Кейли дерево

Кагоме решетка 279, 280 КОР модель 133 Кейли дерево 55—57, 62, 63 Корреляции 18, 26, 27 [c.479]

Рис. 4.10. Дерево Кейли t -время to - значение t в начале процесса t - после первой итерации tj - после 1 й итерации

Приступая к рассмотрению, следует отметить, что несмотря на повседневное проявление иерархичности в социуме и осознание ее роли в других системах [98] теория иерархически соподчиненных ансамблей получила свое развитие только при описании динамики спиновых стекол [66, 85, 99]. Основная идея состоит в том, что иерархически соподчиненные объекты образуют ультраметрическое пространство, геометрическим образом которого является дерево Кейли (см. рис. 33). Степень иерархической связи ш (родства — в генеалогии) объектов, отвечающих узлам дерева на заданном уровне, определяется числом шагов I до общего предка, которое задает расстояние в ультраметрическом пространстве [100]. Определим возможные типы функции у 1) для различных деревьев. [c.126]

С Со- противном случае проявляется дискретный характер связи, и следует решать систему конечно-разностных уравнений (2.17), где распределение числа узлов JV по уровням задается структурой исследуемого иерархического дерева. К такой постановке приводит рассмотрение иерархических систем, обладающих малым числом уровней и сложной конфигурацией дерева Кейли. Очевидно, в большинстве практических приложений дискретный характер иерархической системы проявляется существенным образом, и решение задачи достигается только численными методами. При этом полученные выше асимптотики представляют качественный характер поведения иерархической системы (см. рис. 35). [c.134]

Исследование представленной картины требует использования пространства с ультраметрической топологией, геометрическим образом которого является иерархическое дерево Кейли (см. 3). Как видно из рис. 38 б, такое дерево, отражающее изменение топологии изоповерхности Ф(Л) — onst, дает наглядное представление последовательности [c.139]

Однородным является ультраметрическое пространство, изображаемое деревом Кейли 6 постоянной ввтвимостыо. [c.143]

Применительно к перестройке кристаллической структуры это означает, что стабильные длиннопериодные структуры реализуются только в сильно иерархических системах с экспоненциальным нарастанием высоты рельефа. Легко видеть, что такие условия могут быть обеспечены наличием дальнодействующих сил. Действительно, если величине где s — ветвимость дерева Кейли, сопоставить размер кластера L/ , отнесенный к длине когерентности то для его образования характерный радиус вза- [c.148]

Такое поведение представляется движением по иерархическому дереву Кейли, показанному на рис. 385. С физической точки зрения это означает, что перераспределение нестехиометрических вакансий сводится к эволюции иерархически соподчиненного ансамбля концентрационных волн, описание которого требует использования обратного и ультраметрического пространств (см. 3, 4). [c.151]

Поскольку в ходе монотонного понижения температуры исходный монокристалл аустенита сначала приобретает сложную мартенситную макроструктуру, а при наложении внешних напряжений про- а) исходит ее огрубление, то ясно, что полный цикл мартенситного превращения не может быть представлен одномерным деревом Кейли. Его размерность должна быть не менее двух образование сложной макроструктуры мартенсита из монокристалла аустенита отвечает движению от ствола дерева к его ветвям, а огрубление этой структуры до монокристалла мартенсита связано с обратным движением, отвечающим огрублению макроструктуры. Однако обратное движение не должно совершаться по тому же дереву, что и прямое, поскольку указанные процессы развития макроструктуры и ее огрубления необратимы. Поэтому полный цикл мартенситного превращения представляется набором горизонтального и вертикального деревьев Кейли, сопряженных согласно рис. 54. Такое сопряжение, дающее геометрический образ двумерного ультраметрического пространства, возможно как для деревьев с одинаковой ветвимостью (рис. 54а), так и с разной (рис. 545). В принципе представляется возможной и более сложная ситуация, когда деревья, отвечающие разным осям ультраметрического пространства, имеют нерегулярное ветвление. [c.191]

Рис. 54. Сопряжение ортогональных деревьев Кейли с одинаковой (о) и различной (б) ветви-мостями

Стохастизация перестройки мартенситной макроструктуры связана со случайным распределением по пучку возможных траекторий в ультраметрическом пространстве (явления типа фазового наклепа приводят к изменениям функции распределения по этим траекториям). При этом следует иметь в виду, что в процессе мартенситного превращения дерево Кейли не сохраняет жесткий каркас — при циклировании макроструктуры оно может изменять свою структуру. Это изменение связано прежде всего с образованием дефектов в ходе фазового наклепа. Поскольку они препятствуют течению мартенситного превращения, то это означает локальное удлинение горизонтального дерева — в отдельных областях ультраметрического пространства происходит изменение метрики, отвечающее уменьшению ветвимости горизонтального дерева [c.193]

