Основная теорема теории возмущений

Основная теорема теории возмущений [c.356]

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 357 [c.357]

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 359 [c.359]

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 361 [c.361]

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 363 [c.363]

Смешанные функции Грина. Задача состоит в том, чтобы вывести кинетическое уравнение для функции Вигнера нри t > если начальное состояние системы описывается статистическим оператором (6.4.2). В принципе можно применить метод временных функций Грина, заданных на контуре Келдыша-Швингера С (см. рис. 6.6), но мы сразу же столкнемся с серьезной проблемой. Дело в том, что при вычислении средних значений с начальным статистическим оператором (6.4.2) нельзя пользоваться теоремой Вика и, следовательно, на контуре С не существует обратная одночастичная функция Грина G (l,l ). Иначе говоря, мы не можем записать уравнения движения для G(l,l ) в виде уравнений Дайсона (6.3.29) и (6.3.30). Придется работать непосредственно с цепочкой уравнений Мартина-Швингера для гриновских функций и расцеплять ее на каком-то этапе. Такой подход применялся, например, в работе [153]. К сожалению, он не позволяет продвинуться дальше низшего порядка теории возмущений по начальным корреляциям, так как уравнения цепочки быстро усложняются. В связи с этим напомним два основных достоинства уравнения Дайсона. Во-первых, оно определяет общую структуру кинетического уравнения. Во-вторых, приближения делаются только в массовом операторе, который представляет собой результат частичного суммирования бесконечных рядов теории возмущений для цепочки Мартина-Швингера. Поэтому желательно сформулировать схему вывода кинетического уравнения так, чтобы в ней, в той или иной форме, фигурировало уравнение Дайсона. Мы покажем, что и в случае начального состояния с корреляциями можно вывести уравнение Дайсона, но не для гриновской функции G(l,l ) на контуре Келдыша-Швингера, а для более общего объекта — матричной смешанной функции Грина, заданной на расширенном контуре G. Этот контур лежит в плоскости ( ,ж), как показано на рис. 6.7. [c.64]

Основные теоремы. Задача об устойчивости имеет значение ие только при исследовании положений равновесия, но и при исследовании движения механических систем. Она возникает в связи с необходимостью знать, как изменится движение нри отклонении начальных условий от заданных. Исследованием вопросов устойчивости равновесия занимался еще Аристотель. Лагранж сформулировал известную теорему об устойчивости равновесия и рассмотрел малые возмущенные движения в окрестности положения равновесия системы. Развитием учения об устойчивости равновесия и движения занимались такие крупнейшие ученые, как П. Тэт (1831— 1901), Томсон (лорд Кельвин) (1824—1907), Э. Раус, А. Пуанкаре, [c.571]

Теорема Вика. Перейдем теперь к нашей основной задаче — вычислению гриновских функций системы взаимодействующих частиц. Если взаимодействие между частицами можно считать слабым, то выражение для температурных гриновских функций в представлении взаимодействия позволяет представить ряд теории возмущений по в исключительно компактной форме. [c.148]

Главный вопрос, рассматриваемый в гл. 12, представляет собой центральную тему книги — теорию взаимодействия излучения с веществом. Мы излагаем эту теорию, уделяя особое внимание процессам инфракрасного поглощения и комбинационного рассеяния света решеткой. Сначала дается вывод методами квантовой механики с использованием обычной теории возмущений. Такое рассмотрение позволяет проанализировать оптические процессы посредством анализа матричных элементов переходов для процессов инфракрасного поглощения и комбинационного рассеяния. В этом анализе основную роль с точки зрения теории симметрии играет теорема Вигнер — Эккарта, позволяющая установить отличные от нуля матричные элементы переходов. Теперь в нашем распоряжении имеются все необходимые сведения симметрия начального и конечного состояния кристаллической решетки, а также симметрия оператора перехода. Определяя коэффициенты приведения, можно довести рассмотрение до конца и установить правила отбора. Это рассмотрение дает пример прямого, конкретного, легко обозримого и используемого приложения теории симметрии. Кроме того, применение правил отбора для интерпретации решеточных спектров представляет собой одну из наиболее полезных глав книги. [c.21]

