Случай периодических коэффициентов

Случай периодических коэффициентов. Вернемся к рассмотрению общего с.тучая уравнений в вариациях [c.464]

S СЛУЧАЙ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ 465 [c.465]

Следовательно, если искать решение уравнения (14.13) в виде y — As n(iit, то возможно получение трех различных амплитуд при одной и той же частоте (о. Возможность возникновения нескольких периодических режимов при одной и той же вынуждающей силе составляет характерную особенность нелинейных систем. На рис. 50, а показана зависимость амплитуды А от частоты со, или амплитудно-частотная характеристика, для случая, когда коэффициент жесткости увеличивается при увеличении силы. Пунктиром показана скелетная кривая — график зависимости между частотой и амплитудой свободных колебаний. Сравнение полученной амплитудно-частотной характеристики с резонансной кривой при линейном упругом звене (см. рис. 48,а) показывает, что нелинейность упругого звена приводит к возникновению колебаний с большой амплитудой при частотах вынуждающей силы, превышающих собственную частоту (затягивание резонанса в область высоких частот). [c.118]

Значительно сложнее случай параметрического возбуждения. При этом (1) является системой линейных ди(])ференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Достаточно подробная теория существует в настоящее время лишь для случая, когда коэффициенты изменяются гармонически. Даже в этом случае решения таких уравнений как правило являются непериодическими. Влияние параметрического возбуждения на спектр вибраций описать теоретически пока невозможно. Скорее всего, следует ожидать появления в спектре дополнительных гармоник, лежащих в областях параметрического резонанса колебательной системы [9]. [c.48]

Здесь Х — вектор степеней свободы, v — вектор входных переменных, Лг, Аи Ао и Ва—матрицы коэффициентов уравнений движения. Для стационарной системы элементы матриц постоянны. Нас будет интересовать более общий случай переменных (особенно периодических) коэффициентов. Приведем систему к стандартной форме системы уравнений первого порядка. Пусть Х2 = Х , тогда [c.340]

Для случая полета вперед (ц > 0) в уравнениях движения появляются периодические коэффициенты вследствие вращения лопасти относительно вектора скорости вертолета эта периодичность радикально влияет на корневой годограф и требует совершенно иных методов анализа. Корневой годограф стационарной системы может начинаться в комплексных сопряженных точках, пересекаться с действительной осью и далее иметь две ветви на действительной оси, расходящиеся в противоположных направлениях. При наличии периодических коэффициентов такое поведение обобщается в том смысле, что расхождение корней может произойти не обязательно на действительной оси, а при любой частоте, кратной (1/2)Q. Такое свойство решений объясняется тем, что собственные векторы системы не постоянные, как для стационарного случая, а периодические. В гл. 8 рассматривались собственные значения дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и был приведен способ их вычисления. [c.558]

Передаточные функции для режима висения. Реакция махового движения лопасти на управление и порывы ветра может быть описана передаточной функцией. Здесь будет рассмотрен только случай висения,, поскольку при полете вперед периодические коэффициенты вводят зависимость между гармониками. При полете вперед синусоидальный входной сигнал, имеющий частоту ш, вызывает реакцию не только с этой же частотой, но и со всеми частотами ш nQ. Однако при небольших 1 доминирующая составляющая реакции будет иметь частоту входного сигнала ш. [c.563]

Изучим, наконец, случай периодических объектов при когерентном освещении. Для этого достаточно решить задачу определения коэффициента пропускания прибора для различных составляющих (комплексных) распределения амплитуд на объекте. [c.172]

Для рассматриваемого случая = со(/ — / ), где — момент прохождения экватора. Видим, что даже на круговой орбите уравнение колебаний имеет переменные (периодические) коэффициенты (за счет периодичности Н и) вдоль орбиты) и правую часть, появляющуюся в результате неравномерности вращения Н вдоль орбиты. Эта периодическая правая часть сообщает оси спутника вынужденные колебания относительно магнитной силовой линии. [c.142]

Таким образом, краевая задача (8)-(10) сведена к решению счетной системы задач Коши (12), (13) для линейных уравнений с периодическими коэффициентами, частота изменения которых равна 2П. Отметим, что влияние внешнего электрического поля определяется квадратом напряжения [/ = 1/ соз Ш. Если 1/о = = О, то = О и уравнения интегрируются в явном виде. Получающееся решение описывает свободные осесимметричные колебания круглой мембраны. При По ф О, О искомое решение Уn t) п = 1, 2,..., выписывается при помощи функций Матье [6]. Случай 1) = О (постоянное напряжение) также представляет интерес (см. ниже). [c.49]

