Морсовская критическая точка

Определение. Критическая точка называется невырожденной морсовской) критической точкой, если второй дифференциал функции в этой точке — невырожденная квадратична форма. [c.12]

Пример. Коранг морсовской критической точки равен нулю коранг критической точки функции f=xl +x +... равен единице. [c.12]

Пример. Рассмотрим функцию f С ->-С, f z, w)=z +w . Она имеет морсовскую критическую точку в начале координат. Критическому значению О соответствует особое множество уровня Vo= (z, w) z + w = 0 —пара комплексных прямых, пересекающихся в начале координат. Все остальные множества уровня Vt, t=T O, топологически одинаковы и гомеоморфны цилиндру S XR, т. к. риманова поверхность функции w=yt—z склеивается из двух экземпляров плоскости комплексной переменной Z по разрезу от —у/ до -hlft (рис. 13). [c.54]

Неособое множество уровня V. в случае морсовской критической точки диффеоморфно касательному расслоению (точнее, множеству всех касательных векторов по модулю меньших единицы). Исчезающий цикл задается нулевым сечением [c.57]

Пример. Рассмотрим функцию ш = 2Г, с особенностью типа Аъ в нуле. Ее морсификация ш=2 —142 +242 имеет три морсовские критические точки Oi = 2, 02 = 1, 03=—3 с критическими значениями ti=8, а2=И, аз=—135 (рис. 22). [c.63]

Билинейная форма (матрица) пересечений, ассоциированная с особенностью, симметрична при нечетном п н кососимметрична при четном. Индекс самопересечения исчезающего цикла описывается замечанием п. 1.З., так как исчезающий дикл также < локалйзуется в окрестности соответствующей морсовской критической точки [c.64]

Пример. Страт Зо,[(ЛьЛО (ЛьЛ1)]=0, так как для него не выполняется условие (3) теоремы. Следовательно, не существует деформации критической точки >4, при которой она распадается на две пары морсовских критических точек с оди- наковыми критическими значениями. [c.141]

Нетрудно видеть, что число Милнора проектирования /, как число слившихся в нуле морсовских критических точек функции и иа проектируемом многообразии, может быть подсчитано по формуле [c.57]

Теорема ([198]). При почти любом выборе деформации / 1) она имеет лишь морсовские критические точки вне U) кривая Y неособа и / имеет на ней лишь особенностн Аоо и D [c.76]

Множества Максвелла. Рассмотрим семейство гладких ункций, зависящих от (/-мерного) параметра. Минимум функ-,ии типичного семейства гладко зависит от параметров, лишь ели этот минимум достигается в единственной и притом не-ырожденной (морсовской) критической точке. [c.107]

Да, П> +2(—1) 2 nd(a), где в каждую из формул можно одновременно под всеми П поставить ev или odd ind (а)—это положительный индекс инерции морсовской критической точки исходной функции / с критическим значением а. [c.224]

Для всех особенностей коранга. 2, упоминаемых в таблиг цах п. 2.2, локальные лакуны либо описаны в п. 2.1, либо конструируются следующим образом. Вначале строится подходящее шевеление ф( функции q>(Xl,X2), которое имеет ровно х(/) вещественных морсовских критических точек (где (X (/) = (X (ф) — число Милнора функций ф), причем все седла имеют критическое значение О (то есть соответствуют трансверсальным самопересечениям кривой Ф=0), минимумы имеют отрицательные критические значения, максимумы — положительные. (Такие шевеления играют ключевую роль в вычислении диаграммы Дынкина особенностей коранга 2, см. 56], [103].) Эти шевеления изображены на рисунках 126—134, при этом отмечены знаки функции ф в различных компонентах дополнения к множеству нулёвого уровня. Конечно, такое шевеление лежит на дискриминанте, однако его можно дополнительно сколь угодно мало пошевелить так, чтобы критические значения в минимумах и максимумах сохранили свой знак, а значения в седлах сдвинулись с нуля в сторону, предписанную заранее для каждого седла. На рисунках 12 —134 те седла, критические значения в которых надо сдвинуть вверх (вниз), изображены белым (соответственно, черным) кружком. [c.229]

Для п независимых переменных ж,- и для невырожденных морсовских критических точек фазовой функции (т. е. когда дх дх ф О [c.32]

А Х Р дх дх ) 1 (этот множитель получается из якобиана замены переменных, приводящей фазу к сумме квадратов). Колен де Вердье в [32] доказал следующую верхнюю оценку для интегралов в терминах суммы асимптотик в комплексных морсовских критических точках голоморфной фазы [c.32]

