198—202 — Решение Прандтля дли тонкого слоя

Случаи 1, 2 и 3, отвечающие упругой, упругой идеально пластической и пластически упрочняющимся тонким полосам, рассмотрены в работах [7—9]. Четвертому случаю отвечает классическое решение Прандтля о сжатии тонкой идеально пластической полосы [1—3]. Пятому случаю — решение, приведенное в работе [6]. Здесь в деформируемой тонкой полосе имеют место приконтактные пластически упрочняющиеся области при наличии центрального идеально пластического слоя. Именно для этого случая будет рассмотрено в данной статье распределение интенсивностей напряжений и деформаций в тонкой полосе. [c.19]

Прандтль принял, что безотрывное обтекание потоком твердой стенки позволяет считать весь поток, за исключением тонкого слоя у стенки, невязким. В пограничном слое силы вязкости имеют по меньшей мере тот же порядок, что и силы инерции, и именно в пограничном слое сконцентрировано тормозящее действие стенки. Существование такого слоя подтверждается экспериментом, а также незначительным количеством имеющихся точных решений уравнений Навье—Стокса при больших числах Рейнольдса, например в случае ламинарного потока на бесконечно большой пластине, рассмотренном в главе V. [c.283]

Точно так же заслуга Прандтля состоит в том, что он обратил внимание на невозможность пренебрегать силами вязкости вблизи твёрдых стенок даже в случае маловязких жидкостей. Вблизи твёрдых стенок образуется тонкий пограничный слой, внутри которого необходимо учитывать влияние сил вязкости вне этого тонкого слоя влиянием вязкости можно пренебрегать. В результате развития этих мыслей получается очень плодотворная теория пограничного слоя, позволяющая разъяснить ряд вопросов, не поддающихся решению в рамках теории идеальной жидкости, как, например, вопрос [c.372]

Сечения главные 172 --круглые — Момент сопротивления изгибу в условиях установившейся ползучести 309, 310 --прямоугольные — Момент сопротивления изгибу в условиях установившейся ползучести 309 Сжатие слоя между жесткими плитами 198—202 — Решение Прандтля дли тонкого слоя 200—201 [c.393]

Это уравнение является дифференциальным уравнением не четвертого, а третьего порядка. Поэтому не может удовлетворить всем граничным условиям (2.2.15) и условию (2.2.17) одно из них следует опустить. Поскольку при невязком течении возможно скольжение по телу, опустить следует граничное условие (2.2.16). Поэтому полученное решение для является при Я —>- оо очень хорошим приближением точного решения вдали от тела и становится несостоятельным вблизи тела. Касательная составляющая скорости должна обратиться в нуль на поверхности независимо от того, сколь мала вязкость (сколь велико число ). По этой причине при больших точное решение близко к я1)о всюду, за исключением тонкого слоя около тела, в котором оно претерпевает быстрое изменение, чтобы восстановить условие прилипания. Этот тонкий слой и есть пограничный слой Прандтля. [c.44]

Решение Прандтля для тонкого слоя. Пусть толщина слоя 2А значительно меньше протяженности слоя 21. Тогда уравновешивающиеся нагрузки в концевых сечениях слоя не могут [c.197]

Решение Прандтля неудовлетворительно вблизи концов (при д = О краевое условие выполняется лишь в смысле Сен-Венана) и в средней части (вблизи х = 1), так как на оси симметрии касательные напряжения должны обратиться в нуль. Следует полагать, что в средней части слоя имеется жесткая область и материал выдавливается по обе стороны от нее (рис. 134). Однако для тонкого слоя решение Прандтля является хорошим приближением. [c.199]

Классическое рассмотрение задач свободной конвекции основано на решении задач первого случая, т. е. задач, когда тело располагается в жидкости бесконечного объема. Движение жидкости наблюдается только у поверхности тела. Изменение полей скоростей и температур сосредоточено у поверхности в очень тонких пограничных слоях. Поэтому аналитические задачи решаются для пограничных слоев. Соотношение между размерами теплового и динамического пограничных слоев определяется числом Прандтля. При Рг = 1 в ламинарном пограничном слое 6т = б, а при Рг > 1 < б. При рассмотрении задач свободной конвекции толщину динамического пограничного слоя необходимо определять с учетом массовых сил. [c.144]

Мы можем поэтому представить себе схематически картину течения вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса следующим образом. Всю область течения мы разбиваем на две части, а именно на тонкий пограничный слой вблизи тела и на остающуюся область течения, в которой течение можно считать совпадающим с потенциальным течением идеальной жидкости. В пограничном же слое мы будем учитывать также и силы вязкости однако, то обстоятельство, что толщина пограничного слоя очень мала, позволяет сильно упростить уравнения Навье — Стокса в результате такого упрощения мы получим уравнения Прандтля, решения которых тем менее будут отличаться от точных решений уравнений движения вязкой жидкости, чем больше будет число Рейнольдса и чем, следовательно, меньше будет толщина пограничного слоя. [c.544]

