Явное выражение для R в общем случае

Важный частный случай общей проблемы составляет задача об отражении от свободной границы полупространства продольных и сдвиговых плоских двумерных волн. В этом случае выкладки достаточно просты и за счет наличия явных выражений для коэффициентов отражения достигается большая наглядность в оценке влияния разных факторов. Кроме того, полученные здесь соотношения позволят более глубоко осветить структуру дисперсионных соотношений в случае плоского волновода (см. гл. 4). [c.44]

Так как вывод явных выражений для общего случая затруднителен и поскольку для применений прежде всего обсуждаются порядки / = 2 и / = 3, то мы здесь вместо общих соотнощений дадим соотнощения, относящиеся к случаю / — - 3. (После обсуждения дальнейших преобразований симметрии выражения для восприимчивостей становятся настолько наглядными, что обобщение легко может быть проведено.) [c.235]

Аналогичным образом может быть рассмотрен случай наклонного падения. При этом, если фО, то в среде, кроме двух поперечных волн одной поляризации, возбуждается также продольная волна. В этом случае при определении амплитуд всех волн оказывается существенным и второе из дополнительных граничных условий (10.28). Поскольку явные выражения для соотношений между амплитудами в общем случае весьма громоздки, мы их здесь не выписываем их вывод вполне аналогичен изложенному в учебниках (см., например, [1], 66). [c.260]

Используя это уравнение в сочетании с полученными нами выше явными выражениями для п , р , nd и Па как функций от и Г, можно найти как функцию от 2" и таким образом получить равновесные значения концентрации носителей при любой температуре. Общее рассмотрение весьма сложно, ц мы здесь ограничимся поэтому только особенно простым и важным частным случаем. [c.205]

Оставляем до следующего параграфа обсуждение полученных на этой основе результатов и перейдем к специальному случаю узких электродов, допускающему явное аналитическое решение с помощью уравнений (4.3) — (4.4) и (4.6) [175, 67]. Ограничимся исследованием возбуждения сдвиговых волн в гексагональном кристалле, т. е. будем рассматривать уравнения (4.2) — (4.4). Общий случай исследуется аналогично, но отсутствие явных выражений для определителей 3 >и и не позволяет провести решение до конца. Будем считать, что все электроды имеют ширину а и ширина электродов много меньше длины волны %, и расстояния между электродами h [c.190]

Полученная ранее упруго-пластическая матрица относится к общему случаю трехмерной сплошной среды. Для двумерных состояний необходимо привести ее к специальному виду. Например, для плоского напряженного состояния это достигается простым вычеркиванием в (18.24) столбцов, соответствующих нулевым компонентам напряжений. В случае плоской деформации должны учитываться все напряжения, но обращаются в нуль соответствующие компоненты деформаций. В работе [9] выполнены соответствующие преобразования и приведены явные выражения для матриц. Интересно отметить, что в этих случаях даже при идеальной пластичности диагональный член, соответствующий А, отличен от нуля. [c.407]

Случай неподвижной кривой. Само собой понятно, что изложенный метод, будучи общим, применим и к движению точки по неподвижной кривой. При этом обычно можно выбрать параметр д таким образом, чтобы X, у, г, выраженные в функции д, не содержали явно [c.404]

Однако общую формулу для температуры как функции координат и времени в явном виде получить невозможно, т. е. нельзя получить решение в аналитической форме при любых функциях А (х, у, г, I), соответствующих реальным формам лазерного импульса и пространственным распределениям интенсивности. Указанную зависимость можно вывести лишь для ряда конкретных случаев. В частности, наиболее распространенным случаем пространственного распределения излучения является гауссов профиль. Для такого профиля плотность поглощаемой энергии в пятне фокусирования в зависимости от его радиуса определяется из выражения [c.9]

Когда время входит явно в аналитические выражения сил и в уравнения связей, наложенных на систему, принцип последнего множителя, выведенный из общего правила, приложим также и к этому классу динамических задач. Есть даже несколько частных задач, для которых, хотя в них учитывается сопротивление среды, все же имеют место подобные теоремы это, например, случай кометы, обращающейся вокруг Солнца в среде, сопротивление которой пропорционально некоторой степени скорости этой кометы. [c.296]

