Принцип варьированного действи

Принцип варьированного действия 441 [c.549]

Якоби раскритиковал рассуждения Лагранжа, касающиеся принципа наименьшего действия , указав на важность того обстоятельства, что варьирование происходит при определенных граничных значениях последнее невозможно, если в качестве аргумента выбрано время. В этом случае верхний предел интеграла действия должен варьироваться определенным образом с тем, чтобы обеспечить сохранение энергии вдоль истинного и варьированного путей. Тем не менее если соответствующим образом понять формулировку принципа наименьшего действия, данную Эйлером и Лагранжем, то окажется, что их выкладки совершенно правильны, а их принцип отличается от принципа Якоби лишь формально. Как мы видели, принцип Якоби представляет собой результат следующих операций. [c.163]

Резюме. При параметрическом задании движения время является дополнительной координатой, которая может принять участие в процессе варьирования. Импульс, соответствующий временной координате, является полной энергией, взятой с обратным знаком. Для склерономных систем время становится циклической координатой, а соответствующий импульс — константой. Это приводит к теореме сохранения энергии для консервативных систем. Исключение времени как циклической координаты позволяет сформулировать новый принцип, определяющий лишь путь механической системы, а не ее движение во времени. Это — принцип Якоби, аналогичный принципу Ферма в оптике. Этот же принцип может быть сформулирован как принцип наименьшего действия . В последнем случае интеграл по времени от удвоенной кинетической энергии минимизируется с дополнительным условием, что при движении и вдоль истинного, и вдоль проварьированного пути должна выполняться теорема о сохранении энергии. Если этот принцип рассматривать с помощью метода неопределенных множителей, то в качестве результирующих уравнений получаются уравнения движения Лагранжа. [c.165]

Якоби дал также новую формулировку принципа наименьшего действия для случая независимости от времени, который рассматривали Эйлер и Лагранж. Он критиковал их формулировку на том основании, что область интегрирования у них не удовлетворяет условию варьирования при фиксированных граничных значениях. Хотя в действительности Эйлер и Лагранж применяли свой принцип вполне корректно, исключение времени из вариационного интеграла, произведенное Якоби, привело к новому принципу, определяющему траекторию движущейся точки без всякого указания на то, как движение происходит во времени. Сходство этого принципа с принципом Ферма о наименьшем времени распространения света, из которого может быть определена траектория светового луча, непосредственно устанавливало аналогию между оптическими и механическими явлениями. [c.392]

Случай голономной системы со связями, не зависящими от ВРЕМЕНИ и с консервативными силами, в предположении консервативных сил принцип стационарного действия допускает следующую специальную формулировку, аналогичную той, которая была указана без доказательства в п. 10 для принципа Гамильтона для голономной системы со связями, не зависящими от времени, соответствующее действие для какого-нибудь естественного движения между двумя достаточно близкими конфигурациями будет не только стационарным, но и минимальным по сравнению с тем, которое имелось бы для всякого асинхронно-варьированного изоэнергетического движения. Здесь мы также, чтобы не слишком задерживаться, откажемся от доказательства этого утверждения ), [c.411]

В этом заключается принцип наименьшего действия. Таким образом, для истинной траектории действие имеет стационарное значение по сравнению с его значениями на варьированных траекториях с теми же концевыми точками (в д-пространстве) и той же энергией. [c.545]

Подобно принципу Гамильтона ( 3.7), принцип наименьшего действия выражает необходимые и достаточные условия движения. Поэтому из пего можно вывести уравнения движения. Однако это сделать значительно трудней, чем из принципа Гамильтона, вследствие ограничения Е = h, накладываемого на движения вдоль варьированных путей. В этом случае мы имеем вариационную задачу Лагранжа. Мы приведем здесь этот вывод для натуральной системы. Согласно принципу наименьшего действия функционал h [c.546]

