28, 29 — Разложение шаровой

Траектории подобного рода вызывают крайнее недоумение у игрока, не имеющего полного представления о законах трения и векторном разложении момента импульса на составляющие. Такими ударами пользуются в особенности тогда, когда оба шара, которые должны столкнуться, находятся на разных концах короткой стороны бильярда. При этом вертикальная слагающая силы удара должна быть весьма значительной, т. е. кий должен быть расположен под малым углом к вертикали. [c.216]

Теперь допустим, что шары бросили вверх с одинаковыми скоростями. Преобразуем (14), исходя из разложения [c.46]

Теперь, в отличие от вышеприведенных задач, SP уже не имеет постоянного направления. Это неудобство можно ослабить, воспользовавшись вращающейся системой координат 0 т) , в которой центр масс находится все время в плоскости а ось 0 совпадает с осью цилиндра. Будем все векторы раскладывать по реперу е , е , j. При дифференцировании векторов непременно надо учитывать, что векторы е., вращаются. Пусть ф — угол поворота нашей системы координат вокруг оси 0 , z — вертикальная координата центра шара. Выкладки начнем с разложений [c.221]

Рассмотрим сначала задачу I предыдущего параграфа, в которой температура поверхности постоянна. Ранее, в б гл. VII, уже отмечалось, что решением (2.7) предыдущего параграфа неудобно пользоваться при малых значениях v.tja , например при значениях, меньших 0,02. Аналогичное затруднение встречалось и в задачах для пластины и шара. В этих случаях другие решения можно найти, как и в 5 гл. XII, разлагая v в ряд по экспоненциальным функциям с отрицательным показателем. В задачах для цилиндра метод решения еще сложнее он заключается в использовании асимптотического разложения функций Бесселя, вводимого с тем, чтобы получить формулу с показательными функциями, коэффициенты которых служат членами рядов по Ijq [1,7]. [c.325]

В течение XIX в. появилось значительное количество исследований, посвященных различным задачам для упругого шара и цилиндра (сплошного и полого), в которых были развиты методы разложений решения по сферическим и цилиндрическим функциям. [c.55]

П1.1 вводит в теорию притяжения по Ньютону. Лля силового поля тяготения определяется потенциал в случае двух и п притягивающих материальных точек. Рассматривается случай, когда имеется притягивающее тело в виде шара со сферическим распределением плотности и соответственно находится потенциал создаваемого поля тяготения. Изучается также методика разложения потенциала в ряд по сферическим функциям (многочленам Лежандра) для тела произвольной формы. При решении задачи о силе тяжести на поверхности [c.393]

Для другого граничного условия ди/дЫ — О решение аналогично, вид его остается тем же— (6.10), лишь значения коэффициентов становятся другими. Частота к входит только в радиальные функции, поэтому, согласно замечанию в п. 6.8, тот же математический аппарат позволяет решить акустическую задачу и о шаре с конечными значениями рис. При решении этой задачи внешнее поле выражается через те же функции (6.7), а внутреннее поле представляется в виде ряда по функциям Бесселя с полуцелым индексом, которые, единственные из цилиндрических функций, не имеют особенностей при р = О, Полные поля и их производные сшиваются при всех углах, а так как угловые функции образуют полную систему и ортогональны, то в обоих рядах для внешнего и внутреннего полей коэффициенты разложения почленно равны между собой. В результате получаем формулы, аналогичные формулам для коэффициентов разложения полей дифракции на диэлектрическом цилиндре. [c.65]

Акустическая задача, ряд Ватсона. Как и в задаче о цилиндре, в задаче о шаре при ка 1 целесообразно пользоваться другими рядами. Они либо могут быть получены из найденных выше рядов асимптотическим суммированием (метод Ватсона), либо непосредственно разложением по функциям, удовлетворяющим граничным условиям и имеющим особенность на луче (метод Зоммерфельда). Наметим основы второго метода. Введем частные решения [c.68]

Для, шара первые члены асимптотического разложения (19.14) дают точное решение. Действительно, (19.17) удовлетворяет граничному условию (19.12а) на поверхности шара радиуса а при [c.191]