Одной из классических проблем этого типа (связанной с комплексными особенностями) является задача определения максимального числа и морсовских критических точек гиперповерхности степени й от п переменных. Для п — 2,и = ( -1)/2 (это число достигается для в, прямых). Для п = 3 максимальное число конических морсовских особых точек известно только для < < 7 [c.38]

Идея доказательства похожа на идею доказательства унитарности канонического оператора Маслова фазовая функция /(ж) — (д,х), рассматриваемая как функция двух аргументов жид, имеет только морсовские критические точки. [c.40]

Ограничение на ребро многообразия типичной функции на пространстве-времени имеет только изолированные невырожденные (морсовские) критические точки (рис. 46). Рассмотрим одну из таких точек. Выберем координаты (тх,..., Тк , Л ) на пространстве-времени так, что ребро задаётся уравнением Л = О и большой фронт имеет вид А принадлежит дискриминанту [c.78]

Функция h x) называется морсовской на множестве U, если она имеет только невырожденные критические точки на множестве U, причем все ее критические значения в этих критических точках различны. [c.22]

Монодромия морсовской особенности. Аналогично рас смотренному примеру, описывается монодромия и оператор вариации в общем случае критической точки кратности ц=1. [c.56]

Определение. Функция / С"- С называется морсовской в некоторой области и, если в этой области она имеет только невырожденные критические точки с различными критическими значениями. [c.58]

Пусть f С"—v имеет вырожденную критическую точку а кратности (х. Рассмотрим малое шевеление исходной функции f,=f+гg При подходяще выбранной функции д (можно, например, использовать линейную функцию общего положения), функция fг переменной г будет морсовской при всех достаточно малых значениях параметра е в малом шаре II с центром в а. [c.59]

Естественная коориентация страта Максвелла определяется так. Если х<.у—две морсовские крит ичесние точки f с 0 бщим критическим значением, то по одну сторону страта в близкой к X критической точке / больше, чем в близкой к у. Эта сторона считается положительной, если точки х и у одного типа (обе максимумы или обе минимумы), отрицательной — если разного. [c.223]

Образующие группы Нп-р Х 2) могут быть получены следующим образом. Сделав подходящз линейную замену в С , мы можем считать, что первые р—1 компонент отображения =(fu.....fp), как и само /, задают полное пересечение с изолированной особенностью в ОбС . Пусть X — фиксированный неособый слой отображения Г= (А, ,/р-О. Рассмотрим ограничение функции /р на этот слой. Заменив р на ее малое шевеление (если это потребуется), мы можем считать, что все критические точки /р на X морсовские, а критические значения, Г различны. Неособый слой р=ИП диффеоморфен неособому слою Хс С отображения Именно такую реализацию X мы и рассматриваем ниже. [c.31]

В глобальной ситуации, мы можем рассмотреть пространства (вещественных) гладких функций на данном дифференцируемом многообразии, с некоторыми ограничениями на критические точки этих функций (например, пространства морсовских функций, пространства функций с особенностями кратности меньшей чем f и т. д.). Топологические и гомотопические инварианты таких пространств доставляют, в принципе, инварианты дифференцируемой структуры исходного многообразия. [c.141]

Неизолированная критическая точка функции называется линейной, если множество критических точек образует гладкую кривую, и если особенность ограничения функции на типичную гиперплоскость, трансверсальную зтой кривой, не вырождена (морсовского типа). [c.193]

Замечание. В (177] указан гомотопический тип неособо--) слоя функции с гладким одномерным критическим множе-гвом, имеющей трансверсальный тип Лг, Лз, 04, Ев, ЕтИлиЕв. ак, в случае Лг ответ следующий. При общей деформации, ункции трансверсального типа Лг в классе таких же функ-ай возникают изолированные морсовские особенности, а так-е неизолированные особенности, стабильно право-эквивалент-ае росткам /о(- о,(в общей точке критической кри-)Й), /1(дсо, 0 и 2 хо,Хх,Х2)=Х1 +ХоХ2 (в отдельных [c.79]

В (46] приведено доказательство теоремы для гладкой критической кривой, но оно легко переносится и на общий случай. Отправным пунктом доказательства служит то, что, как следует из 2 и 4, для квазиоднородной особенности размерность 0 пространства -миниверсальной деформации совпадает с числом Л (Л1) морсовских точек, появляющихся при распадении особенности в классе функций с одномерным кри- [c.86]

Из любой точки I дополнения к дискриминанту, соответствующей морсовскому шевелению /<, можно пройти в любую другую по пути, вдоль которого функция ft и система ее критических значений претерпевает лишь следущие элементарные качественные перестройки [c.235]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...