Обобщение теоремы Эйлера

Обобщение теоремы Эйлера. Теорема о том, что прямая, проведенная в теле, при повороте тела остается неподвижной, эквивалентна утверждению, что отображение единичной сферы на себя, получаемое при любом [c.108]

Таким образом, приходим к хак называемой обобщенной теореме Эйлера [c.245]

При стационарных связях кинетическая энергия системы является однородной квадратичной функцией обобщенных скоростей (129.2), а потому, на основании теоремы Эйлера об однородных функциях, [c.370]

Чтобы найти функцию Гамильтона, достаточно учесть, что система склерономна. Поэтому Я = Т -Г П, где обобщенные скорости следует заменить их выражениями через обобщенные импульсы (следствие 9.2.2, свойство 3). Учтем, что по теореме Эйлера [c.635]

Поскольку Тиф являются однородными квадратичными функциями обобщенных скоростей 4у. то по теореме Эйлера [c.24]

В этом случае декартовы координаты х, у, г являются функциями от обобщенных координат д, не содержащими I. Поэтому х, у, г — линейные однородные функции от д, а 2Т — квадратичная однородная функция от д. Следовательно, по теореме Эйлера об однородных функциях, имеем [c.233]

Здесь выражение, стоящее в круглых скобках, обращается в нуль, так как для сравниваемых траекторий имеет место интеграл энергии. Кроме того, в силу независимости связей от времени живая сила является однородной квадратичной формой от обобщенных скоростей. Поэтому на основании теоремы Эйлера об однородных функциях имеем [c.505]

Функция Релея согласно равенству (20.93) представляет однородную квадратичную форму относительно обобщенных скоростей Яъ < 2. . Поэтому на основании теоремы Эйлера об однородных функциях (см. примечание на стр. 450) будем иметь [c.497]

Элементы матрицы q,a) являются однородными функциями нулевой степени обобщенных скоростей. Следовательно, выражение (7 С д, (t)D является однородной функцией степени (шс + 3) тех же переменных. Пусть при этом моменты, к = 1,...,п, являются однородными функциями степени гПс + 2 обобщенных скоростей. Тогда по теореме Эйлера об однородных функциях [c.180]

Если наложенные на систему связи стационарны, то функция Гамильтона Н получает простой физический смысл. В этом случае Я представляет собой полную механическую энергию системы. В самом деле, при стационарных связях кинетическая энергия системы является однородной квадратической функцией обобщенных скоростей следовательно, на основании теоремы Эйлера об однородных функциях имеем [c.514]

На основании теоремы об изменении кинетического момента в форме (32) можно получить динамические уравнения движения для тела переменной массы, имеющего одну неподвижную точку. Эти уравнения будут естественным обобщением уравнений Эйлера, хорощо известных в динамике твердого тела постоянной массы. Если твердое тело имеет одну закрепленную [c.106]

Третья формулировка задачи Майера. Обобщение теоремы Лагранжа. Характеристические уравнения (обобщенные уравнения Эйлера — Лагранжа) [c.701]

Здесь правая часть представляет собой мощность всех возмущающих сил. Далее, поскольку Ф так же, как и Т, есть квадратичная форма относительно обобщенных скоростей, то по теореме Эйлера об однородных функциях имеем [c.22]

Зависимость кинетической энергии от обобщенных скоростей. Теорема Эйлера об однородных функциях [c.215]

Из сказанного ясно, что, пользуясь девятью направляющими косинусами как обобщенными координатами, нельзя получить лагранжиан и составить с его помощью уравнения движения. Для этой цели мы должны использовать не сами эти косинусы, а некоторую систему трех независимых функций этих косинусов. Некоторые такие системы независимых переменных, из которых наиболее важной является система углов Эйлера, будут описаны нами позже. Однако применение направляющих косинусов для описания связи между двумя декартовыми системами координат имеет ряд собственных важных преимуществ. Так, например, многие теоремы о движении твердых тел можно получить с их помощью весьма изящным и общим способом, притом в форме, встречающейся в специальной теории относительности и в квантовой механике. Поэтому этот метод заслуживает более подробного изложения. [c.113]