Интегральная теорема Кирхгофа. Основная идея теории Гюйгенса— Френеля заключается в том, что световое возмущение в точке Р возникает вследствие суперпозиции вторичных волн, испускаемых поверхностью, находящейся между этой точкой и источником света, Кирхгоф [31 придал этой [c.345]

Рассмотрим теперь некоторый класс методов теории возмущений, предложенных Колмогоровым 1229] и играющих, как показано в гл. 3, фундаментальную роль при доказательстве теоремы KAM. Их основной чертой является чрезвычайно быстрая сходимость последовательных приближений. Во всех до сих пор рассмотренных в этой главе методах гамильтониан Я = Яо -г еЯ подвергался таким последовательным каноническим преобразованиям, при которых порядок возмущения по 8 изменялся на единицу на каждом шаге [c.162]

Коэффициенты аи убывают медленнее, чем Ьи, а при рациональных а некоторые из них не определены. В этом и состоит проблема малых знаменателей, препятствующих сходимости рядов теории возмущений. Если а зависит от /1, то величину I нужно выбирать так, чтобы ни один знаменатель не оказался резонансным. Для этого необходимо соответствующим образом изменить процедуру разложения, а также потребовать достаточно быстрого убывания коэффициентов Ьи- Доказательства теоремы КАМ чрезвычайно сложны и мы не будем их здесь излагать. Основная идея доказательства состоит в изменении начальных условий на каждом шаге разложения таким образом, чтобы все время оставаться достаточно далеко от всех резонансов и тем самым иметь возможность продолжать разложение. [c.187]

Уместно будет, отвлекаясь несколько в сторону, обсудить возможность напрашивающегося подхода к доказательству этой теоремы с помощью теории возмущений. Когда возмущение исходной ДС f мало, движение в возмущенной ДС происходит в основном по замкнутым траекториям потока f , т. е. по кривым р х, xeN. но на это накладывается еще малый поперечный снос, который в этих терминах можно описать как небольшое изменение х. За один оборот вдоль р х накапливается некоторый снос, который приближенно можно вычислить Я10 методу осреднения. При геометрически инвариантной трактовке последнего он дает нам некоторое векторное поле v на N, -описывающее средний снос за один оборот. Замкнутые траектории возмущенного потока, имеющие период т, будут там, тде среднего сноса нет, т. е. они расположены возле кривых p a, для которых v(a) =0. (Отсюда ясна роль условия х( ) [c.187]

Нетрудно выписать формальное выражение для следующего члена ряда по кумулянтам (6.33) через корреляционные функции (0) (1, 2), (1, 2, 3) и (0) 2, 3, 4) исходной жидкости. Поскольку эти корреляционные функции точно неизвестны, клад этого слагаемого можно оценить только приближенно с помощью суперпозиционных приближений (2.27) и (2.28) [19]. Пожалуй, стоит заметить, что корреляционные функции высшего порядка дают, вероятно, лишь очень малый вклад в последующие члены ряда теории возмущений. Это утверждение базируется на основной теореме ( 5.10) об обращении в нуль кумулянтного среднего от произведения статистически независимых переменных. Это, например, справедливо для функции (1, 2, 3, 4), исключая лишь случай, когда все четыре атома расположены очень близко друг к другу. [c.263]

Это основное условие самосогласования аналогично теореме Дайсона, известной из диаграммного представления теории возмущений. Мы можем рассматривать его как функциональное уравнение. [c.307]

Если постоянные fij удастся выбрать так, чтобы функция V была определенно-положительной, то она будет удовлетворять всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости движения. При этом в тех случаях, когда первые интегралы Uj (j = 1, 2,..., к) могут быть найдены из каких-либо общих соображений (например, при помощи основных теорем динамики), отпадает необходимость составления самих уравнений возмущенного движения, что существенно упрощает исследование. [c.519]

