Решение в форме степенных рядов

Решение в форме степенных рядов. Рассмотрим автономную систему, обладающую тем свойством, что в области D функции Хг имеют производные всех порядков. Введем функцию / (яс), зависящую от времени. Здесь X — положение изображающей точки в момент t. Тогда будем иметь [c.406]

РЕШЕНИЕ В ФОРМЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 407 [c.407]

Решение в форме степенного ряда при достаточно малых t дает явное выражение для оператора Тt- [c.407]

Его решение разыскивается в форме степенного ряда по у [c.486]

Обратимся далее к методу малого параметра. Как и в нелинейных задачах при регулярных воздействиях, решение стохастической задачи ищем в виде ряда по степеням некоторого параметра, который предполагаем малым по сравнению с единицей. Нелинейные функции также представляем в форме степенных рядов. [c.36]

Решение задачи (1-14) - (1-16) будем искать в форме степенных рядов 00 00 F, z) = Y, Fe z) = Y, bkz> - (1.17) [c.11]

В качестве примера неавтомодельного движения рассмотрим задачу о распространении ламинарной закрученной осесимметричной струи в пространстве, затопленном той же, но покоящейся жидкостью ). В этом случае удается получить решение в форме асимптотического ряда, расположенного по обратным степеням расстояния сечения струи от источника струи. [c.510]

В (5.6.6) — метрический тензор V — оператор ковариантного дифференцирования по X при фиксированном у. Отметим, что матрица A(x-j ), рассматриваемая как функция аргумента является фундаментальным решением сопряженного оператора Q (V) = Q(-V). Используя известное [71] представление функции Макдональда K (z) в форме степенного ряда, можно показать, что при х у ядра j x - j ) имеют следуюш ий характер полярностей [c.158]

Для решения дифференциального уравнения (3) относительно В Т) обычно задаются температурной зависимостью [второго вириального коэффициента в форме степенного ряда по обратным степеням температуры. [c.23]

Функции ipi,- образуют фундаментальную систему решений уравнений (8). Но такую фундаментальную систему всегда можно найти в форме степенных рядов по t. Этот метод даже на практике не всегда наиболее удобен, но он всегда приводит к цели. На одном частном примере мы укажем другой путь, который в астрономии обычно более быстро приводит к цели. [c.32]

Квадратуры выражений (143) и (144) значительно сложнее, чем в аналогичных выражениях для системы без пружины. Так как ас всегда меньше единицы и пружина слабая, то можно разложить подинтегральное выражение в степенные ряды и, таким образом, получить решение в форме рядов. Так это и сделано в работе [36]. [c.133]

Решение линейного дифференциального уравнения (6-9) не удается получить в замкнутой форме. Нуссельт предложил искать его в виде степенного ряда [c.79]

Заметим, что решение предыдущего параграфа может быть получено из (17.2), если в формулах (17.8) и (17.16) разложить несократимые дроби 4(0 и 2(0 в бесконечные ряды по степеням С. При этом, разумеется, фо(0 окажется также представленной в форме бесконечного ряда. [c.343]

Ряд решений уравнения (8.6) можно получить, постулируя вид функции напряжений в форме полиномов различных степеней, причем во всех этих случаях напряженное состояние неоднородной полосы будет полностью соответствовать напряженному состоянию однородной полосы при одинаковых граничных условиях. Отметим что в отличие от решений [205, 206] исходное уравнение [c.51]

Заметим, что функцию, аппроксимирующую упругую линию балки, можно подобрать в форме как тригонометрических, так и степенных рядов. Точность решения предло- [c.86]

Нет нужды также заботиться о сходимости ряда (2.3.4), представленного записью (2.3.5), даюш,ей только формальный прием построения решения, последнее в окончательном виде может быть выражено не степенным рядом, а в другой форме. [c.487]

Изложенная методика решения нелинейных задач статистической динамики основана на представлении неизвестных случайных функций в форме рядов по степеням базового гауссовского процесса. Корреляционный способ вывода моментных соотношений допускает дальнейшее обобщение вида аппроксимирующих функций. [c.112]

Более того, эти ряды дают точные, в явной форме решения для любой нагрузки, представляемой в форме степенного ряда от х, поскольку, очевидно, производные от тa oй функции обращаются в нуль. Если проделать, подобно тому как это представлено в соотношениях (2.11), гармонический анализ такого степенного ряда, то, естественно, найдем, что ряд содержит бесконечное число гармонических компонент с амплитудами, уменьшающимися при уменьшении длины I полуволны. Это указывает на то, что простое присутствие гармонических компонент, для которых отношение l/h меньше единицы, еще не означает с необходимостью, что ряд сходится для всех нагрузок в целом сходятся они иди нет, зависит от относительной величины а)>1плитуд различных гармоник, которыми представляется. нагрузка. [c.168]