В рамках представлений, развитых в п. 7.3, это означает, что в случае небольших напряжений при прямом мартенситном превращении система сначала разветвляется по горизонтальному дереву Кейли (см. рис. 54), узлы которого отвечают неориентированным мартенситным кристаллам. Их последующая ориентация отражается сужением пучка траекторий за счет срастания ветвей вертикального дерева. Характер зависимостей е(р), приведенных на рис. 58, воспроизводится, если при прямом (обратном) мартенситном превращении разветвление (срастание) ветвей пучка происходит в начале процесса (для малых р — при прямом и больших р — при обратном мартенситном превращении). Рост внешнего напряжения, ориентирующего кристаллы, сужает ширину пучка в обоих направлениях. Наличие эффекта памяти формы означает, что при любых изменениях внешних условий система эволюционирует по пучкам траекторий, стягивающимся к начальной точке двумерного дерева Кейли, отвечающей исходной форме образца (очевидно, такая точка должна лежать вблизи одной из вершин дерева). Обратимость в движении атомов отвечает совпадению пучков траекторий прямого и обратного мартенситного превращения в наиболее широкой области в правом нижнем углу дерева на рис. 54. [c.201]

Постепенное включение деталей макроструктуры проявляется на зависимости в согласии с рис. 60 [179]. Для температур, лежащих в интервале от до на участке АВ, в исходном аустенитном состоянии образуются единичные кристаллы мартенсита, отвечающие начальному ветвлению горизонтального дерева Кейли. Дальнейшее ветвление на отрезке ВС приводит к заполнению всего объема этими кристаллами. Реализуемое в результате мартенситное превращение является обратимым, поскольку деформация полностью пропадает после разгрузки и нагрева (явление псевдоупругости). На участке СВЕ (иногда границы линейного отрезка ВЕ стягиваются) осуществляется монодоменизация, соответствующая движению по вертикальному дереву Кейли (рис. 54) после точки Е начинается пластическое течение, отвечающее ветвлению [c.203]

В рамках принятой картины эволюция дефектов, определяющая процесс ползучести, представляется следующим образом. При нагрузке в области неэргодичности Т < Т сг) за микроскопическое время Tq устанавливается термодинамическое равновесие в каждой из подсистем дефектов, отвечающих областям Г . Затем происходит перекрытие этих областей, отвечающее движению в ультраметрическом пространстве структурных уровней. Геометрическим образом такого пространства является дерево Кейли, приведенное на рис. 38 б. Здесь структурные уровни изображаются горизонтальными линиями, узлы дерева отвечают дефектам данного типа, связь между ними указывают ветви дерева. Рис. 38 показывает соответствие между иерархическим деревом и фрактальной зависимостью термодинамического потенциала в конфигурационном пространстве состояний. Впервые концепция ультраметрического пространства и соответствующая ей фрактальная термодинамика использовались для описания критически замедленной эволюции спиновых стекол, обладающих однородным ультраметрическим пространством [85]. В отличие от них дефекты кристаллического строения представляют, как будет видно далее, сильно неоднородную иерархическую систему. [c.283]

Здесь мы отвлекаемся от пространственной неоднородности в распределении дефектов, р и) — плотность вероятности находиться точке а на расстоянии и огт Согласно определению [87], расстояние и между двумя точками ультраметрического пространства, отвечающими заданным комплексам дефектов, определяется числом шагов к вершине дерева Кейли до тех пор, пока не сойдутся ветви, ведущие от этих точек (рис. 385). Физически это означает иерархическое объединение системы дефектов. [c.284]

Ранее мы видели, что в рассматриваемом случае некоторые дефекты (дислокации, вакансии и др.) могут давать независимый вклад в ползучесть. На зависимости термодинамического потенциала от конфигурационной координаты (рис. 80) это выражается в наличии минимумов, отделенных от исходного состояния г барьерами большой высоты Д , тп = 1,2.....Соответственно, ультраметрическое пространство изображается неоднородным деревом Кейли, имеющим нулевую ветвимость на расстояниях и <и , задаваемых условием Ф(и) = Д , Это означает, что в распределение р и) системы по ультраметрическому пространству следует ввести набор 5-образных особенностей [c.285]

Представленная картина отвечает реализации одной иерархической ветви, для которой задействованы состояния исходного минимума термодинамического потенциала (см. рис. 80). При температурах Г > Д,, кроме атермических процессов установившейся ползучести, становятся существенными термофлуктуационные процессы, связанные с возбувде-нием состояний дислокационных, вакансионных и других комплексов. Поскольку каждому из них отвечает своя иерархическая ветвь на дереве Кейли (см. рис, 385), а следовательно и свой закон спадания коррелятора 5 Ь), то с появлением установившейся ползучести изменяется также и характер неустановившейся — вместо одной зависимости S t) получаем суперпозицию слагаемых, отвечаюцщх различным параметрам а. Именно такая ситуация наблюдается в эксперименте [197]. [c.291]

