Характеристики уравнений первого порядк

Уравнение (6. 3. 26) является линейным дифференциальным уравнением первого порядка в частных производных. Его решение может быть найдено при помощи метода характеристик [89]. Оно имеет следующий вид [c.251]

В этой книге рассматривается связь между теорией Гамильтона и общей теорией уравнений первого порядка в частных производных. Из изложения этого вопроса видно, что уравнение Гамильтона — Якоби играет в этой связи существенную роль. Подробное рассмотрение этих вопросов дается здесь в связи с так называемой теорией характеристик . [c.346]

Это и будут уравнения Маджи [ ]. Они вместе с уравнениями (77) с аналитической точки зрения дают в дифференциальной форме полную постановку задачи о движении для системы 5 с двусторонними идеальными (в том числе и неголономными) связями. Действительно, если представим себе, что в уравнения (82) вместо величин q подставлены их выражения (77) через е и и выполнено дифференцирование по t, то будет очевидно, что после выполнения всех преобразований в уравнениях останутся, помимо q, е, t, только v производных ё от е, которые войдут в них линейно. Замечания, совершенно аналогичные тем, которые были сделаны в п. 36, приводят к выводу, что полученные таким образом из системы (82) v уравнений разрешимы относительно этих v производных е, так что мы заключаем, что уравнения (77) и (82) вместе составляют дифференциальную систему уравнений первого порядка, приводимую к нормальному виду относительно я-f-v неизвестных функций времени q VI е. Если конфигурация и состояние движения материальной системы в начальный момент заданы, т. е. заказаны произвольные численные начальные значения q (позиционных координат)и е (кинетических характеристик), то движение неголономной системы будет однозначно определено. [c.326]

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно г/ . Характеристикой, проходящей через точку (а, 0), будет [c.381]

Динамическую характеристику приводного двигателя будем задавать в виде линейного дифференциального уравнения первого порядка с одной постоянной времени (16.1), которую удобно записать в виде [c.301]

Если подставить в уравнение (2) выражения для k (t) и Т (t), получим линейное дифференциальное уравнение первого порядка с коэффициентами, зависящими от t. При описании функции h (t) выражением (3) и функции Т (/) кривой пятого порядка решение уравнения (2) затруднительно. Задача значительно облегчается, если участок справа или слева от точки перегиба характеристики давления h s), в пределах которого находится диапазон изменения зазора S, достаточно точно аппроксимировать квадратным трехчленом вида [c.121]

Уравнение (42) есть дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных относительно удельного объема v. Для решения этого уравнения можно написать следующее уравнение характеристик [29] [c.35]

ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [c.253]

Для иллюстрации рассмотрим частотные характеристики следящего привода в случае, когда он может быть описан уравнением первого порядка, т. е. является апериодическим элементом. [c.61]

Определение частот и форм колебаний численным интегрированием системы дифференциальных уравнений. Уравнение колебаний (2) заменяется системой четырех уравнений первого порядка. Для этого чтобы система не имела коэффициентов, содержащих производные исходных геометрических характеристик, и для упрощения краевых условий принимается вектор (матрица-столбец) основных параметров [c.233]

Уравнение (П.3.7) аналогично (П.2.6). Из него вытекает, что, если изменяемость интегралов уравнения (П.3.1) не слишком велика (О < т < т ), то для них определяющими могут быть только семейства характеристик оператора L, т. е. линии уровня функций изменяемости таких интегралов должны совпадать с характеристиками L. Кроме того, из (П.3.8) следует, что при таком т функцию ф можно определить как простой интеграл, удовлетворяющий в исходном приближении уравнению первого порядка [c.475]

Таким образом, в рассматриваемом случае происходит явление, которое мы условимся называть разветвлением функции изменяемости. Оно заключается в том, что для всех интегралов, соответствующих г-кратным характеристикам оператора L, главная часть функции изменяемости Определяется единым дифференциальным уравнением первого порядка (П.6.2), в то время как для f можно из (П.6.17) очевидным образом получить г различных линейных уравнений первого порядка. Область значений показатели изменяемости т, при которых разветвляется функция изменяемости, определяется неравенствами (П.6.10). [c.482]

Коэффициенты (t) ряда (4.4) [7] определяются путем последовательного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Для того чтобы характеристики фокусировались в точке А и скорость в ней была не определенна (она зависит от угла наклона данной характеристики с осью в точке А), из второго соотношения (4.2) следует, что [c.409]

Тогда, полагая, что на поршне St в направлении характеристики (3.4) при больших /i скорость поршня совпадает с и , получим для R = /г + в этом направлении уравнение первого порядка, откуда будем иметь [c.444]

