Периодические граничные услови

Вследствие отражения волн от концов цепочки бегущие упругие волны заменяются стоячими. Можно снова обратиться к рассмотрению бегущих волн, использовав метод периодических граничных условий, развитый М. Борном и Т. Карманом. Этот метод дает хорощие результаты при исследовании как спектра колебаний, так и электронного спектра твердых тел. Циклические граничные условия можно представить себе, рассмотрев совокупность из N атомов, расположенных по кругу. В этом случае Xn = Xn + Jv, потому что п-й атом идентичен (Ы+п)-му атому. Это означает, что смещения атомов в такой цепочке, вызванные бегущей волной, повторяются через расстояния Ь = Ка. При таком предполо- [c.31]

Методом Монте-Карло принято называть такие методы, в которых точное динамическое поведение системы заменяется стохастическим процессом. В методе Монте-Карло система совершает случайные блуждания по конфигурационному пространству, причем за начальное состояние принимается некоторое регулярное расположение частиц. Каждому состоянию приписывается определенная вероятность, и система после совершения некоторого количества шагов становится равновесной. В ММК статистические средние получаются как средние по различным конфигурациям. Возможность отождествлять усреднение по времени и по ансамблю в ММК определяется эргодической теоремой. Для рассматриваемой системы предполагается наличие периодических граничных условий. Если смещение выводит частицу за пределы кубического объема, то она входит в него с противоположной стороны. [c.183]

У / , v=(vь -У2, vз) — вектор, координаты которого определяются тройкой целых чисел. Штрих у суммы по V означает, что исключен вектор (0, 0, 0), который соответствует рассматриваемой базисной ячейке. Вторая сумма в выражении (10.7) появляется в силу периодических граничных условий. [c.185]

При больших плотностях ячейка выбирается так, чтобы периодические граничные условия порождали идеальную кристаллическую решетку. Для аргона поэтому берут обычно кубическую ячейку с М=4п , где = 1, 2, 3, 4, 5, б,.. . . [c.190]

В результате оценок ошибок, возникающих из-за введения периодических граничных условий, было получено, что во втором и третьем вириальных коэффициентах она имеет порядок о(1/Л ). Исследование зависимости коэффициента диффузии I) от числа ц привело к формуле [c.209]

Однако при рассмотрении кристаллов чаще вместо указанных граничных условий вводят периодические граничные условия, записываемые в виде [c.48]

Наша задача найти волновую функцию i 5(j ). Для решения этой задачи введем периодические граничные условия [c.57]

При составлении уравнений рассматриваемой задачи возникает известная трудность, вызванная тем, что все материальные точки подчиняются уравнению движения одного и того же вида. Когда цепь имеет конечную длину, необходимо предположить существование дополнительных граничных сил. Когда же ее длина бесконечна, такие функции, как V, будут расходиться, если не принять периодических граничных условий при этом необходимо считать, что длина занимает только один период. В дальнейшем будет предполагаться, что задача решается при одном из этих предположений. [c.118]

Здесь второй член проинтегрирован по частям, и предполагается, как прежде, что или равно нулю на границах, или имеются периодические граничные условия. [c.131]

Следует отметить, что условия, установленные в гл. IX для постоянства величины во времени, еще применимы, т. е. независимые переменные не должны явно входить в функцию Ж,, каждая система должна иметь конечную протяженность и ее физические границы должны лежать, в пределах области интегрирования или должно существовать некоторое периодическое граничное условие. [c.166]

А. Период продолжения ненулевых граничных условий по времени или по координатам необходимо выбрать таким, чтобы влияние волнового поля от продолженных периодически граничных условий по времени или по координатам было пренебрежимо мало в исследуемой окрестности от первоначально заданных граничных условий. [c.26]

Уравнения (1.5) и (1.6) вместе с начальными распределениями и граничными условиями, например для на левом и для J на правом концах трубы, полностью определяют течение. В отличие от линейного (акустического) приближения при I X начальные распределения забываются , и периодические граничные условия вырабатывают решение, периодическое по 1. Анализ значительно упрощается, если взаимодействие волн, бегущих в разных направлениях, оказывается несущественным, что позволяет пренебречь в правых частях (1.5) и (1.6) слагаемыми с множителем (3 — х). Тогда С - и (7 -характеристики заменятся прямыми [c.288]