Д. И. Шерман методом, примененным им в случае двух одинаковых круговых отверстий [34], рассмотрел периодическую задачу (с круговыми же отверстиями) для весомой полуплоскости [311. Сущность этого метода, как указывалось выше, заключается в одновременном использовании специально подобранных представлений комплексных потенциалов в форме степенных рядов и функционального уравнения, аналогичного уравнению 78. Решение задачи, как и в рассмотрейных выше непериодических случаях, было сведено к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. [c.581]

Метод степенных рядов применительно к задаче о кольцевых подкреплениях отверстий оказывается принципиально пригодным для эффективного решения каждый раз, когда бесконечная односвязная область, занятая сопряженными телами, конформно отображается на внешность круга посредством рациональной функции и подкрепляющее кольцо переходит при этом в концентрическое круговое. Эффективное решение задачи для случая отображения вида (2) 153 было дано М. П. Шереметьевым [3], [7], который скомбинировал метод степенных рядов с методом интегралов типа Коши. Частный случай крепления в форме софокусного эллиптического кольца (п = 1) рассматривался позже в работах Ода (Oda [1 ] ) и Левина (Levin [1]). В первой из этих работ приводятся два численных примера применительно к задаче о давлении окружающих пород на крепь туннеля с круговым и эллиптическим поперечными сечениями. Во второй работе решение представлено в форме степенных рядов, достаточно удобных для численных расчетов. [c.591]

Интегрирование с помощью рядов. Если решение Д. у. не выряжается в элементарных ф-иях, можно искать его выражение в виде степенного ряда. Этот метод особенно часто применяют к линейным Д. у. с переменными коэф-тами для нахождения частных решений. Он состоит в следующем ищем решение в форме степеннбго ряда [c.454]

До нек< юрой степени успешной оказалась попытка Харта и Монтролл. основанная на строгих формулах и опубликованная кми в двух статьях (1951). Эти авторы рассматривают сначала случай скалярных волн. Значительная часть их первой статьи и вся вторая (в которой они рассматривают цилиндры, сплюснутые сфероиды и тонкие диски) посвящены скалярной проблеме. Харт и Монтролл исходят из строгого решения в форме бесконечных рядов с коэффициентами а и (в наших обозначениях, разд. 9.22) для поля рассеянной волны и с коэффициентами Сп И ёп для внутреннего поля. Они заменяют числители эквивалентными выражениями, достаточно простыми для внутреннего поля (разд. 9.22), но принимают приближенное выражение для знаменателей. Это приближение основано на приближении, которое выполняется при п< х, и поэтому может быть названо приближением центрально падающего света (разд. 12.31). Однако, поскольку в предельном случае /и->-1 это приближение дает точные значения при любых п, авторы надеются, что оно может оказаться полезным и для других п. [c.229]

Обычным методом исследования чисто вынужденных колебаний является метод главных координат, позволяющий найти соответствующее решение в форме суммы или ряда по формам свободных колебаний этот метод применяется теперь почти во всех работах по теории уравновешивания упругих роторов, начиная со статьи Мельдаля [173]. В случае систем с п степенями свободы упомянутый метод основывается на одном алгебраическом предложении, 116 [c.116]

Равномерно нагруженные свободно опертые толстые пластины. Решений уравнений (5.24) в виде степенных функций, аналогичных представлениям (3.17а), недостаточно для удовлетворения важных для практики краевых условий. Используя их в комбинации с решениями уравнений (5.24) в форме гиперболотригонометрических рядов и решениями для случая действия только краевых нагрузок, полученных из решений (5.19) в выведенных ниже (5.32) в рядах для норйальной и касательной нагрузок, Ч. Ли в статье, цитированной выше при рассмотрении представления (5.20), получил решение, удовлетворив следующие краевые условия [c.313]

Появление такого рода вековых и смешанных вековых членов не вызвано каким-либо особым свойством, присущим уравнениям движения, а представляет собой следствие принятого метода интегрирования. В теории движенпя спутника значения движений перигея и узла вводятся с самого начала процесса интегрирования и исправляются при последовательных приближениях. При таком способе вычислений мы не допускаем появления времени в коэффициентах периодических членов. В теории движения планет положение является гораздо более сложным. Кроме того, те выражения, которые понадобились бы для представления решения в форме, напоминающей решение основной задачи в теории движения Луны, оказались бы очень громоздкими из-за медленной сходимости разложения в ряд возмущающей функции по степеням отношений больших осей. [c.436]

Более общий подход к численному решению уравнеиия (а) пр( начальных условиях (Ь) состоит в записи решения x = / t) в вид степенного ряда ). Для разъяснении этого способа вновь возьмек дифференциальное уравнение движения в более общей форме [c.144]