Так как величина К согласно теории ортотропной упругости представляет собой некоторую функцию длины трещины / и внешних нагрузок р(г), то соотношение (9.29) является дифференциальным уравнением первого порядка, решение которого определяет функцию 1(f), время, в течение которого макротрещина перережет тело, и другие характеристики, необходимые для правильной оценки работы композита в конкретной конструкции. [c.104]

Для вычисления характеристик системы уравнений (2.8.7) ее удобно представить в виде системы девяти уравнений первого порядка и записать в матричном виде [c.52]

Известно 1—4], что определяющие уравнения для напряжений и скоростей теории плоского пластического течения жесткопластического тела приводятся к системе четырех квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка, которые относятся к гиперболическому типу. Их характеристики в физической плоскости совпадают с линиями скольжения и траекториями максимальных касательных напряжений. Построение полей напряжений и скоростей сводится к решению последовательности краевых задач с граничными условиями для напряжений и скоростей. Обычно вначале решаются краевые задачи для напряжений, связанных с уравнениями характеристик, и строится поле характеристик. Затем строится поле скоростей в пластической области при совпадении жесткопластических границ с характеристиками. После этого проверяется условие неотрицательности диссипативной функции и несущая способность принятых жестких областей 2, 3]. Для некоторых типов задач плоского пластического течения со смешанными граничными условиями разработаны методы построения полных решений, в которых вначале строится поле скоростей в плоскости характеристик или в плоскости годографа с использованием кинематических граничных условий на контуре инструмента, а затем строится поле напряжений и вычисляются характеристики в физической плоскости [5—7]. В этих решениях жесткопластические границы также совпадают с характеристиками. В [8, 9] разработан метод решения задач плоского пластического течения с использованием криволинейных координат, совпадающих с линиями тока и ортогональными к ним направлениями, и рассмотрены случаи пластического течения, в которых линии тока являются логарифмическими спиралями. [c.54]

Анализ, проведенный в этом параграфе, показывает, что характеристики дифференциальных уравнений в частных производных могут быть использованы при построении решения уравнения. В обыкновенных дифференциальных уравнениях первого порядка характеристики являются специальными точками на интегральных кривых. [c.264]

Эти точки дают представление о характере дифференциального уравнения и его решения, но они не могут быть использованы для определения решения. Однако для дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных характеристики образуют поверхность, представляющую решение. [c.264]

Требуется экспериментально определить частотные характеристики объекта. Сколько требуется периодов колебаний, чтобы величина приведенного модуля отклонялась от установившегося значения не более чем на 5 /о, если объект описывается уравнением первого порядка Сколько это займет времени, если постоянная времени объекта равна 10 - к [c.152]

По отношению к потоку жидкости в колонне тарелки образуют последовательное соединение детектирующих инерционных звеньев первого порядка. При ступенчатом увеличении расхода орошения изменение уровня на верхней тарелке и измените расхода на второй тарелке описываются уравнением первого порядка. Переходная характеристика по расходу на третьей и следующих тарелках имеет 5-образную форму. Переходная характеристика на некоторой промежуточной тарелке может быть аппроксимирована уравнением первого порядка с запаздыванием. [c.380]

Как уже указывалось выше, число работ, содержащих различного рода приближенные методы расчета отрывных и безотрывных сверхзвуковых течений с распространением возмущений вверх по потоку с учетом эффектов взаимодействия, чрезвычайно велико. Однако большая их часть относится к небольшому числу основных направлений. Одно из направлений связано с использованием интегральных уравнений пограничного слоя. Задача об отрывном или безотрывном взаимодействии области вязкого течения с внешним невязким сверхзвуковым потоком сводится к интегрированию системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Эти уравнения получаются формальным интегрированием уравнений пограничного слоя в поперечном направлении. В них входят определенные интегральные характеристики пограничного слоя толщины вытеснения, потери импульса, энергии и т. п. Кроме того, добавляется соотношение, определяющее связь между распределением давления в невязком сверхзвуковом потоке и толщиной вытеснения области вязкого течения. Информация о формах профилей скорости и энтальпии в пограничном слое оказывается утерянной и должна быть постулирована в виде каких-либо семейств кривых, зависящих от такого же числа свободных параметров, сколько имеется уравнений для определения их распределения по продольной координате. Для получения удовлетворительных результатов важное значение имеет выбор семейства профилей распределения параметров поперек пограничного слоя. Единственным критерием качества является сопоставление результатов с экспериментальными данными. [c.11]

При весьма крутом падении характеристики трения и значительной жесткости упругой связи в уравнении (119) можно пренебречь инерционным слагаемым, т. е. рассматривать вырожденную без-массовую систему и решать дифференциальное уравнение первого порядка [c.268]

