Уравнение и интеграл живых сил

Уравнение и интеграл живых сил [c.278]

Уравнения (2), (3) и (4) (уравнение сферы, интеграл живых сил и интеграл площадей) принимают в цилиндрических координатах / , 6 и z вид [c.200]

Теорема и интеграл живых сил. Так как уравнения Лагранжа вполне определяют движение голономной системы, то всякое свойство движения должно являться следствием из этих уравнений. В виде примера полезно проверить, что, когда связи не зависят от времени, уравнения (43) будут содержать в себе теорему живых сил, которая, как уже известно, справедлива для всякой системы с такими связями (п. 30). [c.294]

С другой стороны, уравнение движения и интеграл живых сил, отправляясь от допущенных начальных условий (а = оц, скорость равна нулю), можно написать соответственно в виде [c.68]

При решении этой задачи можно исходить непосредственно из законов движения материальной точки и искать решение последовательными интегрированиями. Удобнее исходить из первых интегралов уравнений движения. В рассматриваемом случае существует два первых интеграла уравнений движения интеграл живых сил и интеграл площадей. Первый из них имеет вид [c.245]

Характер параболического движения выясняется из уравнения орбиты и интеграла живой силы. [c.506]

Но р дУ дд1, р =- дУ/дд , и интеграл живых сил имеет вид Н к. Так как при этом функция V должна выражаться как функция координат и /г, она должна удовлетворять уравнению [c.358]

Положение точки т определяется значением угла 0 между отрезком От и вертикалью поэтому достаточно одного дифференциального уравнения для решения задачи о движении точки т. За такое уравнение можно взять интеграл живой силы (4.3) но в этом интеграле имеется не отвечающее механической задаче побочное решение, обусловленное математическим способом получения интеграла живой силы, а именно [c.98]

Уравнение сферы есть т + z = Р, где через Z обозначен радиус сферы. Сила тяжести имеет силовой функцией выражение и = —mgz, где g — ускорение силы тяжести. Интеграл живой силы [c.116]

Интеграл живой силы, — Интегралом живой силы называют первый интеграл уравнений движения, получающийся в том частном случае, когда точка движется в силовом поле и равнодействующая сил, приложенных к точке, имеет силовую функцию [c.158]

Интегралы живых сил и площадей.—Легко получить в рассматриваемом случае два первых интеграла уравнений движения интегралы живых сил и площадей. [c.197]

Будем рассматривать V как потенциал скоростей, и примем плотность жидкости равной единице тогда левая часть этого уравнения есть удвоенная живая сила ее мы имеем, таким образом, выражение этой живой силы через интеграл, взятый по поверхности. [c.157]

Из общей теории, изложенной в пп. 12, 15, мы уже знаем, что уравнение (20) интегрируется двумя квадратурами. Первый интеграл мы получим, умножая обе части равенства (20) на 26 и интегрируя. Этот интеграл представляет собой интеграл живых сил [c.37]

Для определения траектории (геодезической линии на поверхности вращения) возьмем снова интеграл живых сил и, рассматривая в нем г как сложную функцию от t через 0 исключим 6 при помощи интеграла площадей. Для функции 2 (6), которая определяет траекторию на поверхности, мы получим таким образом дифференциальное уравнение [c.148]

Об интегрировании уравнений движения твердого тела по ИНЕРЦИИ. Мы видели в предыдущем пункте, что для уравнения (5 ) существуют четыре первых скалярных интеграла, а именно интеграл живых сил и три интеграла, получающиеся путем проектирования на неподвижные оси интеграла моментов количеств движения (19). Отсюда на основании теоремы Лиувилля, которую мы установим в гл. X, можно непосредственно заключить, что уравнения (5 ) движения тела по инерции интегрируются в квадратурах. [c.85]

Прежде всего легко видеть, что ось перманентного вращения в пространстве может быть только вертикалью. Действительно, речь идет о том, чтобы показать, возможно ли удовлетворить уравнениям (34), (35) и, следовательно, их первым интегралам (28), (32), предполагая в них постоянной в пространстве угловую скорость о . Но в таком случае, как мы знаем (т. I, гл. IV, п. 11), эта угловая скорость будет постоянной также и в теле, откуда следует на основании соотношений между векторами ю и К, что будет постоянным в теле также и момент ЛГ количеств движения достаточно принять во внимание интеграл живых сил (32), который можно написать в виде [c.104]