Подобные общие принципы, в которых выставляется требование, чтобы интеграл некоторой функции состояния, распространенный на время, в течение которого происходит изменение состояния, имел экстремальное значение, иногда обязательно минимальное, выдвигались неоднократно. Эти принципы имели различную форму, соответствующую тем или другим условиям, налагаемым на варьирование, но при правильном выполнении требуемых варьирований все эти принципы приводят к одним и тем же дифференциальным уравнениям для рассматриваемых процессов. Первым из этих интегральных принципов был предложенный Мопертюи принцип наименьшего действия, в котором утверждалось, что при всех происходящих в природе явлениях среднее значение живой силы имеет минимальное значение. Условия варьирования, имеющие при этом место для механических задач, найдены только Лагранжей, и тем самым этот принцип был только им научно обоснован. Эти условия с современной точки зрения могут быть выражены требованием, чтобы полная энергия варьированного движения оставалась равной полной энергии действительного движения. Впрочем, к тем же результатам приводит принцип Гамильтона, при котором имеет место другое условие, а именно, что время не затрагивается варьированием. Это последнее условие имеет то преимущество, что мы имеем возможность присоединить к Я добавочные члены, относящиеся к внешним силам. Поэтому мы оставляем форму Гамильтона, которая теперь при сохранении прежнего условия варьирования гласит [c.465]

О чем в обоих принципах идет речь, я сейчас, по крайней мере, упомяну, рассмотрев еще раз движение шара. Шар при своем действительном движении, являющемся чистым качением, занимает непрерывную последовательность положений. Применение названных принципов требует небольшого изменения движения. Чтобы осуществить последнее, мы прежде всего сдвинем немного каждое из пройденных шаром положений так, что возникнет вторая непрерывная последовательность положений в то же время положения этой новой последовательности находятся в соответствии с положениями первой последовательности. Этим второе движение полностью еще не определено, ибо не указано, что в обоих движениях соответствующие положения проходятся одновременно в принципе Гамильтона это требуется, тогда как принцип наименьшего действия устанавливает нечто другое. Но оба принципа следует здесь применять, считая, что упомянутые малые смещения щара получаются путем одного качения, в то время как Герц в противоречии с этим применил условие, что и второе, т. е. варьированное, движение само является качением без скольжения. Если правильно выполнить вариации, то получается качение шара, которое Герц охарактеризовал [c.540]

Когда дело идет о вариациях, которых требует принцип наименьшего действия, то должна существовать не зависящая от времени силовая функция и, если должно удовлетворяться уравнение (12). Условие варьирования (8) может быть тогда выражено тем, что величина Т — и должна иметь одно и то же значение для двух соответствующих положений действительного и варьированного движений. Если, кроме того, время не входит в уравнения связей, будь то дифференциальные уравнения вида (1) или конечные уравнения, то при действительном движении величина Т — и остается постоянной ). Тогда —и называется потенциальной энергией, Т — и — полной энергией, и можно видеть, что полная энергия вообще не меняется ни во время движения, ни при варьировании. Таким путем получается более узкая форма принципа наименьшего действия. Эта форма принципа предполагает известным, что действительное движение подчиняется предложению о постоянстве энергии, и определяет точнее это движение тем, что оно, будучи сравнено с другим движением, мало от него отклоняющимся и протекающим с той же постоянной энергией, удовлетворяет условию [c.547]

Тем не менее, Лагранж варьировал также и независимые переменные. Изложение Лагранжей вопроса о варьировании t кажется недостаточно ясным, однако несомненно, что в принципе наименьшего действия он считает t переменным. [c.836]

Введя представление о времени прохождения точкой замкнутого цикла г и о фазе движения, а также о средних значениях координат и скоростей, Клаузиус с помощью закона сохранения энергии находит выражение, аналогичное по форме принципу наименьшего действия, с той только разницей, что интегрирование производится от нуля до г. Таким образом, здесь предположен замкнутый характер действительного и варьированного движений, не совпадающих ни в одной точке, в то время как в обычном принципе наименьшего действия начальные и конечные точки являются общими. [c.850]