Статическую электропроводность при постоянной температуре в постоянном магнитном поле Н можно записать в виде, аналогичном формуле (13.25) для случая Н = 0. В магнитном поле V (к ( )) зависит от поэтому интеграл, входящий в выражение (13.21) для неравновесной функции распределения, в общем случае уже не удается вычислить в явном виде. Теперь формулу (13.25) для нулевого поля следует заменить выражением [c.260]

В [3] был получен явный вид для функций относительных фазовых проницаемостей аппроксимирующих результаты численного эксперимента [7], в котором предельные насыщенности 5 и s принимали значение нуль и единица соответственно. Однако для решения прикладных задач больший интерес представляет случай, когда предельные насыщенности отличны от нуля и единицы, поэтому рассмотрим обобщение явного вида функций относительных фазовых проницаемостей на данный случай. Общий вид полученных в (2.12) функций относительных фазовых проницаемостей представляется выражениями [c.143]

Вопрос о соотношении В ш В был рассмотрен [25] также в рамках общей феноменологической теории, в которой движущей силой диффузии считается градиент химического потенциала (см.- 23). В, такой макроскопической теории не конкретизируется структура решетки, а также тин междоузлий, и результат может быть получен в общем виде для любых структур. При этом, однако, не удается получить явных выражений для коэффициентов В и В, а лишь соотношение между ними. В простейшем предельном случае, когда взаимодействие между атомами С мало и им можно пренебречь, по степень заполнения междоузлий р может быть любой, в такой теории были получены формулы для химических потенциалов меченых атомов С и их градиентов в случаях самодиффузии и химической диффузии. Для этого использовались общие формулы типа (23,34), определяющие плотности диффузионных потоков. Сравнение этих плотностей потоков в случаях самодиффузии и химической диффузии привело к установлению соотношения типа Даркена (ем. (23,41)) между В и /), имеющего вид (26,8). Таким образом, это соотношение оказывается справедливым не только в случае диффузии невзаимодействующих внедренных атомов по октаэдрическим междоузлиям ОЦК решетки, но и для общего случая любых структур решетки чистого (на узлах) металла и любых типов междоузлий. [c.273]

Таким образом, операторы Rju, j=i, D2, р, t k = j, q, Dr, связывающие входные и выходные координаты теплообменника, выражаются в явном виде через трансцендентные функции Яп и комплексы, составленные из коэффициентов уравнений динамики, комплексного параметра преобразования Лапласа по времени s и передаточных функций разделяющей стенки. Выще были приведены выражения и показан способ их определения для наиболее общего случая конвективно-радиационного теплообменника со сжимаемой рабочей средой, распределенными по длине температурой газа и энтальпией рабочей среды. Вид Rjh не зависит от модели разделяющей стенки. Выбор модели стенки влияет только на выражения передаточных функций Операторы Rjh для трубопроводов, радиационных теплообменников и прямоточных конвективных теплообменников совпадают с соответствующими передаточными функциями Wjk. В случае противоточного конвективного теплообменника возмущения по температуре газа задаются в точке. =1. Операторы Rju получены в результате решения задачи Коши, когда возмущения считались заданными в точке Х=0. Поэтому для лротивоточного теплообменника передаточные функции Wjh не совпадают с Rjh, а определяются комбинацией последних в соответствии с табл. 8-2. [c.123]

Однако эта функция не приводится к суперпозиции экспонент, и поэтому теория, изложенная в главе 3, приложима к рассматриваемому случаю не полностью. Выполняются равенство Гоо (т", ri) = Фоо( г Ti ) и соотношения Соболева, выражающие резольвенты уравнений для полубесконечной и конечной сред через резольвентные функции. Можно ввести преобразования Лапласа от резольвенты и резольвентной функции, в частности Н-функцию. Остаются справедливыми выражения для двустороннего преобразования Лапласа от Фс ) и соотношение Винера—Хопфа, а также уравнения, содержащие производные по толщине слоя го- Однако преобразование Лапласа от ядерной функции не является интегралом типа Коши. Явное выражение для ii-функции можно записать в том же виде, что и для неподвижной среды, но обратить преобразования Лапласа от резольвентных функций и представить их в виде, удобном для вычисления и исследования, в общем случае не удается. Поэтому асимптотическую теорию для рассеяния в дви-жухщосся средах нельзя построить так, как это было сделано для сред без учета их движения. [c.246]