Как показывают примеры спиновых стекол [85], мартенситных превращений [143], политипных структур [109] и ползучести кристаллов [140], фрактальный характер системы коренным образом изменяет ее термодинамические и кинетические свойства. Это обусловлено разбиением конфигурационного пространства на множество областей (долин или компонент [86]), каждой из которых отвечает свой статистический ансамбль. В результате определение средних производится в два этапа сначала усреднением по чистому ансамблю данной долины, а затем — по ансамблю долин. Кинетическое поведение такой системы обусловлено слабым восстановлением эргодичности в процессе объединения долин в кластеры более крупных компонент. Этот процесс представляется движением по узлам иерархического дерева Кейли, которые отвечают долинам, к его стволу, причем роль времени ифает величина пластической деформации е (рис. ЗВб). [c.293]

Несмотря на достигнутое понимание экспериментальной ситуации [205, 206, 223], построение полной картины пластической деформации сдерживалось тем, что до последнего времени не в полной мере осознавалась иерархическая природа дефектной структуры. Если положить, что кавдому структурному уровню отвечает горизонтальная линия дерева Кейли (или соответствующий уровень разрешения минимумов тер- [c.294]

Простота и универсальность полученных решений (4.25), (4.27) является отражением автомодельности поведения системы кластеров, показанной на рис. 84 иерархическим деревом Кейли, которое представляет геометрический образ пространства с ультраметрической топологией (см. 3) главы 2. Приведенное рассмотрение простейшего сценария попарного объединения кластеров показывает, что их эволюция представляется не в реальном физическом пространстве, а в ультраметрическом. Разумеется, реапьный процесс цепочечной кластеризации может протекать [c.314]

Согласно определению, расстояние ti в ультраметрическом простран-f стве задается наименьшим числом бифуркаций на дереве Кейли, приво- [c.315]

Такой граф не содержит замкнутых путей и известен под названием дерево Кейли . Для наших целей его можно рассматривать как регулярную решетку с координационным числом q (т.е. каждый узел имеет q с.осе-дей) при условии, что можно не учитывать граничных узлов. [c.56]

Здесь возникает проблема, поскольку обычно отношение числа граничных узлов к числу внутренних узлов решетки становится малым в термодинамическом пределе большой системы. В данном случае это не так, поскольку оба числа растут экспоненциально как q — 1) . Чтобы преодолеть эту трудность, мы рассмотрим только локальные свойства узлов, расположенных глубоко внутри графа (т. е. бесконечно далеко от границы в пределе п оо). Такие узлы должны быть эквивалентны друг другу. Каждый из них характеризуется координационным числом q, и все они в совокупности образуют решетку Бете. (Это различие между деревом Кейли и решеткой Бете терминологически полезно, хотя и не всегда подчеркивается. Я благодарен профессору Нейглу за то, что он обратил мое вниман ие на это обстоятельство и указал на соответствующую работу [67].) [c.56]

Иначе говоря, если мы построим модель Изинга на полном дереве Кейли, то статистическая сумма Z будет включать вклады как от внутренних узлов, так и от узлов, расположенных на границе. Этот последний вклад не является пренебрежимо малым даже в термодинамическом пределе. [c.56]

Если рассматривать полную статистическую сумму, то мы приходим к модели Изинга на дереве Кейли . Эта задача была решена [77, 172, 203], и оказалось, что она имеет весьма необычные свойства. Тем не менее мы не будем рассматривать эту задачу. Вместо этого мы рассмотрим только вклад в Z, происходящий от узлов, лежащих глубоко внутри графа, т. е. от решетки Бете. [c.56]

Рассмотрим модель Изинга на полном дереве Кейли (ниже мы отбросим члены, связанные с граничными узлами, и возвратимся к решетке Бете). Статистическая сумма дается выражением (1.8.2), т. е. [c.57]

Возможны две ситуации либо кривая у = у(х) пересекает линию у = х один раз, либо имеется три пересечения (рис. 4.2). В первом случае точка Р всегда будет монотонно приближаться к точке пересечения А при л — 00, как показано на рис. 4.2,а. Таким образом, как и следовало ожидать, х и М стремятся к некоторому пределу, когда число п становится большим. Это значение представляет собой локальную намагниченность узла, расположенного глубоко внутри дерева Кейли, т.е. намагниченность на узел в решетке Бете. [c.59]

СВОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ Полная свободная энергия дерева Кейли равна [c.62]

Как уже отмечалось выше, трудность, связанная с деревом Кейли, состоит в том, что оно неоднородно, т. е. имеет значительное число граничных или соседних с границей узлов, свойства которых отличаются от свойств внутренних узлов. Но все узлы, расположенные глубоко внутри графа, имеют одинаковую локальную намагниченность М и потому одну и ту же локальную свободную энергию /, определяемую выражением (4.6.5). Таким образом, эта свободная энергия является свободной энергией модели Изинга на решетке Бете. Она вычисляется путем приравнивания д. = д, [c.63]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...