Ритца теорема

Даже беглого взгляда на оглавление достаточно, чтобы увидеть, какие темы освещаются в этой книге. Сюда входят и методы расчета элементов конструкций при продольном нагружении, кручении и изгибе, и основные понятия механики материалов (энергия преобразование напряжений и деформаций, неупругое деформирование и т. д.). К частным вопросам, интересующим инженеров, относятся влияние изменения температуры, поведение непризматических балок, большие прогибы балок, изгиб несимметричных балок, определение центра сдвига и многое другое. Наконец, последняя глава представляет собой введение в теорию расчета конструкций и энергетические методы, включая метод единичной нагрузки, теоремы взаимности, методы податливостей и жесткостей, теоремы об энергии деформации й потенциальной энергии, метод Рэлея — Ритца, теоремы о дополнительной энергии. Она может служить основой для дальнейшего изучения современной теории расчета конструкций. [c.9]

Рассмотренный в этих примерах метод расчета, основанный на теореме Лагранжа — Дирихле, носит название метода Ритца. [c.286]

Тогда уравнения (13.8.4) линейны и однородны для существования нетривиального решения необходимо, чтобы детерминант системы был равен нулю. Это условие приводит к алгебраическому уравнению степени к относительно Вследствие неравенства Рэлея наименьший корень этого уравнения будет давать верхнюю оценку для которая может только улучшиться с увеличением к. При увеличении к корень уравнения с номером т будет стремиться к величине при этом нельзя сказать сверху или снизу. Доказательство этой теоремы мы не приводим, заметим лишь, что для ее выполнения необходима полнота системы функций fi, т. е. возможность представления любой допустимой системы перемещений Uj в виде (13.3.5). Описанная приближенная процедура определения частот носит название метода Ритца. [c.438]

Сформулированная выше теорема Рэлея позволяет применить для нахождения метод Ритца. С этой целью задаются входящей в (11.72) / х) в виде суммы [c.80]

Метод Ритца можно построить на простой идее коэффициенты i, С2,. . Сп ДОЛЖНЫ быть выбраны так, чтобы вычисление по формуле (11.256) дало наименьшее значение для р . Из теоремы Рэлея (см. стр. 34) вытекает, что такой выбор будет наилучшим (при данной системе функций / ). [c.135]

Метод Ритца основан на использовании известной теоремы Дирихле—Лагранжа, на основании которой формулируется следующий принцип потенциальная энергия упругого тела в состоянии устойчивого равновесия имеет минимальное значение. Для использования метода Ритца в задачах расчета пластин необходимо составить выражения для потенциальной энергии деформации пластины U и работы внешних сил А. Полная потенциальная энергия пластины равна их разности [17= U—A). Можно показать, что при задании прогиба в виде (20.67) полная потенциальная энергия является квадратичной функцией параметров а , n=n(ali). [c.450]

Метод Тимошенко. Модификацию метода Релея — Ритца, основанную на непосредственном применении теоремы Дирихле, предложил С. П. Тимошенко [6.21] (1910). Для приближения функции используется уравнение 6 11 = 0, которое приводит к зависимости N = jV( j-) нагрузки N от параметров Сь Из условия минимума нагрузки [c.81]

Теорема IV.2. Если координатная система (IV.46) минимальна в Н, то суи ествуют пределы коэффициентов Ритца ak — mai k = , 2,...). [c.164]

Теорема IV.3. Для того чтобы процесс Ритца был., устойчив, необходимо и достаточно, чтобы координИатная система была сильно минимальна в соответствуюш,ем пространстве. [c.164]

Теорема 1.8 [50]. Допустим, что рассматривается ситуация метода Ритца. Пусть форма F X— R определена соотношением f (ы) = — а(ы, и)—. Тогда [c.197]

Ввиду симметричности и положительной определенности билинейной формы (3.2) имеет место ситуация метода Ритца. Поэтому, на основании теоремы 7.1.8, матрица системы (3.4) симметрична и положительно определена, уравнение (3.4) имеет одно и только одно решение [c.233]

После того как на многих задачах была показана пригодность метода конечных элементов, стали обсуждаться лежащие в основе метода связи с энергетическими принципами. Обнаружилась ясная связь метода конечных элементов с классическим методом Ритца. Это привело к общим и далеко идущим постановкам, кроме того, метод получил строгое математическое и механическое обоснование и к нему могут быть применены общие теоремы о сходимости (см. [43, 44]). [c.139]

Важное значение имеет теорема Рэлея, согласно которой полученные по формулам (23) или (25) результаты всегда выше истинного значения критической силы (при условии, что принятая форма изгиба удовлетворяет всем геометрическим граничным условиям задачи). Поэтому из нескольких результатов, полученных путем использования различных функций V (г), ближе к истинному наименьший. Метод Ритца дает возможность получать уточненные решения с любой желательной степенью точности. (Согласно этому методу кривую изгиба осн стержня задают в виде суммы ряда функций, каждая из которых удовлетворяет всем граничным условиям задачи, и вводят в выражение изогнутой оси с неопределенным множителем [c.25]