Существуют и другие способы составления характеристичного уравнения. Например, часто встречается случай, когда коэффициенты Раа, будучи периодическими функциями зависят еще от одного или нескольких малых параметров 1г, по отношению к которым они голоморфны при ,иг Д. [c.37]

В изложенных выше рассуждениях предполагалось, что функции Ф ( i) в формуле (4) имеют два действительных корня, ai и bi, между которыми заключена переменная qi в начале движения и должна также оставаться в дальнейшем. Может случиться, что это не совсем так, и что одна или несколько из этих функций ни для одного из действительных значений qi не обращаются в нуль. Однако рассмотрение этого случая аналогично предыдущему. Прежде всего тогда следует, что соответствующее q монотонно увеличивается (или монотонно уменьшается) с ростом времени. Переменная q тогда обладает такими же свойствами, как раньше соответствующая вспомогательная величина w. Особый интерес представляет случай, когда коэффициент при dq является периодическим, т. е., если указанная система имеет вид [c.96]

Пуанкаре распространил свой метод и на общий случай, когда правые части дифференциальных уравнений зависят явно от i при этом правые части должны быть, однако, периодическими функциями t. Предполагается, что существует периодическое решение с тем же самым периодом легко показать на примерах, что аналогично подсчитываемый определитель по крайней мере не всегда равен нулю. Последнее правдоподобно, так как для обоснования равенства нулю определителя существенную роль у нас играла стационарность потока. Мы не будем больше здесь и далее углубляться в важные и интересные вопросы, связанные с теорией дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Большую часть известных методов и результатов этой теории можно истолковать с помощью рассмотренных нами стационарных потоков кроме того, при начальном рассмотрении не решенной еще задачи следует ограничиваться разбором простых нетривиальных случаев. [c.193]

Материал этой главы расположен по следующему плану. Разд. 2,1 посвящен свойствам решений однородных дифференциальных уравнений различного типа. По характеру зависимости коэффициентов этих уравнений от времени они подразделяются на уравнения с постоянными, периодическими, квазипериодическими коэффициентами, а также на уравнения более общего типа. В разд. 2.2 мы покажем, как применить понятие инвариантности относительно групповых операций к уравнениям двух первых типов. В разд. 2.3 мы познакомимся с неоднородными дифференциальными уравнениями. Некоторые общие теоремы из алгебры и теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (связанные системы) приведены в разд. 2.4. В разд. 2.5 вводятся пространства дуальных решений. Общий вид решений для случая постоянных и периодических матриц коэффициентов рассмотрен соответственно в разд. 2.6—2.8. В разд. 2.8 и в начале разд. 2.7 мы затрагиваем некоторые аспекты теории групп, а из разд. 2.8 читатель сможет почерпнуть начальные сведения по теории представлений. В разд. 2.9 мы излагаем теорию возмущений, позволяющую получить явные решения для случая матриц периодических коэффициентов. [c.91]

Если 0 можно выбирать произвольно, то из (2.2.3) следует, что а t) не зависит от времени. Если же (2.2.3) выполняется лишь при некотором (и его целых кратных), то коэффициент а t) периодический. Как будет показано в гл. 3, наши соображения допускают обобщение на случай квазипериодического коэффициента [c.99]

Формула (17.16), дающая основной результат теории Флоке, выражает общее решение системы линейных дифференциальных уравнений (17.8) с периодическими коэффициентами для случая простых корней уравнения (17.14). [c.302]

Если уравнение (17.14) имеет кратные корни, то часть слагаемых в формуле (17.16) заменится на Р Д/)ехр (Х /), где PJJ) - полином относительно t с периодическими коэффициентами периода Т. Этот полином имеет степень не вьпие Г - 1, где Г - кратность корня, и содержит Г произвольных постоянных. Подробный разбор этого случая можно найти в монографии [16]. [c.302]

Решение (76) 99 в форме бесконечного ряда, относящееся к случаю произвольной периодической силы, не всегда удобно, так как ряд Фурье для возмущающей силы Q[t) может сходиться медленно. Например, если функция Q t) имеет разрывы первого рода, то коэффициенты ее ряда Фурье а , Ьп убывают не быстрее чем при наличии разрывов первого рода у производной <5(/) сходимость ряда будет порядка п . Хотя сходи- [c.538]

Для решения уравнений с периодически изменяющимися коэффициентами воспользуемся принципом возможных перемещений. Рассмотрим вначале более простой случай колебаний стержня, нагруженного только осевой силой [уравнение (7.218)], без учета [c.219]

