ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Топологические замечания из "Классическая динамика " Бесконечное множество конгруэнтных точек, циклическая координата q которых отличается на кратное 2я, соответствует одной-единственной конгруэции или точке пространства Q. [c.204] Однако теперь соответствие разрывное, так как, придав частице малое смещение от конфигурации q = О ъ сторону уменьшения q, мы получаем значение д, отличающееся от исходного сразу на 2л. [c.205] В обычной динамике мы начинаем рассмотрение с физической системы, которую мы могли бы, если нужно, построить в сфере нашего опыта. Тогда на топологические вопросы относительно пространства конфигураций Q можно было бы ответить, апеллируя к нашей интуиции об обычном пространстве. Однако такая интуиция непригодна, когда мы начинаем развивать общую динамическую теорию эта теория должна быть построена на математическом основании если наша интуиция правильна и полезна, мы смогли бы избегать чисто формальных аргументов. [c.206] Контур — это замкнутая кривая в пространстве изображений. Это — приводимый контур, если непрерывным преобразованием пространства его можно стянуть в одну точку в противном случае он неприводим. Два контура называются совместимыми, если непрерывным преобразованием можно преобразовать один в другой если этого нельзя сделать, они называются несовместимыми. [c.207] Все приводимые контуры совместимы. Два неприводимых контура могут быть либо совместимы, либо нет. Если они несовместимы, они называются независимыми. Пространство, обладающее несовместимыми контурами, есть многосвязное пространство, если же пространство не имеет таких контуров, то это односвязное пространство. Пространство — двухсвязное ), если имеется один независимый неприводимый контур оно трехсвязное, если имеется два таких контура и т. д. [c.207] Поверхность сферы односвязна ) внешняя область круга или поверхность цилиндра — двусвязна поверхность тора трехсвязна. [c.207] Движение по контуру, который можно стянуть в точку, называется либрацией, движение по неприводимому контуру называется вращением. [c.208] Конфигурации, для которых й = О и О = я, исключаются из этого представления. [c.208] Таким образом, топология пространства Q для твердого тела, одна точка которого закреплена, такова же, как топология гиперсферы эллиптического типа, диаметрально противоположные точки которой отождествлены одна с другой (конгруэнтные точки). Это пространство — двухсвязное неприводимый контур соответствует полному вращению тела вокруг какой-нибудь оси. [c.209] Кратко изложить динамику, с должным углублением в топологию, практически невозможно сделанные выше замечания имеют целью только ввести читателя в круг связанных с этой проблемой вопросов ). [c.209] До тех пор пока мы рассматриваем достаточно малую область пространства изображений ( динамика в малом ), топологические вопросы не возникают, и мы можем предположить поэтому, что малая область имеет простую топологию внутренности евклидовой сферы соответствующей размерности. Эта книга следует в основном традициям математической физики, в которой топологические вопросы являются предметом для исследования ad ho в частных случаях. Они могут быть оставлены без внимания до тех нор, пока мы не перейдем к рассмотрению переменных действие — угол ( 98, 99). [c.209] Вернуться к основной статье