Помимо того что подобные принципы действительно необходимы по только что изложенной причине, ясно, что они, кроме всего прочего, несут важную информацию, дополняющую приближенный расчет. Если определенно известно, что некоторая приближенная формула приводит к результату, который лежит всегда выше (или ниже) точного решения, то надежность вычислений по этой формуле резко возрастает, по крайней мере становится точно известным направление возможных отклонений от истины. Отмечаемый факт хорошо известен в случае расчетов связанных состояний, проводимых на основе теоремы Релея — Ритца. В дальнейшем мы рассмотрим один из принципов минимума. [c.298]

Дан полный математический анализ краевых задач иелииейиой теории оболочек. Для всех физически осмысленных постановок доказаны теоремы разрешимости и корректности в условиях глубокой нелинейности. Приведены условия единственности решений и условия неединственности. Получили обоснование в этом круге нелинейных задач методы приближенного решения Бубнова — Галеркина, Ритца, Ньютона — Канторовича и др. Большое внимание уделено нелинейной устойчивости, в которой различаются две проблемы оценка числа решений краевой задачи и выбор наиболее реального. Подробно проанализированы возможности принципа линеаризации Эйлера, дано строгое математическое обоснование существования нижних критических чисел, развит статистический подход. Основу рассмотрений составили топологические и вариационные соображепия. [c.2]

Доказательство. Существование и единственность ы и й гарантируются теоремой 111.3.1. Элешнт й является приближением по Ритцу для и ( 1.2.). Используя последовательно коэрцитивность формы а, соотношение (5) теоремы 1.2.1 и непрерывность формы а, получаем [c.80]

Элемент йщ — о является приближением по Ритцу для и —со. По теореме IV.5.1 для всякого v V имеем [c.84]

Подобно тому как периодическая функция представляется рядом Фурье, т. е. линейной комбинацией функций sin vm/ и os (nt, можно попытаться осуществить аппроксимацию иного вида, основанную на использовании системы функций выбранной надлежащим образом. Это приводит к теореме Ритца [c.118]

Теорема 3.1. Если линейный оператор А положителен и самосопряжен, приближенное решение Ритца дифференциального уравнения Аи = f является ортогональной проекцией точного решения на аппроксимирующее подпространство энергетического пространства. Таким образом, аппроксимация Ритца есть наилучшая аппроксимация в смысле энергетического пространства. [c.71]

В качестве примера результатов, которые могут быть подучены с помощью теоремы 5.2, рассмотрим аппроксимацию Ритца решения уравнения [c.124]

Как близка аппроксимация Ритца к точному решению и В соответствии с приведенной теоремой, утверждающей, что энергия ошибки и — и минимальна, эта аппроксимация близка насколько возможно. Таким образом, метод Ритца оптимален при условии, что энергия измеряется естественным образом. Измерение дояжно быть связано с особенностями задачи, т. е. с функционалом /(о) энергия v — член второго порядка в I(v). (Наше определение отличается от физически корректного множителем V2, но нам удобно игнорировать этот множитель.) [c.53]

Наша цель в этом разделе состоит в доказательстве теоремы, утверждающей, как сказано выше, что энергия ошибки в методе Ритца минимальна, и в применении ее для установления границ ошибки при аппроксимации линейными элементами. [c.54]

Это теорема основная в теории метода Ритца, и три ее части тесно связаны. Утверждение (б) непосредственно вытекает из (в) если равенство (23) справедливо для всех о, то оно справедливо и для вычитая из него (22), получаем (21). [c.55]

Интерполянт Ui не следует путать с аппроксимацией Ритца и Обе функции кусочно линейны, но u определяется вариационно, в то время как Uj — всего лишь удобно выбранная близкая к и функция. Теорема 1.1, утверждающая, что и лежит к и еще ближе, дает первое из неравенств (34). [c.62]

Это доказательство применяется без всяких изменений ко всем таким задачам минимизации, и нет нужды повторять его в каждом случае. Необходимое и достаточное условие для сходимости метода Ритца очевидно для всякой допустимой функции и ее расстояние до пространства пробных функций S (измеренное по энергии) должно стремиться к нулю при h->0. Из доказательства предыдущей теоремы видно, что эту сходимость можно проверять на плотном подпространстве, т. е. таком, пополнение которого в энергетической норме включает все допустимые функции сходимость тогда будет автоматически следовать для каждой функции и. Однако интересно установить скорость сходимости в энергетической норме в случае, когда и — достаточно гладкая функция. [c.63]

Теорема 1.5. Кусочно линейная аппроксимация и по методу конечных элементов, полученная, из теории Ритца, удовлетворяет неравенствам [c.65]

Жесткость — внутреннее свойство метода Ритца. Ограничивая перемещения V конечным числом величин фь фг,. . ., ф v вместо всех допустимых функций,, мы получаем численную структуру, более ограниченную, чем реальная. В задаче на собственные значения такое ограничение выражается в том, что Я/ всегда больше истинного значения В статических задачах потенциальная энергия /( ) превышает /( ), поскольку получается из минимизации 1 х)) на конечномерном подпространстве, натянутом на фь фг,. .., фд . Такая верхняя оценка I соответствует оценке снизу энергии деформации а, как доказано в следствии из основной теоремы 1.1 [c.120]