Уравнения динамики твердого тела. Примем за обобщенные координаты тела три координаты х ., у , его центра масс и три угла Эйлера ф,г1), б. Движение центра масс описывается уравнением (9) теоремы об изменении количества движения. Для твердого тела это уравнение приводится к виду [c.49]

Кинетическая энергия и функция Рэлея рассматриваемой механической системы являются однородными квадратичными формами от ее обобщенных скоростей. В связи с этим полезно вспомнить теорему Эйлера об однородных функциях. Эта теорема утверждает, что если I х-х, х , х ) — однородная функция порядка п, то [c.169]

Вопрос этот был исследован также Ламбом ). Он рассматривает обобщенное плоское напряжение ( 94) и берет случай, когда к бесконечной балке приложен ряд сосредоточенных грузов на равных расстояниях друг от друга. Он находит для прогиба выражение, состоящее из трех членов. Первый из них совпадает с тем, который дает теорема Бернулли-Эйлера. Дополнительный прогиб, выражаемый вто- [c.386]

В книге изложена общая теория описания винтов с помощью особых комплексных чисел и даны приложения теории к определению конечных поворотов твердого тела (сложение и разложение поворотов), к анализу и синтезу пространственных механизмов. Рассмотрены задачи, решаемые методом винтов о движении тела под действием расположенных на нем маховиков или других произвольно движущихся масс, об измерении пространственного движения тела с помощью инерционных датчиков, пространственное обобщение теоремы Эйлера-Савари, играющей большую роль в теории зацепления задача о колебаниях упруго подвешенного тела и ряд других. [c.2]

Соотношение (7.33) и сформулированная теорема и следствие с соотношениями (7.34) и (7.35) и указанием о конфигурации единичных винтов бинормалей и образующих представляют обобщение теоремы Эйлера-Савари для произвольного движения твердого тела. [c.168]

Образуем щетку, содержащую прямую тела и бинормаль подвижного аксоида образуем щетку, содержащую бинормаль линейчатой поверхности (траектории), описываемой прямой тела, и бинормаль неподвижного аксоида. Три прямые — общий пересекающий перпендикуляр указанных двух щеток, общий пересекающий перпендикуляр прямой тела и бинормали ее траектории, общая образующая аксоидов — пересекаются в одной точке под прямыми углами (построение к обобщенной теореме Эйлера Савари для пространственного движения, данное в 3 гл.VII этой книги) [c.195]

Теория гироскопических приборов и гироста-билиааторов естественно не ограничивается изложением только физической стороны рассмотрения движения гироскопов. В основе изложения теории гироскопов и гироскопических стабилизаторов лежит аналитическое исследование дифференциальных уравнений движения гироскопов. Дифференциальные уравнения движения гироскопов составляются либо с помощью обобщенных уравнений Эйлера, либо на основе Лагранжевых дифференциальных уравнений движения. Кратчайший путь для составления обобщенных уравнений Эйлера достигается применением теоремы моментов количества движения в той ее форме, которую иногда называют теоремой Резаля. [c.32]

Первые 6 лекций Якоби посвящает изложению основных принципов механики принципу сохранения движения центра тяжести системы, принципу живой силы, принципу площадей и принципу наименьшего действия. С 10-ой лекции Якоби развивает теорию множителя" систем обыкновенных дифференциальных уравнений, являющуюся обобщением теории эйлеров-ского интегрирующего множителя. Якоби показывает каким образом можно в целом ряде случаев построить с помощью последнего множителя" всю систему п независимых интегралов. Изложив подробно теорию этого множителя, Якоби затем применяет ее к решению ряда механических задач. С 19-ой лекции Якоби, исходя из вариационного принципа Гамильтона, излагает тот метод интегрирования уравнения с частными производными первого порядка, который известен под названием метода Якоби-Гамильтона". В следующих лекциях этот метод примендется к ряду задач, взятых главным образом из области небесной механики. В 26 лекции Якоби излагает теорию эллиптических координат и показывает их приложение к разысканию геодезических линий эллипсоида, к задаче построения карт, к выводу основной теоремы Абеля и проч. Наконец, последние лекции Якоби посвящены изложению его классических методов интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. [c.4]