Если линеаризация данных лучше достигается в полулогарифмических координатах lgK — 1, то уравнение снижения прочности оказывается уравнением первого порядка. Для прогнозирования работоспособности материала в среде весьма важной характеристикой является предельная прочность материала которая входит в величину остаточной прочности в неявном виде. [c.73]

Заметим, что для нахождения функции и нужно лишь решить систему 2п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для характеристик на и проделать ряд алгебраических операций. [c.337]

В следующем по простоте случае имеется система двух уравнений первого порядка. Тут геометрические методы Пуанкаре дают качественные характеристики всех возможных движений, и оказывается, что положения равновесия и периодические движения и в этом случае играют центральную роль. Следующий параграф будет посвящен примеру такого движения. [c.132]

Ход решения вполне аналогичен решению задачи о фокусировке ударной волны. Вводим новые представители V, С, Е, и получаем систему, соответствующую (12.15). Система сводится к одному дифференциальному уравнению первого порядка относительно V ш Z ш двум квадратурам фактически вместо двух квадратур получается одна квадратура и одно алгебраическое соотношение между переменными — интеграл адиабатич-ности. Собственное значение системы уравнений, показатель а, находится методом попыток, путем численного интегрирования уравнения для функции Z (7), из условия, чтобы интегральная кривая прошла через нужную особую точку. Как и раньше, особой точке соответствует о-линия на плоскости X, I, которая является С -характеристикой и ограничивает область влияния на движение фронта ударной волны. [c.634]

Выражение в скобках в левой части неравенства (2.6) представляет собой число Рейнольдса, если учесть, что (р в инерционном члене уравнения (2.1) играет роль скорости. Будем считать, что неравенство (2.6) выполнено вдали от стенки. Тогда (2.1) превратится в уравнение первого порядка, общее регнение которого можно получить, интегрируя уравнение характеристик [c.624]

Итак, каждому однократному семейству характеристик оператора Q соответствуют интегралы с большой изменяемостью, в которых линии уровня функции изменяемости [ совпадают с характеристиками этого определяюи го семейства, а функция интенсивности Ф в первом приближении удовлетворяет уравнению первого порядка (П.2.10). Главная часть этого уравнения может обращаться в нуль только [c.473]

Отсюда вытекает, что Д, = 0, l =j=Q, а следовательно, граничные значения функций фд и Ха можно во всех точках контура Pi = р, выразить через заданную функцию g Вместе с тем, из результатов П.5, П.7 вытекает, что каждая из функций интенсивности фо и х в первом приближении удовлетворяет некоторому линейному уравнению первого порядка и что характеристики этого уравнения нигде не касаются контура Pj = Рщ. Требуемое утверждение можно считать доказанным. Указан метод, при помощи которого в первом приближении можно выполнить (единственным образом) граничные условия (П. 12.3) за счет произволов, содержащихся в решении вида (П. 13.1), (П. 13.2). Построение первого приближения сводится к решению некоторого числа задач Коши для линейных уравнений первого порядка, поэтому изложенный метод можно использовать и как эффективный прием полученяя приближенного решения [101—J04]. Его можно уточнить при помощи итерационного процесса, на подробностях которого мы не будем останавливаться. [c.495]

В [15] для систем линейных уравнений первого порядка получено обыкновенное дифференциальное уравнение (уравнение переноса), в соответствии с которым скаляр а распространяется по бихарактеристическим лучам, и указано на возможность получения уравнения переноса для квазилинейных систем. Подробно уравнение переноса для случая системы двух квазилинейных уравнений с двумя независимыми переменными (когда а распространяется вдоль характеристик) изучено в работе [16]. Ниже выведем уравнение переноса для системы (0.1), (0.2) в случае примыкания к покою. Оно будет существенно использовано в дальнейшем. [c.94]

На низких частотах частотные характеристики системы с расиределенными параметрами R п С практически совпадают с частотными характеристиками элемента первого порядка с постоянной времени R 2 (см. рис, 5-16). Для системы с глухой камерой можно использовать одну из двух приближенных моделей взять в соответствии с вырал<ением ЯС12 либо половину емкости и сопротивление, либо емкость и половину сопротивления. На конце импульсной линии находится емкостная нагрузка (исполнительный механизм клапана или небольшой сильфон), поэтому модель составляют из полного сопротивления липни, половины емкости линии и емкости нагрузки. Полная индуктивность включается последовательно с сопротивлением, как показано на рис. 10-7. Передаточная функция этой С-системы определяется из уравнения материального баланса как отношение [c.273]