В качестве другого примера рассмотрим периодическую систему разрезов с периодом 2L. Используя отображение на плоскость комплексного переменного 5 = ш(я2/2/,) при решении краевой задачи (2.41) или непосредственный предельный переход в решении (2.42) при для периодических граничных условий задачи, можно найти [c.40]

Предполагается наличие периодических граничных условий. Следовательно, если смещение выводит частицу за пределы кубического объема системы, ова снова входит в него с другой стороны. [c.301]

Введение периодических граничных условий в направлении оси л дает [c.214]

Предполагая, что волновые функции удовлетворяют периодическим граничным условиям в кубе со стороной L = находим возможные значения проекций импульса Ра a = x,y,z) [c.29]

В последнее время в результате развития теории появился другой подход к приближенным теориям жидкого состояния (см. гл. III). Это метод молекулярной динамики, с помощью которого электронные вычислительные машины решают классические уравнения движения атомов для сравнительного малого их числа, например для периодических граничных условий. Пас-кин и Раман [43] получили потенциал, близкий к вычисленному Джонсоном и сотрудниками по теории [c.44]

Видно, что при прохождении фронта ударной волны в рассматриваемой области происходит небольшое размытие характерных для кристалла пиков RDF. В дальнейшем б-пики практически восстанавливаются, но происходит их смещение относительно идеальной структуры, что обусловлено характером нагрузки, причем пик, соответствующий i = 5,4 а. е., не изменяется. Это, как и в [39], обусловлено использованием периодических граничных условий в направлении, нормальном распространению ударной волны. При [c.225]

Решение. Используя обозначения задачи 4.2.12, перейдем к нормальным координатам Qk- Будем считать, что выполняются периодические граничные условия Un = Un+n. Тогда значения fe = = 2nsli Jd (s = 0, 1, 2,...) пробегают квазинепрерывнып спектр. Смещения Un можно разложить в ряд Фурье [c.243]

Электроны описываются с помощью расширенной зонной схемы, так что волновой вектор к не обязательно лежит в первой зоне Бриллюэна. Обозначения волнового вектора отдельных состояний выбирается преимущественно таким образом, чтобы приближения относительно матричного элемента, уноминавшиеся выше, были бы ] ак можно более справедливыми. Это значит, что электрон в состоянии к рассматривается как свободный электрон с тем же волновым вектором. Как и обычно, чтобы получить дискретную систему-значений для к, вводятся периодические граничные условия. Мы будем пренебрегать спин-орбитальным взаимодействием и, где необходимо, обозначать спин индексом s, который может принимать значения iV2- [c.758]

Поверхность Ферми. Рассмотрим свободный электронный газ в трехмерном случае. Используем волновые функции, удовлетворяющие граничным периодическим условиям типа (x-l-L, у, z)=4 (x, у, z). Уравнению Шрёдингера и периодическим граничным условиям отвечают бегущие плоские [c.106]

На решения уравнений движения налагаются периодические граничные условия к координате каждой частицы добавляется величина, кратная L=V столько раз, чтобы кубическая ячейка воспроизводилась не менее 26 раз. Это приводит к тому, что если одна частица покинет ячейку, то через противоположную грань в нее войдет другая частица с тем же импульсом. При этом плотность и энергия системы сохраняются. Для упрощения вычислений размер ячейки выбирается так, чтобы он был значительно больше радиуса действия потенциала. Для систем с дальнодей-ствующим кулоновским потенциалом используют специальные методы расчета. [c.190]

Чтобы исследовать поведение системы при больщих временах, ячейка должна быть достаточно больщой, но в то же время не настолько, чтобы ее пересекла звуковая волна, возникающая вследствие периодических граничных условий, т. е. t[c.194]