Поскольку система дифференциальных уравнений (9.5) является частным случаем системы общего типа (8.12) с кусочно-постоянными коэффициентами, то построение общего, частного и периодического решений осуществляется методами, подробно рассмотренными в п. 8. Общее решение системы дифференциальных уравнений (9.5) представимо в виде (8.29). Вектор-функции у (t) вычисляются при помощи алгоритма I, причем вычисления упрощаются, так как вектор ЭД (p)S, определяемый по формуле (8.41), зависит только от величин (9.7). Вычисление частного решения заключается в отыскании величин (9.7), определяемых заданием операторов и в подстановке их в общее решение. Построение частного решения осуществляется применением итерационного алгоритма (см. п. 8.3). [c.259]

Сформулированные выше утверждения относились к случаю, когда линейное приближение приводит к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Это типично для задач об устойчивости состояний равновесия или стационарного движения. В общем случае матрица 6 уравнений первого приближения зависит от 7. При этом нельзя утверждать, что из асимптотической устойчивости решений уравнений первого приближения следует устойчивость решений нелинейной системы. Ляпунов выделил класс так называемых правильных систем, для которых справедлив аналог теоремы об устойчивости по первому приближению. Среди этих систем - системы с переменными коэффициентами, которые являются ограниченными периодическими функциями времени с одинаковым вещественным периодом. [c.460]

Метод построения приведенной кривой при помощи горизонтального и вертикального смещения логарифмических кривых ползучести, который, как было указано выше, можно трактовать как некий вид способа Ке, применим не только к аморфным полимерам. Например, в работе Нагамацу и др. [73] он был использован для случая периодических воздействий на полукристаллические полимеры (полиэтилен) изменение коэффициента og в этом случае, по-видимому, обуславливалось влиянием температуры на жесткость кристаллических областей. [c.126]

Задача решения системы дифференциальных уравнений (5.35) с периодическими коэффициентами, имеет упрощенное решение путем замены переменных или применения новой системы ортогональных координат (I, q, которые вращаются с угловой частотой сОр вместе с рабочим колесом. В этой системе отвод (статор) насоса неподвижный относительно колеса, а поэтому проекции обобщенного вектора на эти оси будут постоянными во времени. Такой подход к разрешению аналогичной задачи, которая случилась при анализе переходных режимов синхронной электрической машины, был предложен Блонделем [49] и получил развитие в трудах Парка и Горева [50,42]. [c.79]

Суммируя уравнения по N лопастям, получаем N дифференциальных уравнений движения в невращающейся системе координат. Заметим, что те же операции использовались при преобразовании параметров движения. Преобразование уравнений, однако, этим не заканчивается. Следующим шагом является применение такой же процедуры, как и в способе подстановки, упомянутом ранее. Периодические коэффициенты уравнений движения во вращающейся системе координат записываются в виде рядов Фурье, а для параметров движения и их производных по времени применяется фурье-преобразование координат. Затем произведения гармоник сводятся к их суммам с использованием тригонометрических соотношений. Далее приравниваются коэффициенты при 1, os if,,,, sin ll m,. .., os n m. sinnilJm, (—1) " в правых и левых частях уравнений для получения требуемых дифференциальных уравнений. При этом возникает некоторое затруднение, поскольку в отличие от предыдущего случая с рядом Фурье здесь нужно получить только N уравнений. Таким образом, каждая из гармоник os 1 т и sin I tip,,, при I > N/2 долл<на быть переписана в виде произведения гармоник нужных номеров (/ < N/2) и гармоник с час тотой NQ. Рассмотрим, например, вторую гармонику, появляющуюся в уравнениях для трехлопастного несущего винта. Из соотношений [c.332]

Таким образом, пол)гчили линейную систему 9-го порядка с периодическими коэффициентами. Рассмотрим частный случай, когда спутник движется по полярной круговой орбите (/ о = 90 ). В данном случае i = = Сз =0, поэтому боковое и тангажное движения спутника разделяются и могут быть изучены независимо. При этом в боковом движении имеют место только свободные колебания, так как правые части соответствующих уравнений равны нулю в плоскости тангажа имеют место вьшужд -ные колебания, так как С2 0. Движение в плоскости тангажа в соответ-ствиич (6.30) описывается уравнением [c.159]