Эти уравнения, как и уравнения (ЮЗ ), допускают интеграл живых сил, принимающий здесь, при наличии силы тяжести, вид [c.181]

Интегрирование уравнения (30) дает угловую скорость г диска в функции от 0, после чего все сводится к определению б в функции от времени, так как, зная 9(/ ), мы сможем найти аналогичное выражение для г, а на основании первого из уравнений (20) и второго из уравнений (29) найдем и выражения для р Vi q с другой стороны, после вычисления р, q г в функциях от времени, второе и третье из уравнений (20) дадут <р (f) и t) посредством двух квадратур. Для определения 9 ( ) можно было бы обратиться к первому из уравнений (19 ), ДО сих пор еще не использованному. Выгоднее, однако, взять в качестве исходного уравнения хорошо известный первый интеграл наших уравнений движения, а именно интеграл живых сил. [c.208]

Полученное равенство можно рассматривать как первый интеграл уравнений Эйлера, справедливый в случае стационарного движения при наличии функции давлений, представляющей потенциал объемного действия поверхностных сил, и потенциала объемных сил. Этот интеграл, выведенный путем скалярного умножения обеих частей уравнения (13) на вектор скорости V, может трактоваться как интеграл живых сил, или интеграл кинетической энергии уравнений движения центра инерции элементарного объема жидкости (интеграл Бернулли). [c.92]

Полученное равенство можно рассматривать как первый интеграл уравнений Эйлера, справедливый в случае стационарного движения при наличии функции давлений, представляющей потенциал объемного действия поверхностных сил, и потенциала объемных сил. Этот интеграл, выведенный путем скалярного умножения обеих частей уравнений (10) на вектор скорости V, может трактоваться как интеграл живых сил, или интеграл кинетической энергии уравнений движения центра инерции элементарного объема жидкости (интеграл Бернулли). Его не следует отождествлять с законом сохранения полной механической энергии движущейся жидкости, а функцию В трехчлен Бернулли —с отнесенной к единице массы полной механической энергией. [c.116]

Эти уравнения имеют два очевидных интеграла — живой силы и площадей [c.309]

Допустим, далее, что существует функция 11, определяемая формулой (8.17), так что и = и и существует интеграл живой силы (8.18). Тогда уравнения (8.21) и (8.23) можно переписать в следующем виде [c.347]

При помощи интеграла живой силы или обобщенного интеграла Якоби также можно, конечно, понизить порядок системы уравнений Лагранжа, но так как соотношения (6.13) и (6.14) не являются линейными относительно величин д, то осуществить это понижение порядка на деле крайне затруднительно, а если все же провести это преобразование, то новые уравнения получатся весьма громоздкими, вследствие чего понижение порядка не доставляет никаких преимуществ. [c.281]

Так как 7 и 7 не зависят явно от времени и живая сила содержит только квадраты новых обобщенных скоростей то уравнения (6.18) имеют интеграл живой силы [c.282]

В том случае, когда уравнения (6.32) определяют движение материальной системы, обладающей силовой функцией, то И определяется фор.мулой (6.31 ), и если живая сила Т и силовая функция и не зависят от времени, то мы имеем первый интеграл [c.294]

Наконец, последний интеграл — интеграл живой силы или интеграл энергии — можно написать сразу, имея в виду, что уравнения (8.7) суть преобразованные уравнения (8.5), которые, как уравнения Лагранжа второго рода, имеют всегда интеграл Т и = к. [c.392]

Переходим к выводу интеграла живой силы илн интеграла энергии. Для этого умножим уравнения (9.16) соответственно на 2х, 2у, 2г и сложим все три равенства. Мы получим следующее уравнение, также являющееся следствием уравнений движения [c.424]

Итак, мы нашли семь первых интегралов уравнений невозмущенного движения —три интеграла площадей, интеграл живой силы и три интеграла Лапласа, т. е. как будто даже больше чем нужно, так как общий интеграл системы (9.16) должен состоять из шести независимых первых интегралов. [c.427]

Эти уравнения, кроме трех интегралов площадей, имеют еще один интеграл — интеграл живой силы, который получим, умножая (9.61) соответственно на 2 , 2у, 2г, складывая результаты и интегрируя, что дает [c.455]