Этим мы не хотим утверждать абсолютно, что ш существует других первых интегралов напротив, для всякой нормальной дифференциальной системы первого порядка с п неизвестными функциями от одного перемен-яого из теоремы существования общего решения, зависящего от п произвольных постоянных, необходимо следует существование и первых интегралов, которые теоретически можно получить, разрешая относительно произвольных постоянных уравнения общего решения. Если из этих п первых интегралов, зависящих от t, исключим это переменное, то придем во всяком случае к л — 1 первых интегралов, связывающих только неизвестные величины задачи. Но во все теоремы существования входят разложения в степенные ряды или другие виды последовательных приближений, т. е. бесконечные алгоритмы, которые, вообще говоря, не приводят к функциям, выражающимся элементарно (алгебраическим, показательным или тригонометрическим), а когда в механике говорят о первых интегралах, известных или подлежащих определению (если нет явно выраженной оговорки о противном), то подразумеваются именно интегралы, выражаемые в этой Элементарной форме. [c.100]

Работа А. А. Лахтина [5] представляет интерес с точки зрения возможности упрощения вычислительных операций при решении дифференциального уравнения (7). В указанной работе уравнение (7) решается в степенных рядах. Предлагаемое решение позволяет составить расчетные таблицы, значительно упрощающие расчет деталей, имеющих торообразную форму. [c.39]

Задача о стягивании контура нефтеносности по схеме, предложенной академиком Л. С. Лейбензоном, сводится к пренебрежению вязкостью ц во внешней (водной) области. Эта задача рассмотрена П. Я. Кочиной и одновременно Л. А. Галиным, несколько иным методом. Затем П. П. Куфарев и его ученики рассмотрели случай скважин в полуплоскости, а также внутри кругового контура и доказали, что применяемые при этом ряды по степеням / сходятся в некоторой достаточно малой области, однако, не указали границ области. Расчеты, проведенные в Институте механики АН СССР, показали, что вычисления, начиная с некоторых значений t, становятся невыполнимыми. Особенно ясно это проявилось в простейшей задаче, где начальный контур — кардиоида. Здесь получено точное решение в замкнутой форме. Оказалось, что раньше чем нефть дойдет до скважины, находящейся в центре кардиоиды, контур приобретает острие, а в дальнейшем получаются контуры с петлей — улитки Паскаля решение теряет однолистность. Явление связано с неутетом влияния поверхностного натяжения и невозможностью постоянства давления у острия. [c.247]

Система оперативного планирования, охватывающая методику и технику плановой работы, плановую и учётную документацию, существенно зависит от типа и других характеристик производства на социалистическом предприятии. В одних случаях целесообразна большая, в других — меньшая централизация функций в одних случаях возможна более, в других — менее развитая специализация функций (т. е. выполнение их особым аппаратом, а не непосредственно руководителями производства) в одних случаях центр тяжести системы может в большей степени смещаться в область календарного планирования, в других — оперативного регулирования. Конкретные формы решения перечисленных вопросов и характеризуют особенности той или иной системы оперативного планирования. Вместе с тем к любой из них должен быть предъявлен ряд общих требований. Важнейшим из этих требований является соответствие системы руководящим принципам социалистического луганировяяия безусловное выполнение государственного плана активное вовлечение в борьбу за выполнение заданий всего коллектива каждого участка, цеха и завода в целом нанравленность плановых заданий на вскрытие резервов и перевыполнение директив социалистического государства и т. п. Одним из серьёзных общих требований является тесная увязка оперативного планирования с технико-экономическим, а также органическая С язь календарного планирования и диспетчирования. [c.146]

В заключение остановимся еще на одном важном для проектирования и строительства железнодорожных линий аспекте подхода Шухова. Шухов мог упростить выбор наиболее подходящей к данному ландшафту конструкции путем стандартизации отдельных видов и форм ферм для железнодорожных мостов, выполненной с учетом различной топографии местности. При этом применение различных систем в одном мосте или в ряде мостов одной железнодорожной линии позволяло внести разнообразие в оформление конструкции. Шухов проектировал и строил мосты во время расцвета российской школы мостостроения, у истоков которой стояли такие замечательные инженеры, как Н.А. Белелюбский, Е.О. Патон, Г.П. Передерий и Л.Д. Проскуряков и др.1°> Блестящие работы представителей этой школы в наибольшей степени проявились при строительстве железнодорожных мостов Транссибирской магистрали (рис. 280—296). Шухов, несомненно, пользовался отработанными решениями в мостостроении, ставшими уже своего рода типовыми, привнося более высокую эффективность использования материала. Его мосты настолько хорошо вписывались в великолепный ряд лучших творений отечественного мостостроения, что часто его авторству приписывали мосты, которые он не строил. Разработанные Шуховым фермы нашли многостороннее применение при строительстве российской сети железных дорог, возводимых до конца первого десятилетия нынешнего столетия. [c.144]