Мультипольное разложение (6) — (10) справедливо для решения краевой гидродинамической задачи вне шара, из которого бьет струя. В этом случае собственные значения > О, > О и соответственно показатели степени >0, > 0. Можно расширить границы применимости развитого обобщенного мультипольного разложения на струйные течения в ограниченных областях, если семейство собственных значений дополнить отрицательными показателями степени а,, и соответственно ц , Такие отрицательные собственные значения действительно существуют в некоторой области небольших чисел Рейнольдса. В случае Ке О, как было показано в разд. 4.2, спектральные значения, отвечающие собственным функциям в виде полинома степени ге+1, есть а = ге, п + 2, —ге+1, —п—1. Отсюда видно, что существует двукратный целочисленный спектр отрицательных а , аналогичный спектру положительных собственных значений, причем множество собственных функций, соответствующих а < О, есть полная система полиномов, удовлетворяющая всем необходимым условиям (г/ ( 1) = 0, см. 2). При увеличении числа Рейнольдса двукратные собственные значения расщепляются на две ветви, а система собственных функций для каждой ветви остается полной но крайней мере в некоторой окрестности точки Ке = О, что позволяет удовлетворить граничным условиям для ив и Уе на внешней сфере радиуса Ну. [c.291]

В случае более крупных частиц, т. е, при или / > 1, расчет факторов эффективности более труден. Для сферических частиц приходится суммировать ряды по бесселевым функциям. Чем больше 5, тем больше слагаемых в разложениях необходимо просуммировать. Теория рассеяния на шарах произвольного размера и само это рассеяние по традиции связываются с именем одного из первых создателей этой теории Г. Ми. Массовые расчеты для рассеяния Ми оказалось возможным производить только после создания быстродействующих электронных вычислительных машин. Для частиц другой формы расчеты еще сложнее. [c.27]

Исследование движения шара можно провести в следуюш ем порядке пусть X, у, г — координаты центра сферы. Тогда и, v выражаются из уравнений поверхности через X, у, Z путем разложения скорости по направлениям осей координат Oil и OiT]. Исключая и, v, 0i, 02, 0з посредством (5.4), (5.5) и (5.6), получим три уравнения, содержаш ие х, у, г, (Оз и их производные по времени. [c.81]

Причем коэффициенты этого разложения найдем по формулам (3). В общее решение задачи о пустотелом шаре должны входить типы решений, соответствующие внутренней и внешней задачам. [c.289]

Рассмотрим теперь механический смысл различных слагаемых разложения (1.7.1). Поскольку первый член представляет собой потенциал шара со сферическим распределением плотности, то все остальные слагаемые характеризуют отличие Земли от тела сферической структуры. Основным из этих слагаемых является вторая зональная гармоника, которая определяет сплюснутость Земли у полюсов, т. е. полярное сжатие Земли. Другие гармоники характеризуют более мелкие детали. Так, тессеральные и секториальные гармоники характеризуют отличие Земли от тела, динамически симметричного относительно оси вращения, а зональные гармоники нечетного порядка и тессеральные гармоники, для которых п — к нечетно, определяют асимметрию Земли относительно плоскости экватора. [c.29]

Если тела, не являясь шарами, обладают динамической и геометрической симметрией относительно оси и плоскости, ей перпендикулярной, то силовая функция двух таких тел при совпадении их плоскостей симметрии будет зависеть только от расстояния между их центрами масс и определится классическим разложением следующего вида [c.439]

Одним из удобнейших и широко применяемых способов разложения силовой функции в бесконечный ряд является классическое разложение силовой функции тела и материальной точки (или шара, обладающего сферическим распределением плотностей) по так называемым сферическим или шаровым функциям, а поэтому прежде всего необходимо ознакомиться с элементами теории таких функций. [c.150]

Для симметричных тел — шара, цилиндра — удобно применять разложение по соответствуюш им ортогональным функциям [144]. Разложение по временным гармоникам сохраняет смысл всегда в силу стационарности равновесных моментов. [c.120]

В этом случае единственная разница с разд. 12.33 состоит в том, что асимптотические выражения вводятся до разложения, а не после него. После суммирования первый член дает дифрагированный свет, второй — свет, отраженный от шара, третий (первый член бесконечной гео.метрической прогрессии) дает дважды преломленный свет и т. д., как разъяснялось в разд. 12.31 и дальше. Затем излагается теория радуги, основанная на преобразовании суммы в интеграл, однако результат не идет дальше приближения Эри (разд. 13.23). Во всех этих результатах пренебрегается членами, соответствующими областям близ края п, близкие к х) и за краем (п х). [c.253]