Характеристики пневматического датчика зависят от длины импульсной линии и величины объема на конце линии. Частотная характеристика недемпфированного датчика с короткой импульсной линией обладает резонансом, как и характеристика обычной системы второго порядка. Если же датчик демпфирован или присоединен к длинной импульсной линии, то его динамические характеристики могут быть анироксимированы уравнением первого порядка. На рис. 13-2 ирнведены частотные характеристики дифманометра фирмы Taylor. При длине импульсной линии (диаметром 6,35 мм), ие превышающей 30 м, угол отставания по фазе у датчика больше, чем угол отставания собственно линии. При большой длине импульсной линии характеристики датчика практически не зависят от длины линии и влияние характеристик линии становится преобладающим. [c.342]

Переходные характеристики колонны с 21 тарелкой изучались Вудом и Армстронгом [Л. 21]. При изменении состава питания состав на тарёлках, расположенных около тарелки питания, начинает изменяться немедленно и кривая переходного процесса хорошо аппроксимируется уравнением первого порядка. Состав низа и верха колонны начинает изменяться с запаздыванием, которое примерно в 10 раз превышает время пребывания на тарелке, и далее изменяется примерно с той же скоростью, что и состав на отдельной тарелке. Максимальная постоянная времени для всех тарелок, определенная как время достижения 63,2% изменения параметра, составила около 120 НЩ, что почти равно отношению общего объема жидкости к расходу питания. (Скорость потока орошения составила 4,73/ , общий объем равнялся 24,9Я, включая 3,9Я в кипятильнике.) Время отработки 63,2% изменения состава при изменении расхода орошения [Л. 22] было примерно таким же, как и при изменении состава питания, однако начальное запаздывание для тарелок, расположенных ниже тарелки питания, было несколько меньше. Состав на тарелке начинает изменяться после того, как изменяется либо расход, либо состав потока, поступающего на тарелку, причем изменение расхода жидкости распространяется по колонне быстрее, чем изменение ее состава. [c.390]

Исследование распространения цилиндрических волн сдвига показало (X. А. Рахматулин, 1948), что в случае линейного упрочнения материала величины скоростей и деформаций на фронте упругих волн падают обратно пропорционально квадратному корню расстояния до центра симметрии.. Относительно просто исследуется вопрос о напряжениях в цилиндрической трубе из идеально пластического несжимаемого материала при внезапном приложении нагрузки дело сводится к интегрированию обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения первого порядка (Е. X. Агабабян, 1953). В случае сжимаемого материала с одним и тем же модулем сжатия как в области упругих, так и в области пластических деформаций задача решается методом характеристик (Е. X. Агабабян, 1955). При этом обнаружено наличие особого типа волн, исходяш их от внутренней поверхности цилиндра с одной и той же скоростью и в дальнейшем расслаивающихся. [c.314]

Здесь я — кривизна контура профиля. Для получения оценки внутри сверхзвуковой области уравнения движения потенциального течения в переменных годографа преобразуются к характеристическим независимым переменным они сводятся к линейному гиперболическому уравнению второго порядка в канонической форме. Интегрирование этого уравнения (как обыкновенного уравнения первого порядка ) вдоль характеристик (но не до звуковой линии) позволяет получить оценки снизу для производных Фыхч (3 через их значения на контуре. Совершаемый затем переход в физическую плоскость (с учетом гомеоморфности отображения сверхзвуковой области) позволяет получить искомую оценку для градиента скорости, которая означает, что если кривизна контура профиля ограничена, то градиент скорости внутри сверхзвуковой области ограничен. Если скачок имеет сверхзвуковую концевую точку, то в этой точке происходит касание характеристик одного семейства (точнее, концевая точка скачка—это точка возврата огибающей характеристик одного семейства), поэтому градиент скорости в концевой точке бесконечен. Таким образом, из полученной оценки следует, что при непрерывной деформации гладкого профиля (изотопии) разрушению непрерывного потенциального течения в сверхзвуковой зоне не может предшествовать образование огибающей характеристик внутри этой зоны. Иначе говоря, скачок [c.179]

Сравнение с данными эксперимента показывает, что экспериментальные и расчетные данные удовлетворительно совпадают. Таким образом, переходные характеристики пуансона и подматричной плиты могут аппроксимироваться уравнением первого порядка с запаздыванием, при этом переходные характеристики 130 [c.130]

Нелинейной заменой искомых функций, используя алгсбраичность условия текучести, можно систему уравнений Д.ТЯ напряжений, описывающую плоскую задачу, I-вести к квазилинейной гиперболической системе уравнений первого порядка для двух неизвестных функций. При интегрировании этой системы удобно перейти к специальным криволинейным координатам, так называемой сетке линий скольжения, являющимися характеристиками этой системы. [c.115]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...