Таким образом, применив известный способ разложения в ряд по нормальным формам колебаний, получаем уравнения, каждое из которых описывает колебания некоторой системы с одной степенью свободы. Обозначив правые части уравнений (3-41) соответственно через F siaЬt , F sinbt,..., запишем стационарную часть решения в виде [c.136]

Разработка морфологической структуры коллекции органично взаимосвязана с ее колористическим решением. Цвет, воплощаясь в реальной форме, определяет ее специфическую организацию, хараетеризующуюся системой взаимного расположения ее частей и элементов. Цвет в огромной степени влияет на форму и назначение одежды. Одним из этапов проектирования цвета является согласование, координация различных тенденций, направлений развития модного цветового ряда в соответствии с потребностями массового потребителя и возможностей конкретных промышленных предприятий. [c.14]

Тетраэдр. На сегодня не существует общей теории интерполирующих полиномов для конечного элемента в форме тетраэдра. Поэтому ограничимся лищь записью некоторых степенных полиномов, которые могут быть использованы при решении ряда практических задач. [c.63]

Задание закона состояния приводит к замкнутой системе дифференциальных уравнений, по которой определяется реализуе- мое в теле напряженное состояние и вектор перемещения точек среды. Из сказанного следует, что в линейной постановке задача определения формы и размеров упругого тела в конечном состоянии отодвигается на второй план—их находят после того, как задача решена в предполон<ении неизменности начальной формы тела. Этот прием позволяет избежать серьезной трудности нелинейной теории упругости, когда напряженное состояние приходится разыскивать в 1/-объеме — в теле с неизвестной наперед границей О. Его законность подтверждается тем, что при решении задач нелинейной теории упругости методом последовательных приближений, например в форме ряда по степеням параметра ма.пости, характеризующего малость градиента вектора перемещения, исходное приближение, получаемое при пренебрежении слагаемыми, содержащими этот параметр, представляет решение задачи для линейно-упругого тела, когда определяющие уравнения отнесены к начальному объему и начальной форме его границы. [c.102]

Решение, в котором Ф определяется решением дифференциального уравнения Пуассона У Ф + 2 = О в форме ряда но степеням параметра б// (где I — длина контура Г ), приведено в гл. VII монографии Н. X. Арутю-няна п Б. Л. Абрамяна (см. литературные указания к гл. VI). [c.426]

В работе К- Форсберга и В,- Флюгге [70] (1966 г.) дано решение для оболоч- ки типа эллиптического параболоида при нормальной сосредоточенной силе. Сингулярное решение строится в виде ряда по косинусам полярного угла. Решения для каждого коэффициента ряда разложено тю степеням параметра, характеризующего форму параболоида. Коэффициенты степенного ряда определены через модифицированные функции Бесселя из рекуррентных, дифференциальных уравнений. , [c.254]

В.процессе работы над изложенными в 5.1—5.3 методикой и результатами метода продолжения по параметру нам удалось постртить для парал-лелограммной в плане мембраны решение методом, который по своему смыслу является методом возмущения границы области и по форме близок к предложенному в работах [127, 465, 260]. В этом решении получено общее выражение коэффициентов разложения решения в степенной ряд Тейлора по параметру, характерный для метода возмущений. Поэтому этот ряд можно понимать как точное решение. Однако попытка реализовать его на ЭВМ оказалась неудачной. Причины этого будут обсуждены ниже. [c.167]

Если же используются неортогональные ряды, то выражение энергии деформации будет додержать, кроме квадратов, еще и произведения неизвестных, и уравнения возможной работы будут в общем случае содержать все, или по крайней мере более одной, низвестные, и тогда требуется решать систему уравнений. Это значительно увеличивает трудности и ограничивает число членов, которое практически Можно использовать. При использовании подобных методов S задачах для пластин и оболочек, особенно в случае, когда краевые условия отличаются от условий свободног,о опирания или прогибы не малы по сравнению с толщиной и поэтому должна использоваться нелинейная теория, уравнения, вытекающие из принципа возможной работы (которые часто представляют единственный, практический путь получения какого-либо решения вообще), могут, оказаться настолько трудными для решения, что на практике используются, если позволяют время и средства, один член (метод Релея) или в лучшем случае несколько членов, и при этом может оказаться трудным указать, насколько точная аппроксимация при этом достигается. Близость аппроксимации в этом случае зависит, конечйо, от того, насколько точно с помощью одной или нескольких выбранных функций можно представить истинную форму, которая в свою очередь может быть только грубо определена из экспериментов. Хотя в случае задач о балках такие случаи либо встречаются редко, ли- j6o Имеют другие, более приемлемые решения, эти вопросы можно в сильной степени прояснить путем Простых иллюстраций на задачах о балках. [c.102]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...