С. W. Oseen, 1910). Мы не станем излагать злесь ход решения этого уравнения для обтекания шара ). Укажел) лишь, что с пошью получаемого таким образом распределения скоростей можно вывести уточненную формулу для испытываемой шаром силы сопротивления (следуюший член разложения этой силы по числу Рейнольдса R = uR/ ) [c.94]

Метод ложных положений основан на разложении скоростей внутренних шар- нров ( , F, G) на переносные и отно- [c.456]

Твердый теплоноситель находит в последнее время весьма большое применение как в установках по высокоскоростному термическому разложению, так и для быстрого нагрева сыпучих материалов в ряде отраслей промышленности. Между тем да ных по теплообмену в засыпке с твердым теплоносителем чрезвычайно мало. Нам известны лишь три работы, лосвяш,енные этому вопросу [Л. 1—3]. Однако в этих работах изучалось охлаждение металлических шаров большого диаметра от 27 до 4,76 мм, в то время как в промышленности применяется чаще всего мелкозернистый теплоноситель. Не был выяснен та,кже и механизм передачи тепла от шарика к засыпке, что не позволяет распространять полученные результаты на условия, отличные от наблюдавшихся в опыте. В настоящей работе изучалась теплоотдача от шара, охлаждающегося в мелкозернистых засыпках из металлические шариков, частиц угля и кварца. Диаметр шариков менялся от 6 до 1,3 мм. Для выяснения механизма теплоотдачи рассмотрим прежде всего наиболее простой случай теплообмена, когда нагретый металлический шарик охлаждается в засыпке, состоящей из шаров того же диаметра. Тепло от нагретой частицы, в общем случае, может передаваться теплопроводностью, конвекцией и излучением через воздушные прослойки между частицами засыпки. При применении мелких шариков объемы между ними оказываются настолько малыми, что влияние естественной конвекции на теплообмен практически незаметно. Следовательно, при отсутствии вынужденного движения газа в порах засыпки конвективный перенос тепла можно не учитывать. [c.660]

Способ совместного осаждения гидрооксидов или углекислых солей. Из раствора смеси солей путем добавления углекислого аммония образуются углекислые соли. После промывки, фильтрации и сушки осадок прокаливают до полного разложения гидратов или карбонатов. Прокаленный осадок вновь измельчают, порошок брикетируют и обжигают при температуре, при которой завершается шпинелеобразование. Обожженные брикеты дробят, размалывают в порошок, и он поступает на изготовление изделий. Синтезированная по одному из описанных способов шпинель является исходным полупродуктом для изготовления изделий той или иной формы. Брикеты синтезированной шпинели измельчают в вибрационных или шаровых мельницах стальными шарами до зерен размером, соответствующим остатку на сите № 0,06 12—147о Для прессовых и 4—5% для литьевых масс. [c.218]

Ряд важных задач, как, например, задачи о сжатии шара между двумя плитами или же о деформации круглого цилиндра при действии поверхностных давлений, симметричных относительно оси, можно решить при помощи функции напряжений, причем, конечно, предварительно пришлось бы реншть задачу о разложении напряженных состояний, имеющих ось симметрии и характеризуемых функциями напряжений, на более простые. Но если не считать некоторых частных случаев, то относительно функций напряжений для деформации с осевой симметрии еще не выяснен ряд вопросов общего характера. Сюда относится вопрос, как выражаются через функцию напряжений граничные условия, относящиеся к тем участкам поверхности, на которые никакие силы не действуют. При решении этого вопроса можно было бы ориентироваться на аналогичные данные О функции напряжений для плоской задачи. Здесь открывается благодарная область для дальнейших исследований. [c.214]

Лля небесных тел более сложной формы, чем шар, используют разложение потенциала в ряд по сферическим функциям. Поместим декартову систему координат Oxyz в центре масс тела М с объемом У, произвольной формы и непрерывной функцией плотности р(ж, у, z). [c.397]

Динамическая теория приливов для моря, покрывающего весь земной шар таким образом, что вдоль каждой параллели глубина постоянна, была значительно улучшена и разработана Хауфом ) он воспользовался отвергнутым приемом Лапласа и ввел разложения по сферическим функщ ям взамен рядов, расположенных по степеням /л (или V). Эти разложения имеют преимущество быстрее сходиться, в особенности, как и следует ожидать, в случаях, когда влияние вращения сравнительно мало этот способ позволяет также принять во внимание взаимное притяжение частиц воды, которое ни в коей мере не является незначительным, как мы уже видели в более простой задаче 200. [c.436]