В статье В. М. Карагодина Некоторые вопросы механики тела переменной массы (1956) и в его монографии Теоретические основы механики тела переменного состава (1963) дано обобщение теоремы Кенига на случай тела переменной массы, центр инерции которого и процессе движения самого тела перемещается с некоторой скоростью по отношению к точкам тела, и сформулирована для этого случая теорема о кинетической энергии тела переменной массы. Там же дано обобщение уравнений Эйлера на случай тела переменной массы с переменными моментами инерции, когда центр масс перемещается внутри тела, а центральная система осей координат вращается по отпошению к телу с определенной угловой скоростью. [c.305]

Для интервалов чисел Рейнольдса, в которых лобовые сопротивления Dt, Dg являются однородными функциями скоростей соответствуюгцих элементов, интеграл (1.13) можно преобразовать к другому, который уже имеет физический смысл. Согласно лемме 5.1 из главы I речь идет о тех интервалах чисел Рейнольдса, в которых коэффициенты лобового сопротивления являются однородными функциями степени тПс числа Рейнольдса. В этих условиях согласно формуле (1.4), могцность Y является однородной функцией степени m = Шс + 3 обобщенных скоростей. Тогда по теореме Эйлера об однородных функциях [c.153]

Например, уравнения Эйлера движения тверого тела имеют своим аналогом в гидродинамике уравнения Эйлера движения идеальной жидкости. Теореме Эйлера об устойчивости вращений вокруг большой и малой осей эллипсоида инерции отвечает в гидродинамике слегка обобщенная теорема Релея об устойчивости течений без точек перегиба профиля скоростей и т. д. [c.283]

Причина вырождения может быть в том, что число первых интегралов, определенных во всем фазовом пространстве, больше п (но не все они, разумеется, находятся в инволюции). Так, например, в задаче Эйлера о вращении твердого тела по инерции, имеющей три степени свс ды, существует четыре независимых первых интеграла. Их совместные уровни расслаивают трехмерные инвариантные торы на друмерные торы. Эта ситуация описывается обобщением теоремы 8. Обозначим Fu...,Fn+k независимые первые интегралы гамильтоновой системы с гамильтонианом Н и пусть по-прежнему М,= = хбЛ1 Fi x)=fi, Считаем Mf связным н ком- [c.131]

Представим себе текучую среду в виде жидкости вихревой структуры, т. е. совокупность вихревых шнуров, движущихся поступательно. Известно, что решение уравнения Эйлера для вихревых течений приводит к теореме Гельмгольца о сохранении вихревых линий. Однако этот вывод находится в противоречии с опытом. На основе уравнения Эйлера нельзя объяснить процесс возникновения и исчезновения вихрей. Решения Навье —Стокса объясняют процесс затухания вихрей, а не процесс их образования. Поэтому возникает проблема обобщения уравнения Навье—Стокса. Впервые на это обратил внимание Н. П. Кастерин [Л.1-18]. Он предложил вихревую модель жидкости. [c.49]