Первые интегралы. Уравнения Вольтерра, или уравнения спонтанного движения гиростата с внутренними установившимися движениями, так же как и уравнения Эйлера, допускают два первых интеграла интеграл моментов количеств движения и интеграл живых сил (ср. гл. VIII, п. 9). Эти интегралы легко получаются формальным путем из тех же уравнений (48 ), но еще проще получить их, если об ратиться и здесь к уравнению моментов количеств движения в векторной форме. [c.223]

С другой стороны, уже в статике отмечалось (т. I, гл. IX, п. 19), что во всяком положении равновесия точки три частные произвол-ные от и должны обращаться в нуль, так что для всякого положения равновесия потенциал имеет стационарное значение. В частности, потенциал может иметь в этом положении максимум или минимум, но, как известно из анализа, это условие является только необходимым. Если в точке М для функции I/ имеет место действительный максимум, то справедливо известное предложение (теорема Дирихле), для доказательства которого используется только одно следствие уравнений движения, а именно упомянутый выше интеграл живых сил. Теорема эта следующая [c.134]

На основании интеграла живых сил и теоремы Дирихле (отнесенной к параболоиду, т. е. к двум независимым переменным х, у) показать, что равновесие будет устойчивым, если коэффициенты а и Ь положительны. Малые колебания определяются уравнениями [c.170]

Мы имеем здесь, очевидно, интеграл живых сил, наличие которого всегда moiJKHo было предвидеть. Действительно, обращаясь к неподвижным осям, мы видим, что в настоящей задаче связи (закрепление центра тяжести и возможность движения гироскопической оси только в плоскости л) по предположению являются идеальными и не зависят от времени поэтому все будет происходить так, как если бы активные силы сводились для каждой точки к сложным центробежным силам. Всякая такая сила будет перпендикулярна к скорости V точки приложения поэтому во всякий элемент времени dt ее элементарная работа будет равна нулю. Следовательно, нулю же будет равна и элементарная работа dL активных сил уравнение живых сил будет поэтому иметь вид dT = О, что непосредственно следует из уравнения (106). [c.163]

Алгебраические первые интегралы. Случай Гесса. В случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской последний из первых интегралов, приводящий к интегрированию посредством квадратур уравнений движения тяжелого твердого тела с одной закрепленной точкой (п. 24), является, как и интегралы живых сил и моментов, алгебраическим относительно неизвестных функций. Поэтому естественно, что предпринимались общие исследования вопроса о том, допускают ли и в каких случаях динамические уравнения тяжелого твердого тела, закрепленного в одной точке, помимо двух классических интегралов, какой-нибудь новый алгебраический интеграл, относительно переменных р, 1 f, Yu Тэ> Ifs Однако глубокое исследование Гюссона ), выполненное в более изящной форме Бургаттив), привело к заключению, что, помимо рассмотренных ранее случаев Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, не существует других алгебраических интегралов, кроме интегралов живых сил и моментов. [c.168]

Движение гироскопа около точки его оси под действием консервативной силы, являющейся производной от потенциала, зависящего только от 0. В этом предположении (гл. IV, п. 5) результирующий момент относительно неподвижной точки активных сил будет направлен по линии узлов и будет поэтому перпендикулярен к неподвижной оси ОС. Следовательно, для задач этого типа, как и в случае тяжелого гироскопа (U = os 0), имеют место-интеграл г = onst и интегралы живых сил и момента количеств движения относительно вертикали. Поэтому такие задачи могут приводиться к квадратурам при помощи способов, рассмотренных в пп. 28, 33 в частности, угол нутации 0 будет определяться одним уравнением обычного типа s = Ф (s) при S = os 0. [c.179]

Величины р и являются относительными полярными координатами горизонтальной проекции точки по отношению к системе осей, вращающейся вокруг вертикали с угловой скоростью 81Пф. Для полного исследования движения здесь необходимо принять во внимание еще интеграл живых сил. Тогда уравнения будут совпадать с уравнениями задачи о движении точки, притягиваемой неподвижным центром с силой, пропорциональной расстоянию точки до центра. Известно, что в таком движении точка описывает эллипс. [c.295]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...