Для расширения области применения первого метода Ляпунова в том случае, когда коэффициенты линейной системы постоянны, а нелинейные члены не содержат времени, требовалось дополнить общие результаты Ляпунова исследованием особенных (критических) случаев. Ляпунову принадлежит анализ случая одного и двух нулевых корней (характеристического уравнения матрицы ) и двух чисто мнимых корней. Первые новые важные результаты были получены Г. В, Каменковым и И. Г. Малкиным Они в весьма широких предположениях провели анализ устойчивости при наличии двойного нулевого корня, затем нулевого корня любой кратности, нри наличии двух пар, затем любого числа мнимых корней (предполагается, что все остальные корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части). В тех же работах рассмотрены критические случаи для систем с периодическими коэффициентами в линейных членах и периодическими нелинейными членами (период предполагается одним и тем же для всех pgf и Zfe). Каменков и Малкин дополнили и в этом пункте результаты Ляпунова. [c.130]

Уравнение (2.3.8) — уравнение типа Хилла (с периодическими коэффициентами), в котором имеется периодическая правая часть. Если исключить просто интегрируемый случай Az =l, который, как будет показано ниже, является резонансным случаем, то уравнение (2.3.8) не интегрируется при ei O. Поэтому для решения уравнения (2.3.8) следует применять приближенные методы. При е< п удобно применить для решения уравнения метод Крылова — Боголюбова [19], взяв в качестве малого параметра эксцентриситет орбиты е. [c.73]

Метод Ляпунова оценки характеристичной постоянной, системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, развитый для уравнения Хилла, был распространен на общий случай системы двух линейных уравнений с периодическими коэффициентами В. М. Старжинским (1953—1960, 1964) и на некоторые типы линейных систем произвольного порядка В. М. Старжинским (1958—1959) и В. А. Якубовичем (1957). [c.37]

Фундаментальные результаты по устойчивости в критических случаях изложены в работе Г. В. Каменкова (1939). Здесь изложены результаты автора 1935—1936 гг., а также рассмотрен ряд новых случаев, в частности, случай одного нулевого и пары чисто мнимых корней характеристического уравнения, двух пар чисто мнимых корней при условии отсутствия резонанса и общий случай т нулевых корней с т группами решений, 2п чисто мнимых (при отсутствии резонанса) и д корней с отрицательными вещественными частями. Исследовались также аналогичные случаи для уравнений с периодическими коэффициентами. Здесь рассмотрен вопрос о возможности перехода от полной системы уравнений возмущенного движения к укороченной , содержащей лишь критические переменные, и показано, что такой переход всегда возможен в несущественно особенных случаях при суждении об асимптотической устойчивости или неустойчивости. В случае же неасимптотической устойчивости знак производной функции V может быть изменен членами порядка, большего N. Показано также, что критическая система с т-кратным нулевым корнем, которому отвечает т групп решений, и с2тг чисто мнимыми корнями при отсутствии резонанса преобразуется в новую систему уравнений с (иг + г)-кратным нулевым корнем, которому соответствует т п групп решений. Для систем с г-кратным нулевым корнем с п группами решений доказано, что для неустойчивости невозмущенного двин ения достаточно, чтобы хотя бы на одном вещественном нетривиальном решении системы уравнений [c.56]

Но, доказав соотношения (1.58) для случая простых корней, легко убедиться в справедливости их и для случая кратных. Для этого можно рассуждать, как показывает А. М. Ляпунов, следующим образом в функции Яг, которая имеет вид (1.48), но с периодическими коэффициентами, заменим коэффициенты Ло, Bsa, ss и so (для Зфа) величинами е/ , еВ , + 8 ( ,s — Xs), e sa, где 6 — произвольный параметр, а х — какие-нибудь постоянные, для которых числа [c.39]

Линейное уравнение вида (1.8) с периодическим коэффициентом p(t) общего вида впервые получено американским астрономом Дж. Хиллом в связи с задачей о движении перигея Луны и теперь носит его имя [55]. Дж. Хилл предложил метод решения этого уравнения с использованием определителей бесконечного порядка. Метод Хилла обсуждается в 4. Обобщение теории Хилла на случай системы уравнений дано Д. В. Трещевым и С. В. Болотиным оно изложено в добавлении 2. [c.86]

В предельном случае р = О, 5 = О получаются решения Хилла, которые были выведены в предыдущем параграфе, где рассмотрение рекуррентных формул для коэффициентов было более простым, потому что вместо I входило 21 и отсутствовала особенность при I = 1. При ( = ОиО<р<1 получаем ограниченную задачу трех тел, в которой масса Лупы равна пулю. Для этого случая периодическое решение было найдено Брауном [2] по методу Хилла. Полученное памп общее решение было найдено Мультопом другим способом, а имеппо, с помощью метода малого параметра Пуанкаре. Этому методу посвящен следующий параграф. [c.185]