Рассматриваемые в принципе наименьшего действия варьированные состояния физически невозможны. Однако это, конечно, не все возможные состояния, а только какая-либо группа их, удовлетворяющая некоторым условиям. Так, например, в интеграле Гамильтона таким условием является требование одного и того же значения времени для перехода из начального в конечное состояние. Если же вводить какое-либо условие, отличающее принимаемые во внимание варьированные состояния от не принимаемых, то возникает очевидное затруднение все такие состояния нельзя выразить при помощи математических форм, достаточных для описания других невозможных состояний ). [c.870]

Эта формула представляет собой, с учетом сформулированных условий варьирования, новый вариационный принцип, выведенный Гамильтоном для консервативных голономных систем. Гамильтон обычно называл и этот принцип принципом наименьшего действия. [c.213]

Лагранж в Аналитической механике рассматривает именно эту узкую форму принципа наименьшего действия. Однако указание на более широкую форму принципа содержится в его ранней работе где в 13 прямо указывается на то, что полученное Лагранжем в 8 этой статьи соотношение, тождественное с уравнением для изоэнергетической вариации, применимо в случае произвольных сил. Большинство ученых, разрабатывавших этот вопрос после Лагранжа, взяли у него как раз узкую форму принципа (в том числе Гамильтон и Якоби). Лишь Гельмгольц рассмотрел расширенную форму принципа. Однако Гельмгольц не счел нужным проводить отчетливое различие между принципом наименьшего действия в расширенной форме и принципом Гамильтона. Он основывался при этом на том безусловно верном положении, что оба эти принципа эквивалентны уравнению Даламбера и в силу этого являются следствиями друг друга. Тем не менее это не дает права отождествлять их, так как варьирование, применяемое в каждом из этих принципов, производится совершенно различными способами. Оба эти принципа получаются из соотношений при различных специализациях общего способа варьирования. [c.221]

Может показаться, что заметка 31 не относится к рассматриваемому методу. Однако это только на первый взгляд. Более того, рекомендуем ознакомиться с заметкой 31 прежде, чем с остальными, так как в ней обсуждается предикативность понятий (правил, отношений, доказательств) — свойств, универсальных для логики, математики и естествознания. В заметке содержатся практически весь доклад А. Пуанкаре [91], наши комментарии и примечания, представляющие собой размышления и попытку лучше понять требования научной строгости на примерах. Механика весьма подходящий предмет для выработки отношение к научным результатам, получаемым в мысленных экспериментах с бесконечно удалёнными массами, с применением виртуального варьирования, интегральных принципов и интегральных инвариантов. Первооткрыватель интегральных инвариантов — А. Пуанкаре — широко пользовался принципом наименьшего действия и внёс свой вклад в его развитие. В то же время он высказывал и свою неудовлетворённость формой принципа Самая формулировка принци- [c.15]

При совместном использовании синхронных и асинхронных вариаций получен расширенный аналог (обобщение) центрального уравнения Лагранжа. На основе этого уравнения составлено интегральное равенство (называемое здесь центральным интегральным равенством), связывающее действие по Лагранжу и действие по Гамильтону. Полученное интегральное равенство позволяет находить синхронные и асинхронные вариации действия при различных вариантах задания условий варьирования концевых точек траектории. Из центрального интегрального равенства как частные случаи следуют классические принципы стационарного действия и другие интегральные выражения изменения действия при варьировании. [c.106]

Трудности, связанные с необходимостью применения асинхронного варьирования и теории связанных задач вариационного исчисления, устраняются, если исключить время из выражения принципа стационарного действия. Возможность этого обусловлена наличием интеграла энергии (10.1) последний может быть представлен в форме [c.712]

Пример. Использование принципа наименьшего действия в форме, указанной в п. 453, фактически снимает ограничения па варьирование координат. Показать, что если К считать разрывной функцией, которая равна —V2 вдоль кривых АВ, D и равна иулю вдоль кривой ВС, то в граничном движении [c.346]

Помимо того что в принципе Мопертюи действие опреде- ляется как интеграл по времени от кинетической энергии Т системы ), в нем допускается варьирование времени (ЫфО), но фиксируется полная энергия (б = 0). Таким образом, к сравнению допускаются только пути с одинаковой полной энергией. [c.28]