Наряду с оптимальным выбором разностной схемы сокращение числа вычислений возможно и путем учета других факторов, обусловленных большим количеством рассматриваемых частиц (—10 ) и видом потенциала взаимодействия, так как в этом случае не обязательно вычислять все расстояния между частицами и все силы взаимодействия. В случае если частицы, потенциал взаимодействия между которыми является вандерваальсоь-ским, находятся на больших расстояниях г>3,3а, то в пределах точности вычислений можно положить взаимодействие равным нулю. Если же частица находится на расстоянии 2,5о-<г<3,Зо, где потенциал Леннард—Джонса меняется медленно, то вычис-сние сил взаимодействия можно осуществлять не на каждом Л. аге, а через несколько шагов. Данные упрогцения значительно сокращают количество вычислений, а вносимая ими ошибка меньше, чем ошибка, возникающая из-за введения периодических граничных условий. [c.209]

Иллюстрирование схемы КМОЗ на примере A yZ-моде-ли показало, что для этой задачи было необходимо ввести S-матрицы вида (20). Существенно отметить, что для этой задачи введённая 5"-матрица не является физической, но представляет нек-рую абстрактную 5-матрицу, использование к-рой в схеме КМОЗ приводит к диагонализации гейзенберговского гамильтониана. Для др. физ. задач, напр, о цепочке Хаббарда или об эффекте Кондо, частицы имеют внутр. симметрию и их состояния характеризуются дискретным индексом, конкретно—проекцией спина, поэтому физ. 5-матрица в этих задачах является матрицей по этим индексам. Она должна удовлетворять ур-нию Янга — Бакстера, и с её помощью вводятся описанные выше ма-тем. конструкции КМОЗ — матрица монодромии Т и трансфер-матрица Т. Однако этих величин недостаточно для полного рещения задачи. Особую проблему составляет учёт периодических граничных условий. В рамках КМОЗ эта проблема нахождения импульсов сводится к диагонализации трансфер-матрицы Т на т. н. нерегулярной решетке. [c.153]

Неэмпирический метод ОЛКАО (в прямом пространстве) применен недавно [146] к детальному исследованию электронных распределений в ц-8Ю2. Авторы использовали 1296-атомную суперя-чейку с периодическими граничными условиями, атомная конфигурация которой была оптимизирована с учетом имеющихся дифракционных данных [149, 150]. Полученные гистограммы распределения длин и углов связей приводятся на рис. 7.12. Рис. 7.13 и 7.14 представляют плотности состояний аморфного [c.167]

Важнейшая особенность метода молекулярной динамической релаксации [24, 25] заключается в том, что модель содержит дополнительный параметр — температуру. Это позволяет выбрать из всех состояний наиболее равновесное для данной температуры. Кроме того, при моделировании этим методом используются периодические граничные условия, что позволяет избежать трудностей, связанных с влиянием на структуру и свойства конечной глобулы поверхностных эффектов, и достичь однородных свойств для всей системы (она по объему бесконечна). Молекулярно-динамические модели расплава могут быть аморфи-зированы путем процедуры резкого ступенчатого молекулярно-динамического охлаждения [34, 35]. Таким способом получаются гораздо более устойчивые системы, чем при использовании обычной двухстадийной техники — построение жесткосферной глобулы и проведение процедуры статической релаксации. Оказалось, что в полученных таким методом моделях практически отсутствуют крупные поры берналовского типа. [c.15]

Хотя электроны в металле нельзя считать совершенно свободными, ряд их существенных свойств, необходимых для понимания проводимости, можно исследовать, рассматривая их как газ слабовзаимодействую-щих частиц, движущихся в некотором пустом ящике объемом 1, . Как и в случае колебаний решетки, проще всего в самом начале рассмотреть одномерное движение. Если считать, что потенциал постоянен по длине ящика, и предположить, как в п. 1 1 гл. 4, периодические граничные условия, то длина волны электрона должна быть такой, чтобы на длине L укладывалось целое число волн. Возможные длины волн в убывающем порядке будут L, ... [c.174]

Поскольку допустимые квантовые состояния обязаны обладать необходимыми свойствами симметрии по отношению к перестановкам частиц, любой полный орто-нормированный набор волновых функций в случае статистики Бозе должен состоять из симметричных функций, а в случае статистики Ферми — из антисимметричных функций. В частности, это могут быть симметризованные или антисимметризован-ные произведения плоских волн, нормированных в объеме V = с периодическими граничными условиями. Итак, для бозе-систем базисными волновыми функциями являются [c.30]