Теоретическое обоснование этого замечательного свойства голограмм — передавать неискаженные изображения через неоднородные среды — опирается на теорему взаимности. Последняя вытекает из основного свойства функции Грина — перестановочности источника возмущения и точки наблюдения. В общем виде это свойство формулируется так пусть антенна Л, находящаяся в точке Oi, является излучателем, а антенна В, расположенная в точке Ог, — приемником. Пусть теперь излучает антенна В, создавая такое же поле, как в предыдущем случае, из точки О2. Тогда, согласно свойству перестановочности, у антенны А будет то же поле, что и у антенны В в первом случае, независимо от свойств среды и формы антенн. Важно, что справедливость этой теоремы не зависит от неоднородностей среды. [c.327]

Некоторые приложения этой теоремы будут даны ниже ( адиабатические инварианты ). Заметим, что основная идея доказательства этой теоремы (замена переменных, убивающая возмущение) важнее самой теоремы это — одна из основных идей в теории обыкновенных дифференциальных уравнений она встречается уже в элементарном курсе в виде метода вариации постоянных . [c.259]

Уравнения (17) обладают одним существенным недостатком. В них не у( Матриваются в явной форме основные частоты задачи, поэтому к ним непосредственно не применима асимптотическая теория, изложенная в гл. III. Сначала необходимо выполнить замену переменных для нреобразоваия уравнений (17), например, в систему вида (1.90), а потом уже воспользоваться теоремами и алгоритмами асимнтотической теории возмущений. Астрономы такие замены разработали давно, и ниже будет приведена наиболее распространенная. [c.135]

Важным для обоснования универсальности метода функций Ляпунова является вопрос об обратимости основных теорем, лежащих в основе этого метода. Действительно, если вторым методом Ляпунова пользоваться как основным при решении задач устойчивости, то должна быть уверенность, что соответствующие функции в самом деле существуют. Сам А. М. Ляпунов не рассматривал вопроса о существовании в общем случае функций, удовлетворяющих его основным теоремам. Этот вопрос впервые был поставлен Н. Г. Четаевым перед участниками его семинара по устойчивости в Каэаня и к настоящему времени разрешен трудами ряда советских и иностранных ученых. Первой работой в этой области была статья И. Г. Малкина (1930), в которой рассматрива лись автономные системы второго порядка. Было показано, что для устойчивого установившегося невозмущенного движения может не существовать знакоопределенной не зависящей от времени функции, производная которой в силу уравнений возмущенного движения была бы знакопостоянной противоположного знака однако можно найти такую функцию, зависящую явно от времени. [c.18]

Далее оказывается, что усредненная система имеет устойчивое положение равновесия, соответствующее движению всех планет в одной плоскости а одну сторону по круговым орбитам. Движение планет, соответствующее малым колебаниям в линеаризованной около этого равновесия усредненной системе, называется лагранжевым движением. Оно имеет простую геометрическую интерпретацию. Вектор, направленный из фокуса в перигелий планеты и имеющий длину, пропорциональную ее эксцентриситету (вектор Лапласа), в проекции на основную плоскость системы координат является суммой п—1 равномерно вращаюшлхся векторов. Набор угловых скоростей этих векторов одинаков для всех планет. Вектор, направленный по линии пересечения плоскости орбиты планеты с основной плоскостью (линии узлов) и пропорциональный по длине наклонению планеты, является суммой п—2 равномерно вращающихся векторов". Если в некоторый момент времени эксцентриситеты и наклонения достаточно малы, то в усредненной системе они останутся малыми и во все время движения. В частности, оказываются невозможными столкновения планет и уходы на бесконечность. Это утверждение называется теоремой Лагранжа — Лапласа об устойчивости Солнечной системы. С момента доказательства теоремы (1784 г.) центральная математическая задача небесной механики состояла в том, чтобы перенести этот вывод об устойчивости с усредненной системы на точную. На этом пути возникли многие разделы теории динамических систем, в том числе теория возмущений и эргодическая теория. Сейчас решение рассматриваемой задачи значительно продвинуто. Оказывается, при достаточно малых массах планет большая доля области фазового пространства, соответствующей не-зозмущенном движению в одну сторону по кеплеровским эллипсам малых эксцентриситетов и наклонений, заполнена условно-периодическими движениями, близкими к лагранжевым (см. 3). Таким образом, устойчивость имеет место для большинства начальных условий. При начальных условиях из исключительного множества эволюция больших полуосей если и происходит, то очень медленно — ее средняя скорость экспо- [c.186]

