно отображение h, описанное в доказательстве предложения 1.7.3, является самым простым примером кодирования. Мы подробно обсудим эту тему в 2.4 и 2.5. [c.63]

Замечание. Число 0(Х), очевидно, инвариантно относительно перехода к билипшицево эквивалентной метрике. Нетрудно видеть также, что О ([0,1]") = п и что для дифференцируемых многообразий энтропийная размерность равна топологической размерности. Наконец, ясно, что )(У) 0(Х), если У сХ. Однако энтропийная размерность не является топологическим инвариантом. [c.135]

Замечание. В случае когда функция Ф непрерывна и г = О, отображение к, определенное выше, задает топологическое сопряжение с Е х с1 на Т . Заметим, что это еще один пример ситуации, в которой возникает неподкрученное когомологическое уравнение (см. 2.9). [c.159]

Таким образом, рассматривая множество Ас А, мы видим, что замечания из п. 2.5 в, вплоть до следствия 2.5.1, могут быть применены практически дословно к нашему множеству Л. В частности, кодирование динамики на Л получается путем топологического сопряжения с полным 2-сдвигом а . Так как каждый прямоугольник, являющийся подковой для /, является также подковой для любого диффеоморфизма /, достаточно близкого к / в С-то-пологии, мы получаем следующий полулокальный результат о структурной устойчивости. [c.280]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...