Изложенная выше теория может быть сравнена с экспериментом только в очень ограниченной области. Однако используя метод молекулярной динамики, Раман [91] смог рассчитать на машине yl t) и ее среднее квадратичное смещение. В этой работе рассматриваются только несколько сот атомов с взаимодействием типа Леннарда — Джоунса и решаются классические уравнения Ньютона с периодическими граничными условиями. Хотя силовой закон Леннарда—.Джоунса не пригоден [c.87]

Решение. Используя обозначения задачи 4.2.14, перейдем к нормальным координатам Будем считать, что выполняются периодические граничные условия Нп — Тогда значения к — 27гз/Мс1 (з = О, 1, 2,. . .) пробегают квазинепрерывный спектр. Смещения Пп можно разложить в ряд Фурье [c.358]

Включение располагалось в центральной части цепочки с 200-го по ЗОО й атом. В случае включения вольфрама атомы этой области располагались на расстояниях, соответствующих направлению [111] в чистом вольфраме. При моделировании области с пониженной плотностью атомы с 200-го по 300-й располагались на расстоянии а > ао (яо — расстояние между атомами в идеальной цепочке). В проведенных расчетах отношение а/яо полагалось равным 1,075. При релаксации цепочек к положению равновесия использовались периодические граничные условия. Смещения атомов относительно первоначальных положений после релаксации для включения из атомов вольфрама возрастают монотонно по мере приближения к границе раздела я/яо, затем также монотонно спадают, тогда как в случае области с пониженной плотностью смещения у границы раздела носят осциллирующий характер. После нахождения равновесного состояния цепочку можно термализовать. [c.212]

Влияние взаимодействия ударной волны с тепловыми флуктуациями на изменение атомной структуры исследовалось также в [39]. В этой работе рассматривалась термализованная решетка с плотной упаковкой атомов. Использовался парный потенциал взаимодействия типа Леннард — Джонса. Авторы рассмотрели два случая, отличающиеся (почти в 2 раза) интенсивностью инициированной ударной волны. В первом случае (малая интенсивность) произошло одноосное поджатие материала, структурные изменения при этом не наблюдались. Во втором — взаимодействие ударной волны с термическими флуктуациями, а точнее, с сетками флуктуаций (поскольку использовались периодические граничные условия в направлении, нормальном распространению ударной волны), приводит к возникновению больших сдвиговых напряжений и, как следствие, к структурным изменениям, определяющим пластическое поведение решетки. Рассчитанная зависимость девиатора напряжений от величины одноосной деформации показала также, что [c.224]

Трансформация атомной структуры при этом показана на рис. 7.12, а—в. Рис. 7.12, а соответствует моменту времени, когда одна часть кристаллита начинает смещаться относительно другой рис. 7.12, б — следующей стадии деформации, на которой проявляется взаимодействие возмущений, обусловленных периодическими граничными условиями по оси ОУ (см. рис. 7.11, а). Видно, что в результате взаимодействия ударной волны с системой включений кристаллит делится на развернутые друг относительно друга фрагменты. Кроме того, внутри фрагментов некоторые зоны разориенти-рованы. Характерно, что области интенсивных поворотов могут релаксировать в отдельный фрагмент (см. рис. 7.12, б, в, более темная область), т. е. образовывать фрагменты (формировать новый структурный уровень), предшествующие стадии интенсивных поворотов элементов. [c.226]

Поэтому важной проблемой является исследование поведения атомной структуры аморфного металла при распространении ударной волны, без учета граничных эффектов. Рассматривалась прямоугольная область, большая сторона которой ориентирована вдоль оси X, меньшая — вдоль оси У. Система включала в себя около 4000 атомов. Ударная волна инициировалась в направлении оси X путем задания некоторой постоянной скорости атомам, попадаюш им в граничный слой пшриной АВ, равный радиусу обрезания потенциала межатомного воздействия. Вдоль оси ОУ использовались периодические граничные условия. [c.227]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...