И эта теорема впервые была доказана Рэйли [ ], правда, при некоторых ограничивающих предположениях. Позже она была доказана в более общем виде В. Толмином [ 1. Согласно этой теореме, внутри течения существует в случае нейтральных возмущений такой слой у г/ р, в котором V — с = 0. Это обстоятельство так же, как и существование точки перегиба на профиле скоростей, имеет фундаментальное значение для теории устойчивости. В самом деле, точка С/ — с = О является особой точкой дифференциального уравнения возмущающего течения без учета трения (16.16). В этой точке вторая производная ф" равна бесконечности, если только здесь не обращается в нуль вторая производная С/". Слой у = г/ р, в котором V = с, называется критическим слоем основного течения. Если [ 7кр О, то в окрестности критического слоя, где можно принять, что [c.430]

Из теории будут получены с 1едующие два основных результата 1) формула Лорентц—Лореица ), которая связывает макроскопические оптические свойства среды с числом и свойствами рассеивающих частиц, и 2) так называемая теорема погашения Эвальда и Озеена, которая показывает, каким образом внепшес электромагнитное возмущение, распространяющееся со скоростью света в вакууме, точно компенсируется и заменяется в веществе вторичным возмущением, распространяющимся с соответственно меньшей скоростью. [c.83]

Из теории групп вытекает, что влияние одного лишь тригонального поля (Сзн или Сз), как и влияние одного лишь спин-орбитального взаимодействия, пе приводит к расш еплению уровней Аз, Е, (переходы, которые соответствуют узким линиям Я, К ж В), согласуюш емуся с опытом. В частности, Аа и Е Я) не расщепляются, а Я ) и В) дают только две компоионты. Поэтому для расчета тонкой структуры этих линий необходимо учесть комбинированное действие тригонального поля и спин-орбитального взаимодействия. С точки зрения теории групп можно определить число и типы компонент тонкой структуры указанных уровней, если эти два возмущения рассматривать последовательно одно за другим в произвольном порядке (еще раз отметим, что при квантово-механическом расчете оба возмущения следует рассматривать одновременно). Будем вначале учитывать тригональное поле, а затем спин-орбитальное возмущение. Если считать, что симметрия тригонального поля есть Сз -, то имеем следующее расщепление уровней Аз -5 Аг, Е - Е ", + Е" , -> А1 + Е" . Учет спин-орбитального взаимодействия приводит к дальнейшим расщеплениям А Е / + + Е /,, 2Е - > ЕТ/, + Е /., АгЕ / А -> Е1 / , т. е. окончательно получаем Аз + ЩЛ Е1 + Е1, а Е1+Ь Е + Щ,, а Еу, -Ь 6Еу, -Ь Е и что соответствует экспериментальным данным, если учесть, что расщепление основного состояния получается лишь во втором приближении но спин-орбите и имеет порядок 0,38 см [182] в согласии с данными ЭПР [183, 184]. Переход от симметрии Сз к Сд не дает дополнительных расщеплений, так как полученные дуплеты уже не могут быть расщеплены согласно теореме Крамерса (ион Сг имеет нечетное число (3) с1-электронов). [c.63]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...