Большое разнообразие встречающихся в физике Н, у. м. ф. затрудняет развитие общих матем. методов их исследования. Лишь для сравнительно немногих Н. у. м. ф. доказаны теоремы существования и единственности, к таким относятся ур-ния Янга — Миллса, ур-ния Навье — Стокса в двумерном случае, ур-ния газовой динамики. Для ур-ний Навье — Стокса в трёхмерном случае теорема единственности решения задачи Коши до сих пор не доказана. Затруднена даже проблема классификации Н. у. м. ф. Часть их попадает под классич. разделение на эллиптич., гиперболич. и параболич. ур-ния, но значит, число важных Н. у. м. ф. (среди них Кортевега — де Фриса ур-ыие, Кадомцева — Петвиашвили ур-ние) не могут быть отнесены ни к одному из этих типов. Нек-рую классификацию Н. у. м. ф. можно осуществить на основе физ. соображений. Прежде всего это разделение на стационарные и ЭВО.ТЮЦ. ур-ния. Большинство стационарных ур-ний относится к эллиптич. типу. Среди эволюц. ур-ний, явно содержащих производные по времени, можно выделить консервативные Н. у. м. ф., сохраняющие интеграл энергии, и диссипативные Н. у. м. ф., описывающие открытые системы , обменивающиеся энергией с внешним миром . Одним из интересных достижений теории Н. у. м. ф. было обнаружение того факта, что консервативные Н. у. м. ф., как правило, являются гамильтоновыми системами, хотя явное введение кано-иич. переменных зачастую оказывается трудной задачей. Установлена гамильтонова природа большинства консервативных обобщений ур-ний Эйлера и даже системы ур-ний Власова, описывающих плазму без столкновений. Для гамильтоновых систем, близких к линейным, развиты методы теории возмущений, позволяющие учитывать нелинейные эффекты и производить статистич. описание решений. Все перечисленные выше универсальные Н. у. м. ф., за исключением Бюргерса ур-ния и Хохлова — Заболотской ур-ния, являются гамильтоновыми. [c.315]

Патрик Дарси, ирландец, достигший во французской армии чина фельдмаршала, а во французской науке — членства Парижской академии наук, был теоретиком и нрактиком-артиллеристом, изучал и небесную механику— теорию Луны. Существенное место в истории механики занимает его работа Динамическая задача , к рассмотрению которой мы переходим В ней доказывается теорема, дающая обобщение соответствующей теоремы Ньютона при движении системы материальных точек вокруг неподвижного центра сумма произведений вида тгОг, где Oi — площадь, описываемая радиусом-вектором точки с массой rrii, и все О берутся в одной и той же плоскости проекций, пропорциональна времени. Это и есть, собственно, обобщенный закон площадей в интегральной форме, а теорема Д. Бернулли и Эйлера дает тот же закон в дифференциальной форме. В отличие от Эйлера и Бернулли, [c.126]

В механике жидкости и газа, напротив, был получен ряд важных общих результатов. Так, было введено четкое понятие давления в идеальной жидкости (И. Бернулли, Л. Эйлер), разработаны некоторые общие положения гидравлики идеальной жидкости, в том числе получены уравнение Бернулли (Д. и И. Бернулли, Л. Эйлер) и теорема Борда. Наконец, благодаря главным образом трудам JI. Эйлера были заложены основы гидродинамики идеальной (капельной и сжимаемой) жидкости. Замечательно, что уравнения гидродинамики были построены Эйлером при помощи вполне современного континуального подхода. Тут к его результатам трудно что-либо добавить ив 47 наши дни (конечно, если не касаться термодинамической стороны вопроса). Однако блестящая по стройности построения общая гидродинамика идеальной жидкости оказалась в XVIII в. лигпенной каких-либо приложений, если не считать акустики, опиравшейся в то время на представления И, Ньютона, эквивалентные предположению об изотермичности процесса распространения звука. Опередивйхие более чем на век требования времени, континуальные представления Эйлера в гидродинамике идеальной жидкости нуждались лишь, казалось бы, в небольшом обобщении — последовательном введении касательных напряжений,— для того чтобы обеспечить построение основ всей классической механики сплошной среды. Но, по-видимому, именно опережение Эйлером своей эпохи и практических запросов того времени повлекло за собой то, что толчок к дальнейшему развитию механики сплошной среды дали только через три четверти века феноменологические исследования, основанные на молекулярных представлениях. Чисто континуальный подход, основанный на идеях Эйлера и Коши, был последовательно развит англ [йской школой в 40-х годах и завоевал полное признание только в последней трети XIX в. [c.47]