В частном случае точечной нагрузки / = б(хо), когда перемещение и хо) пропорционально энергии деформации, оно также оценивается снизу в методе Ритца более жесткая численная структура дает меньшие перемещения в нагруженной точке, чем истинная конструкция. Для распределенных нагрузок тенденция та же перемещение Ф х) в методе конечных элементов обычно ниже истинного перемещения и х). Конечно, это не настоящая теорема, так как метод Ритца минимизирует энергию, а ее связь с перемещением не является строго монотонной. Другими словами, и может превышать и на некоторой части конструкции, но в то же время иметь меньшие производные в среднем квадратичном. Тем не менее односторонние [c.120]

СТВО сходимости для двух наиболее важных смешанных элементов, в которых моменты соответственно постоянны и линейны в каждом треугольнике. Его доказательство устанавливает после исключения неизвестных перемещений и определения неизвестных моментов как функций, минимизирующих положительно определенное выражение (дополнительную энергию), особое свойство. Это свойство совпадает с известным условием Ритца пробные моменты в дискретном случае содержатся в пространстве допустимых моментов (тех, которые достигают равновесия для предписанной нагрузки) полной непрерывной задачи. Поэтому, как и в методе Ритца, сходимость основана на теории приближений и ее можно доказать. Для других смешанных (и гибридных) элементов естественное доказательство проверяется из согласованности (или аппроксимируемости) и устойчивости. Тогда общая теорема Бабушки [Б5] дает сходимость, Бреззи доказал устойчивость для одного гибридного элемента, и его прием распространяется на общую теорию. [c.151]

В этом разделе мы применим предыдущие теоремы об аппроксимации для достижения главной цели всей нашей теории нахождение оценки ошибки и — Ф метода конечных элементов. Функция и служит решением п-мерной эллиптической краевой задачи порядка 2т, а Ф — ее приближением Ритца, вычисленным в пространстве метода конечных элементов На равномерной сетке уравненря метода конечных элементов KQ = F становятся системой разностных уравнений, и мы находим одновременно порядок точности этих разностных уравнений. [c.195]

Неравенство справедливо для любой функции и е 8 тйк как a. v , и — ы ) = О по основной теореме Ритца 1.1. Теперь предположим, что — ближайшее приближение к да в норме пространства Ж . (Или, что по существу то же самое, пусть v — решение вспомогательной задачи (27) методом конечных элементов и потому наилучшее приближение к w по энергци. Заме- [c.196]

Пусть Q заменяется вписанным многоугольником Q , а пробные функции приравниваются нулю на прямых сторонах границы Г . Представим себе, что они доопределены нулем с внешней стороны границы Г . Тогда эти функции допустимы для вариационной задачи они равны нулю на истинной границе Г, а пробное пространство — настоящее подпространство в Следовательно, основная теорема 1.1 метода Ритца гарантирует, что ы минимизирует ошибку в энергии деформации [c.228]

Это означает, что в энергетической норме a v,v) функция Ри — ближайшая в S к заданной функции и. Другими словами, если бы и было решением стационарной задачи Ьи = f, то Ри было бы в точности его аппроксимацией Ф по методу Ритца. Вместе с нашим предыдущим результатом по аппроксимации (теорема 3.7) это гарантирует, что [c.265]

Метод Ритца заключается в минимизации функционала I(и) на последовательности подпространств 5 . Основная теорема (стр. 54) устанавливает, что минимизирующая функция и есть проекция и на S , иными словами, л — ближайшая к и функция по норме энергии деформации а (и, и). Поэтому, если каждое подпространство 5 содержится в следующем (как это предполагается в классическом методе Ритца и обычно выполняется в методе конечных элементов, когда новые элементы строятся в результате разбиения старых), сходимость по норме энергии деформации монотонна при Л->0. Такова же и сходимость собственных значений. В тео рии Ритца это, возможно, и полезно, но не столь существенно монотонность последовательности подпространств 5 предполагается дополнительно, так что монотонность сходимости — дополнительный вывод. [c.339]

Кратко рассмотрим вопрос сходимости последовательности аппроксимаций Ритца. Как и в предыдущем пункте, рассмотрим последовательность подпространств Ф , Ф ,. . . пространства 6, порождаемых функциями Фд (х), Фд (х),. . ., которые строятся из локальных конечноэлементных аппроксимаций обычным образом. Эта последовательность получается в результате использования регулярных равномерных измельчений модели мера мелкости которых б -> 0 предполагается, что базисные функции каждого подпространства г-соответственны и полны по энергии в смысле теоремы 10.6. [c.138]

Метод Ритца основан на простой идее коэффициенты С , Сг, Сп должны быть выбраны так, чтобы вычисление по (273) дало наименьшее значение для ю. Из теоремы Рэлея вытекает, что такой выбор будет наилучшим (при дайной системе функций fi). [c.224]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...