В 1—3 излагается работа В. М. Бабича [6]. Случай т= 1 был ранее рассмотрен в работе В. М. Бабича и В. Ф. Лазуткина [1]. Свойства системы координат (s, у, . .., Ут), используемые в 1—3, известны (см., например, монографию Мил нор а [1]). Теория уравнения Якоби ( 2) изложена по образцу классической теории линейных гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами (см. М. Г. Крейн [1]). Формула (3.9) хорошо согласуется с тем, что уравнению Шредингера с квадратичным потенциалом можно точно удовлетворить выражениями, имеющими вид квази-классического приближения. Об интегрировании уравнения Шредингера с квадратичным потенциалом см. Сегал [1] и Н. А. Черников [1]. Сведение задачи об асимптотике собственных чисел и функций к нахождению решений Флоке уравнения (1.14) и вывод формул для этих решений (см. 3) принадлежит В. М. Бабичу. Решение матричных уравнений Риккати, аналогичных уравнению (3.3), можно найти в учебнике И. М. Гельфанда и С. В. Ф о м и н а [1]. [c.443]

Это уравнение изучалось довольно интенсивно. Оно является частным случаем уравнения Хилла, которое в свою очередь является линейным дифференциальным уравнением с периодическими коэффициентами. Аналогичные уравнения появляются во многих задачах прикладной математики, в частности в задачах об устойчивости поперечной колонны, подверженной периодической продольной нагрузке об устойчивости периодических решений нелинейных консервативных систем о распространении электромагнитных волн в среде с периодической структурой о движении Луны, а также в задачах о возбуждении некоторых электрических систем. [c.71]

Гораздо шире распространен случай, когда кoэфq зициeнт пропускания пластинки, располагаемой в световом пучке, меняется не вдоль одного направления, а по всей поверхности нашей пластинки. Примером может служить пластинка беспорядочно запыленного стекла или окно, покрытое узорами мороза. Ясно, что такое изменение коэффициента пропускания можно охарактеризовать как изменение по двум координатам нашей поверхности, так что рассматриваемая структура будет двумерной. В простейшем случае это будет двумерная периодическая структура (двумерная решетка), в общем — совокупность многих двумерных решеток. [c.225]

Введение. Определение параметрических колебаний, данное в гл. VH применительно к системам с конечным числом степеней свободы, справедливо для систем с распределенными параметрами. Параметрическиь колебания распределенных систем описываются дифференциальными и интегро-дифференциальными уравнениями в частных производных с переменными коэффициентами. Наиболее важный случай — системы с параметрами, периодически меняющимися во времени. Далее будут рассмотрены системы, описываемые уравнениями в частных производных с коэффициентами — периодическими функциями времени. [c.245]

Остановимся на вопросе о вычислении коэффициентов рядов (42), т. е. периодических решений уравнений (43) и (44) рассмотрим вначале случай неавтономной системы. Если параметры порождающего решения найдены из уравнений (50), то 7-пернодическое решение уравнений (43) непременно существует и имеет вид [c.57]

Рассмотрим вначале случай регулярного изменения нагрузок по асимметричному циклу при линейном напряженном состоЯ НИИ. Под регулярной нагруженностью понимают периодический, закон изменения напряжений во времени с периодом, соответству--ющим одному циклу, при неизменности во времени характеристик, цикла напряжений. Во всех остальных случаях процесс нагру-. ження называют нерегулярным. Вывод формулы коэффициента запаса прочности при асимметричном цикле регулярного нагру жения поясняется рис. 5.1, на котором представлены диаграммы предельных амплитуд напряжений при асимметричных циклах для глад1 их лабораторных полированных образцов (прямая /) диаметром do = 7,5 мм и для натурных деталей прямая (2), Уравнения для прямых 1 я 2 соответственно имеют вид [c.161]

Второе слагаемое в левой части (6.1) характеризует нормальную реакцию упругого основания по модели Винклера. Эффект рассеяния энергии из-за внутренних релаксационных явлений в материале основания в данном уравнении не учтен. Допустим, что коэффициент упругости с (л ) представляет собой однородную случайную функцию координаты х со средним значением с (л )) = = с = onst. Внешнюю нагрузку q х, t) будем рассматривать как пространственно-временное случайное поле, частным случаем которого является детерминированное периодическое воздействие. Уравнение колебаний пластины, аналогичное (6.1), имеет вид [c.173]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...