Этому кругу вопросов, применительно к динамическим системам, были посвящены исследования Лиувилля, который установил общий критерий полной интегрируемости этих систем. Этот критерий заключается в требовании наличия необходимого числа (равного рангу системы) функционально независимых глобальных интегралов движения в инволюции. Важно отметить, что даже для одномерного случая знание вида таких интегралов не всегда позволяет явно проинтегрировать соответствующую систему в обычном смысле, т. е. описать в замкнутой форме ее эволюцию по начальным данным. Аналогичное утверждение имеет место и для двумерия задача Коши зачастую не имеет явного решения, тогда как явные выражения для динамических переменных системы могут быть получены в терминах асимптотических (или свободных) полей — ее динамических характеристик в бесконечно прошлом или в бесконечно будущем . Сказанное требует некоторого разъяснения. [c.6]

Для случая упругого материала, когда материал следует закону Гука, явные решения можно получить, рассмотрев вместо уравнений равновесия принцип возможных работ, воспользовавшись выражением (6.14) для энергии упругой деформации и выражениями (6.18) для деформаций. Однако энергетические методы имеют много недостатков таких, как тот, что с их помощью можно получить решения только в виде рядов, которые в случае исследования локальных явлений сходятся, как уже отмечалось ранее, медленно. Поэтому в данном параграфе будут полуяены общие уравнения равновесия тонких оболочек. Для tOjo чтобы придать. выбираемым соотношениям между деформациями и перемещениями необходимую общность, будем стараться сначала вводить только такие допущения, которые соответствуют основополагаю- [c.425]

Отметим, что, в отличие от (4.2.14) и уравнений более высокого порядка, уравнение (4.2.13) для одночастичной матрицы плотности не содержит источника из-за условия самосогласования (4.2.10). Чтобы явно найти источники в остальных уравнениях цепочки, нужно задать форму квазиравновесного статистического оператора. Следуя общей идеологии метода статистических ансамблей, Qq t) можно найти из условия максимума информационной энтропии при заданных средних значениях некоторых базисных динамических переменных. Простейшее предположение состоит в том, что одночастичная матрица плотности (4.2.2) является единственной наблюдаемой, которая характеризует неравновесное состояние системы. Тогда мы возвращаемся к ква-зиравновесному статистическому оператору (4.1.32), описывающему идеальный квантовый газ. Мы пока ограничимся только этим случаем. Более общие выражения для квазиравновесных распределений будут рассмотрены в следующем параграфе. [c.268]

В работе [242] указаны явные аналитические выражения для асимптотических решений к неподвижной точке в случае Клебша. Оказывается, что в общем случае (-М, 7) = с 7 О в этой задаче существует три типа неподвижных точек эллиптические, типа седло-центр и седлового типа. В последнем случае характеристические показатели при определенных с имеют вид (а + г/3), а, /3 К, а/З = О и ситуация аналогична задаче Лагранжа. Указанные двоякоасимптотические решения были использованы для изучения возмущений случая Клебша в работе [114]. Отметим, что как замечено Деванеем [203] при с = О, сепаратрисы к гиперболической точке трансверсально пересекаются, что, тем не менее, не противоречит интегрируемости системы Неймана, а условие /3 = 0, возникающее в этом случае, создает дополнительные сложности при исследовании возмущенной ситуации. [c.324]

После слагаемого, содержащего такие обозначения уже непригодны и требуется введение дополнительного индекса, который здесь для простоты опущен. Явные определения нескольких первых гармоник содержатся в работе Шенберга и Стайлза [395], а выражение с ббльшим числом гармоник, представленное в другой форме, приведено в работе [258] (см. также [155]). Как отметили Мюллер [301] и Мюллер и Пристли [303], такой тип разложения представляет собой частный случай (кубическая симметрия) более общего разложения по сферическим гармоникам (см. также работу Фолди [148], в которой устанавливается соответствие между разложением Мюллера и теоремой Лифшица — Погорелова). [c.232]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...