Для иллюстрации приложения вышеизложенной теории применим ее к решению наружной задачи Дирихле для шара. Допустим, что функция ф — ф) конечна за шаром и пригодна для разложения в следующую форму [c.105]

Функция, заданная в пространстве, а не на поверхности шара, в сферических координатах имеет вид /(г, , ] ). Любое ее сферическое сечение (г = onst) может быть разложено в ряд (21) с коэффициентами а (22), которые теперь будут характеризовать именно данное сечение, т. е. будут функцией радиуса aJJ (r). Следовательно, формулы (21), (22) могут быть использованы и для разложения Фурье объемных функций, в них нужно лишь заменить нри этом /( O. ip) на /(г, , ) и а на а (г). [c.320]

Аморфные материалы (стекла, смолы и пр.) резко выраженной температуры плавления не имеют, и у них температура размягчения определяется при помощи различных усл01вных приемов (например, способ кольца и шара, способ определения температуры капле-падения, способ Мартенса — стр. 129). Приближение к температуре размягчения в эксплуатационных условиях может вызвать сильное снижение механической прочности и постепенную деформацию изделий. У ряда материалов прн нагреве могут наблюдаться химическое разложение, обугливание, и 1тенсивное окисление — до явного горения включительно. В ряде случаев, даже при сохранении механической прочности и целостности изоляции, электрические характеристики ее ухудшаются настолько, что делают работу изоляции при повышенной температуре уже невозможной. [c.20]

Отметим, что для постановки задачи вне шара радиуса йо, аналогично тому, как это было в тепловой задаче для гидродинамического стока, не возникает проблемы отрицательных температур, поскольку в этом случае имеется ненулевой поток тепла на бесконечности, описывающийся первым членом разложения с С01 = 1 в (23). Надо сказать, что и в этом случае при Рг = Рг происходит качественная перестройка теплового режима течения. Действительно, если на границе Я = Ео задать абсолютную температуру То, то для выполнения граничного условия при Рг>Рг необходимо иметь достаточно большой положительный первый член с 1 = 1, чтобы компенсировать влияние значительной области отрицательных температур у решепия неоднородного уравнения. Этому будет соответствовать достаточно большой тепловой поток на бесконечности. [c.274]

Перейдем к построению общего решения сформулированной краевой гидродинамической задачи вне шара радиуса Во. Для этого разложения (2.26) и (1) с учетом собственных значений у необходимо дополнить членами с такими показателями при сферическом радиусе В, чтобы при подстановке полученных разложений в уравнении Павье — Стокса линейные и нелине1шые члены имели показатели степени при В из одного и того же семейства (см. 2). Следовательно, семейство дробных показателей степени должно быть замкнуто относительно этой подстановки. Искомое разложение имеет вид (ср. с (2.26)) [c.290]

Разложение по частным решениям на основе метода Рнтца. Старейшим историческим способом решения граничных задач теории упругости является метод разложения по частным решениям. Для особенно важного случая, случая шара, мы применили его уже выше метод имеет однако более широкое применение для целого ряда специальных задач (цилиндр, эллипсоид, конус, тело вращения — тор и т. д.). Мы удовольствуемся здесь только несколькими замечаниями принципиального характера относительно этого метода, ые останавливаясь подробно на перечисленных частных случаях. При этом ограничимся двумя специальными типами граничных условий случаем, когда заданы поверхностные силы, и случаем, когда заданы поверхностные перемещения. Пр01це всего начать со случая заданных поверхностных сил, так как его можно непосредственно связать с выводами, сделанными нами из рассмотрения метода Ритца. [c.162]

Если кроме членов и разложения функции тока использовать еще два следующих члена, вычисленных Э. Больтце, то вместо 0,635 мы получим более точное значение 0,589. Таким образом, при внезапном приведении шара в движение отрыв пограничного слоя начинается в момент времени [c.391]