Одними из первых методом функций Ляпунова были решены задача Эйлера об устойчивости прямолинейной формы равновесия тонкого стержня постоянного сечения, находящегося под действием продольной постоянной нагрузки (Н. Г. Четаев, 1946) и задача об устойчивости круговой формы однородной гибкой нерастяжимой нити в отсутствие внешних сил (П. А. Кузьмин, 1948—1949). В обеих задачах введено счетное множество обобщенных координат системы, причем для второй из названных задач рассматривается обоснование перехода от конечного числа переменных к бесконечному введением гильбертова пространства. Построением функции Ляпунова была также решена задача об устойчивости эллипсоидов Маклорена вращающейся гравитирующей жидкости по отношению к конечному числу переменных, характеризующих простое, по Лиувиллю, движение жидкости (В. В. Румянцев, 1959). Применение теоремы Ляпунова о неустойчивости позволило строго доказать неустойчивость вихревых цепочек Кармана (Г. В. Каменков, 1934 Н. Е. Кочин, 1939). [c.30]

Дальнейшее развитие учения о движении жидкости и обобщение законов гидростатики дали возможность членам Российской академии наук в Санкт-Петербурге Леонарду Эйлеру (1707—1783 гг.) и Даниилу Бернулли (1700—1782 гг.) разработать теоретические основы гидравлики и, таким образом, создать прочную теоретическую базу, позволившую выделить гидравлику в отдельную отрасль науки. Д. Бернулли, работая над проблемами математики и механики, посвятил ряд мемуаров вопросам движения и сопротивления жидкости. В 1738 г. им опубликован капитальный труд по гидродинамике, в предисловии к которому автор указал, что его труд полностью принадлежит России, и прежде всего ее Академии наук. В этой работе Бернулли дал метод изучения движения жидкости, ввел понятие гидродинамика и предложил известную теорему о запасе энергии движущейся частицы жидкости. Эта теорема носит теперь имя Д. Бернулли и лежит в основе ряда разделов гидравлики. Л. Эйлер первый дал ясное определение понятия давления жидкости и, пользуясь им, в 1755 г. вывел основные дифференциальные уравнения движения некоторой воображаемой жидкости, лишенной трения, так называемой идеальной жидкости. Эти уравнения впоследствии были названы его именем. На основе учения Л. Эйлера возникла родственная гидравлике наука — гидромеханика, также рассматривающая законы движения жидкостей, но на основе только математического анализа, тогда как гидравлика для изучения отдельных вопросов широко использует и экспериментальный метод. [c.7]

Замечание 2. Для интегрируемости системы (1.1) по теории последнего множителя (теория Эйлера-Якоби см. 7 гл. 1) также не хватает еще одного дополнительного первого интеграла. Действительно, исследуемая система (1.1) обладает тремя первыми интегралами и стандартной инвариантной мерой р = onst. Заметим, однако, что естественные обобщения уравнений (1.1) (см. 4 гл. 3) уже не могут быть проинтегрированы этим методом. Для таких систем интегрируемость устанавливают с помощью гамильтонового формализма и теоремы Лиувилля ( 7 гл. 1). [c.91]

Путь универсализации методов, обобщения известных задач был главной чертой творчества Вариньона. По если его предшественники (Стевин, Галилей, Кеплер, Декарт) и современники (Гюйгенс, Пьютон, Лейбниц) искали универсальный принцип в мире философских идей, то он больше тяготел к универсализации математического аппарата механики. Особенно к адаптации идей математического анализа и дифференциальных уравнений. Основные идеи геометрической статики, принцип возможных перемещений , теорема об изменении количества движения, теорема об изменении кинетической энергии составляли основу механико-математических работ Вариньона. Это был пролог аналитической механики Эйлера-Даламбера-Лагранжа. [c.204]

Это утверждение можно назвать обобщенным принципом напряжений Эйлера и Коши (которые рассмотрели аналогичное предположение для случая, когда — вектор напряжения). Нолл [Noll, 1974, теорема IV] установил, что это утверждение— не предположение, а следствие уравнения (2.4.6) и того факта, что зависит от геометрии dBt некоторым определенным образом. Поэтому величина может, вообще говоря, [c.99]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...