Но для того, чтобы использовать эти тождества для распространения вариационных принципов на лагранжевы системы какого угодно вида, мы должны были постоянно предполагать неизменными при варьировании крайние конфигурации, между которыми нам нужно было вычислять, вдоль любого решения лагранжевой системы, интеграл S или действие А(8 = 0 при / = и t — [c.436]

Поэтому, хотя поиски экстремальных соотношений в оптике и механике начались на самой заре развития вариационного исчисления, которое и возникло в связи с этими поисками и при решении соответствующих частных задач (например, задачи о брахистохроне), однако оформились они в виде ясных математических выражений раньше всего в оптике, где не требовалось ни разработки такого сложного понятия, как действие , ни выяснения характера его варьирования. Однако время входит и в картину механического движения, поэтому, почти одновременно с возникновением принципа кратчайшего времени в оптике, возникла идея о применении его в механике, а также о разработке в механике самостоятельного, но аналогичного по структуре принципа. Механистическая концепция физической картины мира подсказывала возможность единого принципа для оптики и механики — первая, еще не ясная, но чреватая многочисленными последствиями идея оптико-механической аналогии. [c.781]

В принципе же наименьшего действия, наоборот, рассматривается множество движений системы между заданными начальными и конечными положениями, причем здесь каждое движение, кроме естественного, является вынужденным. Процесс варьирования здесь совершенно другой, и поскольку энергия как в ходе каждого отдельного движения, так и в любом движении [c.835]

Тождество (54), как характеристическое для решений лагранжевой системы, по сравнению со всеми возможными асинхронно-варьиро-ванными решениями выражает так называемый принцип варьированного действия. [c.441]

Вначале мы остановимся на принципе наименьшего действия Гамильтона а рассмотрение исторически более раннего принципа Мопер-тюи отложим до 37. Принцип Гамильтона отличается от принципа Мо-пертюи тем, что в нем не должно варьироваться время. Это значит, что система проходит одновременно как через точку действительной траектории (с координатами ж/.), так и через соответствующую ей точку траектории, получаемой в результате варьирования (пусть координаты этой точки будут Xk + Sxk)- Таким образом, для принципа Гамильтона [c.243]

Эта двойная формулировка, определяющая естественное движение по сравнению с асинхронно-варьированными изоэнергетическими движениями, и составляет так называемый принцип стационарного действия в только что указанной общей форме, обнимающей также и случай неконсервативных сил, формулировка этого принципа принадлежит Гёльдеру ). [c.410]

Кроме того, если примем во внимание, что, с одной стороны, полная энергия Е остается неизменной при переходе от естественного движения к какому-нибудь асинхронно-варьированному изоэнергетиче-скому движению и что, с другой стороны, этот переход в метрическом многообразии равносилен замене динамической траектории естественного движения произвольной бесконечно близкой кривой с теми же концами < , С , то из принципа стационарного действия (24 ) будем иметь, что динамическая траектория естественного движения между двумя указанными конфигурациями Q, Q при заданном значении энергии будет некоторой кривой метрического многообразия для которой криволинейный интеграл (25 ) имеет стационарное или минимальное, если обе конфигурации достаточно близки) значение. [c.413]

Говоря в этой статье о принципе наименьшего действия, я хотел бы, чтобы под этим понимали не только первоначальную форму этого принципа, принадлежащую П. де Мопертюи ), которая, между прочим, лишь много позже (это сделал Лагранж) получила точное определение условий варьирования и полное докаэательство. Я хочу под этим названием, как самым старым и наиболее известным, понимать также различные преобразованные формы этого предложения, которые были развиты из принципа Мопертюи У. Гамильтоном ) Последний составил два дифференциальных [c.430]

Излагая в несколько измененном виде вывод принципа наименьшего действия Лагранжем, Остроградский отмечает то чрезвычайно существенное обстоятельство, что вариации дх изменяются по двум причинам вследствие варьирования времени t и вследствие изменения формы функции х. Первая иричина может ввести в 5х только член х 6t, вторая же -гораздп более сложна и может ввести в каждую из дх несколько членов. Вводя их, мы учитываем не зависящую от времени вариацию параметров, входящих в функцию X. Такими параметрами являются, в частности, постоянные интегрирования, и поэтому их вариация не должна упускаться из вида. [c.830]