Слабое взаимодействие (тонкие, хорошо обтекаемые тела при больших рейнольдсовых числах) в настоящее время хорошо изучено, так как представляет, если не достаточно строго, то во всяком случае четко поставленную задачу. Совершенно иначе обстоит дело с задачей о сильном взаимодействии. Необходимость совместного интегрирования разных по математическому характеру уравнений (Эйлера, Прандтля, Навье — Стокса) в граничащих друг с другом областях движения жидкости (внешний поток, пограничный слой, след), а затем сшивания этих решений приводят к значительным вычислительным трудностям, в первую очередь относящимся к установлению приемлемых условий на границах сшивания решений. [c.518]

Используя особенности напряженного и деформированного состояний, выявленные в известном решении Л. Прандтля о сжатии тонкого плоского слоя, А. А. Ильюшин (1954) развил общую теорию течения тонкого пластического слоя по недеформируемым поверхностям. Выведенные уравнения применяются для расчета ряда задач обработки металлов давлением. [c.101]

Устранить или решить отмеченные проблемы пытались различными путями. Например, В. П. Мясниковым (1961г.) была рассмотрена задача о сдавливании вязкопластичного слоя жесткими плитами [60]. Целью этой работы было дать поправку на эффект вязкости к известному решению Л. Прандтля (L. Prandtl) задачи о сдавливании пластического слоя жесткими, шероховатыми плитами [67]. При решении этой задачи ядро течения уже не принималось жестким, а считалось также вязкопластичной средой, но с большим числом Сен-Венана, т. е. с большим пределом текучести. У очень тонкого слоя среды вблизи плит, наоборот, число Сен-Венана считалось малым. Г. Липскомб и М. Денн (1984 г.) предлагают в своей работе вводить модель ядра в виде некой вязкой жидкости со специально вычисляемым ими коэффициентом вязкости [96 . [c.11]

Введение. Поведение решений теории пластичности вблизи поверхностей трения, на которых удельные силы трения при скольжении равны пределу текучести при чистом сдвиге (условие максимального трения), обладает рядом характерных особенностей, которые, с одной стороны, могут приводить к трудностям при решении краевых задач, а с другой стороны, могут быть использованы для описания физических процессов в тонких слоях вблизи поверхности трения. По-видимому, первое исследование поведения решений в окрестности поверхностей максимального трения было выполнено в [1]. В этой работе была рассмотрена плоская деформация идеальножесткопластического материала, и анализ был основан на методе характеристик. Из результатов этой работы следует, что вблизи поверхности трения сдвиговая скорость деформации (в системе координат, связанной с поверхностью трения) и эквивалентная скорость деформации стремятся к бесконечности обратно пропорционально корню квадратному из расстояния до поверхности трения. Такое поведение поля скорости может быть получено из непосредственного анализа многих аналитических решений, начиная с известной задачи Прандтля (решение этой задачи можно найти в любой книге по теории пластичности, например [2]). Такое же поведение поля скоростей имеет место в осесимметричных решениях. Одно из наиболее известных решений — течение в бесконечном сходящемся канале [3]. Однако в случае осесимметричной деформации уравнения, вообще говоря, не являются гиперболическими (за исключением теории, основанной на условии текучести Треска, и других подобных теорий), хотя изолированные характеристические поверхности могут существовать [4]. Вследствие этого подход, развитый в [1], не мог быть применен для осесимметричных и пространственных задач. В [5-8] был использован другой подход для асимптотического анализа поля скоростей вблизи поверхностей максимального трения для различных условий течения и гладких условий текучести. Во всех этих работах получено, что закон поведения эквивалентной скорости деформации такой же, за исключением некоторых частных случаев, как и при плоской деформации. В [9 аналогичный результат был получен для осесимметричного течения материала, подчиняющегося условию текучести Треска. [c.78]