Для проведения процесса разложения растворов электрическим током в частности для получения водорода и кислорода, пользуются приборами, называемыми электролизерами (рис. 118). Электролизеры изготовляют, как правило, из химически стойкого стекла, так как в качестве растворов (электролитов) обычно пользуются растворами кислот или щелочей. Из трубки заданного диаметра сгибают и-образную деталь г, припаивают отросток ж до сечения в—в. Пр1шаивают отростки д. В деталь вводят цилиндрические электроды (из платины или никеля), удерживаемые на платиновых вводах. Платиновые вводы впаивают в отростки д. В сечениях а—а и б—б припаивают шары 3 и гг (шар и вдвое большего объема, чем шар з, если в электролизере осуществляется электролиз воды с целью получения водорода и кислорода). В сечении е—б припаивают шар к. Через воронку и шар к наливают раствор электролита. Краны л служат для выпуска газов, образовавшихся при электролизе. [c.204]

Выражения для компонент электромагнитного поля дифрагированной (рассеянной) волны получаются в виде разложений в бесконечные ряды по электрическим и магнитным мультиполям коэффициентами разложения служат слон<пые функции параметра р = 2лг/А, (г — радиус шара, к — длина волны) и показателей преломления образующего шар вещества п и окружающей среды По- Ряды сходятся очень медленно число членов, к-рые следует учитывать, приблизительно равно 2р, поэтому прп больших р необходимо применение вычислительных машин (опубликовано иеск. таблиц). При р 1 и пр < 1 существен только первый член ряда, т. е. электрич. диполь, что приводит к закону Рэлея, причем поперечные сечения рассеяния с и поглощения а пропорциопальны и соответственно (к — показатель поглощения вещества, образующего шар). Если р 1, но пр не мало, то при пр = кл (к — целое число) ст резко возрастает до о = бяг (резонансы Ми). С увеличением р рост о и а замедляется и сопровождается постеигапю затухающими осцилляциями. При р > 1 коэффициент ослабления а + о 2лг . Индикатриса рассеяния сильно зависит от р и от п. Если размеры шара близки к X, то характерной особенностью индикатрисы является большое количество резко выраженных максимумов и минимумов, имеющих интерференционную природу. При р а 1 индикатриса сильно вытянута вперед (индикатрисный эффект Ми) и при малых углах рассеяния приобретает отчетливо выраженный дифракционный характер. Столь же резкие изменения с ростом р испытывает поляризация рассеянной (дифрагированной) волны. При нек-рых р > 1 и для нек-рых углов рассеяния она оказывается отрицательной (поляризационный эффект Ми), т. е. плоскость поляризации совпадает с плоскостью рассеяния. [c.227]

МАГНИТНАЯ АНОМАЛИЯ, отклонение значений. элементов земного магнитизма (см.) на нек-ром участке земной поверхности от нормальных значений их, свойственных этому участку в силу его географии, положения. Такое определение М. а. предполагает вполне определенное содержание понятия нормальное поле . Однако такой определенности еще нет в различных отделах учения о земном магнитизме термин нормальное поле трактуется различно. В общей магнитометрии нормальным полем называется такое поле, к-рое обязано квазиоднородному намагничению земного шара в направлении его магнитной оси. В математич. теории магнитного поля земли, развитой на базе построений, введенных Гауссом, этой квавиоднородной части намагничения земли соответствуют три первых члена в разложении потенциала земного магнитного поля по шаровым ф-иям [c.184]

Термическую устойчивость масел для термообработки можнс -оценить на испытательном стенде. Для ускорения разложения масла проволоку из материала с известным электрическим сопротивлением нагревают и закаливают циклически, пропуская через нее электрический ток. Состояние масла проверяют после затраты и рассеяния в масле определенного количества электрической энергии. Масла для термической обработки можно также оценивать по стабильности при закаливании больших объемов стальных шаров в относительно малом объеме масла (для увеличения термической нагрузки). [c.126]

Введенке. В этой главе мы рассмотрим решения уравнений равновесия изотропного упругого телд при ПОМОЩИ разложений в ряды гармонических функций и главным образом в ряды сферических функций. Мы начнем с некоторых специальных типов решений, полученных при помощи сферических функций и дающих важные, результаты, касающиеся равновесия шара, которые являются началом приложений теории упругости к геофизике. Мы будем следовать Кельвину, который выразил общее решение задачи 1) о шаре при помощи сферических функций, рассматривая их как функции декартовых координат и избегая преобразования к полярным координатам. После этого мы дадим некоторые применения рядов гармонических функций, отличных от сферических функций, для интегрирования уравнений равновесия. [c.261]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...