Таким образом, Слудский и Талызин показали, что принцип наименьшего действия Лагранжа и пр11нцип Гамильтона — Остроградского существенно различны. В последнем принципе точке действительной траектории соответствует точка на варьированной траектории, причем обе точки проходятся в один и тот же момент времени, т. е. [c.219]

Показано, что интегральное равенство обобщённого принципа Гёльдера справедливо также для кривых сравнения, полученных варьированием по Гельмгольцу. Принцип Гамильтона-Остроградского и принцип стационарного действия Лагранжа выводятся как частные случаи. Предложено новое обобщение принципа Гёльдера [17. [c.118]

Принцип Гамильтона, рассматриваемый как вариационный принцип стационарного действия, справедлив только для голономных систем. Невозможность непосредственного распространения интегральных принципов, установленных для голономных систем, на неголоном-ные системы была отмечена ещё Герцем [27]. Он обратил внимание на то, что не всякие две точки конфигурационного пространства могут быть соединены траекторией системы с неинтегрируемой дифференциальной связью. Первым, кто предложил интегральный принцип, пригодный для неголономных систем, по-видимому, был Гёльдер его принцип имеет форму интегрального равенства, не являющегося условием стационарности функционала он был получен при предположении перестановочности операций d w 5 (см. заметку 16). При этом, во-первых, варьированные траектории не удовлетворяют уравнениям неголономных связей, и во-вторых, уравнения движения неголономной системы не совпадают с уравнениями Эйлера вариационной задачи Лагранжа. Обсуждению этих двух вопросов посвящена обширная литература с начала двадцатого века и до настоящего времени. Приведём некоторые результаты [101. [c.142]

Случай консервативных сил. Принцип Гамильтона приобретает особенно простую и наглядную форму, когда силы, действующие на материальную систему, имеют потенциал U. При этом предположении, как уже было отмечено в п. 7, виртуальная работа L не отличается от вариации (полного дифференциала) ьЦ, которую испытывает потенциал при переходе от естественного движения к синхронно-варьиро-ванному движению. Поэтому, принимая во внимание свойство переместительности операций варьирования и дифференцирования (S и djdt), а следовательно, также и операций варьирования и интегрирования по времени, мы будем тождественно иметь [c.402]

Эти последние преобразования дифференциальных уравнений движения второго порядка системы притягивающихся или отталкивающихся точек во всех отношениях совпадают (не считая небольших различий в написании) с изящными каноническими формами, данными Лагранжем в Me anique Analytique, но нам казалось, что стоит вывести их заново из свойств нашей характеристической функции. Предположим (как это часто считается удобным и даже необходимым), что п точек системы не являются целиком свободными и подвержены не только своим собственным взаимным притяжениям и отталкиваниям, но связаны любыми геометрическими условиями и подвергаются влиянию любых внешних факторов, согласующихся с законом сохранения живой силы так, что число независимых отметок положения будет менее велико, а силовая функция менее проста, чем раньше. Тогда мы можем доказать при помощи рассуждения, очень сходного с предыдущим, что и при этих предположениях (которые, однако, дух динамики все более и более склонен исключать) накопленная живая сила, или действие V системы, представляет собой характеристическую функцию движения уже разобранного выше рода. Эта функция выражается тем же законом и формулой вариации, подверженной тем же преобразованиям, и обязана удовлетворять таким же способом, как и выше, конечной и начальной зависимости между ее частными производными первого порядка. Она приводит при помощи варьирования одной из этих двух зависимостей к тем же каноническим формам, которые были даны Лагранжем для дифференциальных уравнений движения, и дает, исходя из изложенных выше принципов, их промежуточные и конечные интегралы. По отношению же к тем мыслимым случаям, в которых закон живой силы не имеет места, наш метод также неприменим однако среди людей, наиболее глубоко занимавшихся математической динамикой вселенной, все более крепнет убеждение, что представление о таких случаях вызывается недостаточным пониманием взаимодействия тел. [c.189]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...