Введение. Дифференциальные уравнения Навье—Стокса представляют собой систему нелинейных уравнений в частных производных второго порядка. Точные аналитические решения этих уравнений в подавляюш ем большинстве случаев встречают не преодоленные пока еш,е трудности. Число известных в настояш ее время точных решений весьма невелико. Поэтому при интегрировании уравнений Навье— Стокса получили сравнительно широкое распространение и численные приближенные аналитические методы. К числу последних и относится теория гидродинамического пограничного слоя. Основная идея и первоначальная разработка этой теории принадлежат Прандтлю [251, который в 1904 г. пришел к выводу о том, что между потоком жидкости или газа и плавно омываемым ими телом при достаточно большом числе Рейнольдса существует тонкий пограничный слой, в котором сосредоточено почти все вязкое трение. Вне этого тонкого слоя силы вязкости пренебрежимо малы, и в этом случае жидкость (или газ) можно рассматривать в качестве невязкой. [c.256]

Сдвиг и сжатие тонкого слоя. В гл. V ( 47) изложена плоская задача Прандтля о сжатии тонкого пластичного слоя между жесткими шероховатыми плитами. Существенное влияние на течение слоя оказывает наличие усилия 2 , сдвигающего плиты (рис. 206). Ниже приводится статически возможное решение этой задачи. При отсутствии сдвига верхнюю и нижнюю границы сжимающего усилия для тонкого пластичного слоя получил Шилд. [c.307]

Согласно классической схеме Прандтля, около пластины при Re оо можно выделить область невязкого течения и тонкий по сравнению с продольным размером тела пограничный слой. Решение, описывающее течение в пограничном слое вблизи точки, где трение на поверхности обрашается в ноль, перестает быть равномерно точным, что приводит к необходимости введения в рассмотрение пристеночной области вязкого течения и области невязкого течения [Goldstein S., 1948 Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., 944]. По мере приближения к точке нулевого трения толщина вытеснения пограничного слоя растет, что приводит к появлению индуцированного градиента давления, Из анализа оценок, приведенных ниже, следует, что для анализируемого режима течения градиент давления, индуцируемый пограничным слоем в окрестности точки нулевого трения, имеет тот же порядок, что и заданный градиент давления dp/dx = К = 0(1). Предельный случай малой величины отношения индуцированного и заданного градиента давления приводит к схеме, в которой в главном члене течение описывается решением, не учитывающим взаимодействие, что не позволяет устранить особенность и продолжить решение за точку нулевого трения [Stewartson К., 1970, Ь]. [c.42]

Асимптотическая теории взаимодействия невязкого потока с пограничным слоем является важной частью динамики вязкого газа при больших значениях числа Рейнольдса Re, В основе ее лежит фундаментальная идея Л. Прандтля о возможности разделения всей области течения на невязкий поток и тонкий пограничный слой Prandtl L., 1904]. Эта идея появилась в связи с попыткой получить рациональное объяснение явления отрыва потока от поверхности обтекаемого тела. Заметим, что идея Прандтля оказалась чрезвычайно плодотворной не только для динамики вязких течений, но и для многих других направлений прикладной математики. Первоначальная формулировка теории пограничного слоя включает предположение о том что, возможно, сначала решить задачу для внешнего течения невязкого газа, а затем для пограничного слоя при найденном распределении давления. Позднее Л. Прандтль [Прандтль Л., 1939] указал на возможность уточнения решения путем учета вытесняющего действия пограничного слоя на внешнее течение. В следующем приближении при этом необходимо учесть влияние изменений внешнего потока на течение в пограничном слое и т. д. Фактически была сформулирована концепция теории слабого взаимодействия. [c.251]

Решение для компенсационного режима обтекания тонких неровностей. Как уже отмечалось выше, если при обтекании неровности индуцируются напряжение трения и тепловые потоки по порядку величины большие, чем в невозмущенном пограничном слое, то перед такой неровностью должна быть переходная область течения, в которой напряжение трения и тепловые потоки имеют тот же порядок величины, что и в невозмущенном пограничном слое на пластине, и возрастают. Течение в такой переходной области должно описываться решением краевой задачи (8.38)-(8.42). Оно было получено с помощью модифицированной полустандартной программы, созданной С.Н. Селиверстовым на основе метода статьи [Петухов И.В., 1964]. На рис. 8.9-8.11 в качестве примера представлены распределения возмущений давления, относительных возмущений напряжения трения и теплового потока соответственно при обтекании синусоидальной выпуклости f x) = sin ттх для различных значений параметра u и при числе Прандтля а = О, 71 интегрирование продолжалось до точки отрыва [Боголепов В.В., 1974]. Перед неровностью при ж < О поток остается невозмущенным, в окрестности точки X = О предельное решение задачи дает (—р) Ат/е и Ад/е На поверхности неровности величины ( р), Ат/е и Ад/е достигают своих максимальных значений, а в точке х = 1 возмущения напряжения трения и тепловых потоков имеют резкие минимумы. По мере удаления от неровности при ж СХ) все возмущения затухают и предельное решение задачи дает —р) [c.402]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...