Хаусдорфова размерность

АТТРАКТОР. Замкнутое притягивающее множество неустойчивых траекторий называют странным аттрактором. АТТРАКТОР имеет нулевой фазовый объем и может характеризоваться величиной - хаусдорфовой размерностью d, а также размерностью вложения, равной числу т независимых фазовых переменных, однозначно определяющих состояние системы. [c.6]

Непосредственный расчет хаусдорфовой размерности и даже емкости аттрактора по формуле (2.9) с ростом числа степеней свободы динамической системы сильно усложняется [480]. При этом значительно проще оказывается вычисление так называемой корреляционной размерности v [473, 474, 476, 477, 479, 502, 610] ). Величина v определяется через корреляционный интеграл [c.231]

Знание размерности аттрактора весьма существенно для многих физических задач. Прежде всего, размерность позволяет оценить минимальное число динамических переменных, которым в принципе может быть описано движение на аттракторе, что особенно важно для распределенных систем. Как правило, хаус-дорфова размерность аттрактора для распределенных систем конечна [51, 165, 489, 571]. Известно [571], что любое компактное множество, имеющее конечную хаусдорфову размерность н, может быть взаимно однозначно спроектировано на гиперплоскость [c.233]

Пусть Xi, Xi,. .Хп — последовательные значения одной из координат фазового пространства системы x[t) через промежутки времени т, т. е. xi==x i%). Из этих значений можно сконструировать новую динамическую систему размерности пъ, взяв в качестве г-го значения вектора у " , описывающего положение точки в новом фазовом пространстве, уXj+i,. .., Xj+m-i . Теорему Такенса можно сформулировать следующим образом. Ддя почти любых наблюдаемой реализации x(t) ж времени задержки т аттрактор сконструированной динамической системы размерности т будет иметь те же свойства (например, ту же размерность и тот же спектр ляпуновских показателей), что и исходный, если только тп > 2 н + 1, где dg — хаусдорфова размерность исходного аттрактора. Эта теорема является следствием теоремы Манье [571]. [c.235]

Канторово множество фрактально, т.е. его хаусдорфова размерность (11гпя/С превышает обычную топологическую размерность (у него равную нулю). При этом ЛтнА определяется через хаусдорфову а-меру множества [c.129]

Ли и Йорк (1975) высказали гипотезу, которая заключается в том, что эта величина совпадает с хаусдорфовой размерностью множества Л (определенной как нижняя грань хаусдорфовых размерностей множеств единичной инвариантной меры, предельной для меры Лебега в фазовом пространстве). Численные расчеты для нескольких двумерных отображений и одного трехмерного потока показали, что величины (2.89) и (2.87) практически совпадают. [c.130]

Топологическая энтропия непрерывного отображения компактного пространства была определена Адлером, Конхеймом и Мак-Эндрю [1]. В настоящей статье для подмножеств компактных пространств энтропия определяется с помощью процедуры, напоминающей конструкцию хаусдорфовой размерности. Это дает возможность обобщить известные результаты о хаусдорфовой размерности квазирегулярных то гек некоторых мер н дать определение нового типа сопряженности, промежуточного между топологической сопряжеииостью и сопряженностью в смысле теории меры. [c.181]

Пусть f Х Х—непрерывное отображение и У а X. Топологическая энтропия Л(/, У) будет определена во многом аналогично хаусдорфовой размерности с той разницей, что размер множества будет в этом случае в большей степени отражать поведение отображения f иа этом множестве, а не [c.181]

Рассмотрим пример, который стимулировал появление этой статьи. Определим отображение f 5 ->-5 формулой 1(г) = г . Если У — замкнутое подмножество окружности и /(У)сгУ, то хаусдорфова размерность множества У удов- [c.184]

Замечание. Еще одио определение топологической энтропии можно получить, еслн мы будем оценивать разнообразие траекторий рассматриваемой динамической системы при помощи понятия 8-энтропии (подробнее см. [6]). Известно также, что асимптотические свойства е-энтропии связаны с хаусдорфовой размерностью пространства. В этой связи представляет интерес следующее утверждение. Пусть X — замкнутое подмножество в пространстве 2 односторонних т-ичных последовательностей, инвариантное относительно гомеоморфизма сдвига о. Обозначим через М образ X прн обычном отображения ф 2т- [О, определяемом равенством [c.200]

Определение топологической энтропии через е-энтропию множества отрезков траекторий, а также конструкции, употребительные в теории хаусдорфовой размерности, следует иметь в виду в связи с последней статьей данного сборника, где Р. Боуэн распространяет понятие топологической энтропии на случай некомпактного фазового пространства. [c.200]

В диссипативных системах дело обстоит иначе. В фазовой пространстве имеется некоторое предельное и инвариантное множество состояний, к которым притягиваются все траектории фазовой капли. Поэтому асимптотически при (->-оо движение системы происходит на этой предельном множестве. Хаотическое движение в диссипативных системах также реализуется на этом множестве, которое имеет хаусдорфову размерность, меньшую чем размерность всего фазового пространства (подробнее об этом си. ниже). Это предельное притягивающее множество, возникающее при стохастическом движении диссипативных систем, было названо странный аттрактором [202]. В гамильтоновом случае имеет место некоторая предельная ситуация, в которой странным аттрактором является все фазовое пространство (это будет доказано позже). [c.251]

Определение. Хаусдорфова размерность компакта — это нижняя грань тех й, для которых компакт допускает конечные покрытия шарами, имеющие сколь угодно малый -мерный объем. [c.42]

Замечание, Хаусдорфова размерность декартова произ-дедения двух, компактов может быть больше суммы размерностей сомножителей ([31] В, И. Бахтин [1]). [c.43]

Теорема ([83], [31]). Хаусдорфова размерность компактного инвариантного множества -сжимающего диффеоморфизма области евклидова пространства в себя не превосходит к. [c.43]

Теорема Хаусдорфова размерность аттрактора -сжимающей системы не превосходит к. [c.43]

Приложения. Доказаны бесконечномерные аналоги теорем предыдущего пункта (см. [И]) и указанную там литературу) они позволяют доказать конечномерность аттракторов для ряда эволюционных уравнений математической физики. Например, хаусдорфова размерность аттрактора двумерного уравнения Навье—Стокса с двоякопериодическими граничными условиями не превышает СЭР1п31, где 31 —число Рейнольдса (величина, обратная обезразмеренной вязкости) [11], [31], (40]. Константа С зависит от решетки периодов. [c.43]

Хаусдорфова размерность. Пусть X — компактное метрическое пространство, Р — совокупность открытых шаров в X. [c.167]

Перечислим некоторые свойства хаусдорфовой размерности [c.168]

Мы приведем некоторые результаты по вычислению и оценке хаусдорфовой размерности инвариантных множеств динамических систем. [c.168]

Размерность относительно динамической системы. В многомерном случае ситуация оказывается более сложной. Поскольку хаусдорфова размерность не связана с динамикой системы, ее использование оказывается не вполне удобным. [c.170]

Песин Я- Б., Оценка хаусдорфовой размерности базисного множества в окрестности гомоклинической траектории. Успехи мат. наук, 1984, [c.228]

Больщинство множеств Жюлиа оказываются сложными фрактальными подмножествами в С. Однако, имеется три исключения. Согласно теореме Гамильтона (1995), каждое множество Жюлиа, являющееся одномерным топологическим многообразием, с точностью до преобразования Мёбиуса должно быть либо окружностью, либо замкнутым сегментом, в противном случае его хаусдорфова размерность строго больще единицы. Если рассматривать всю риманову сферу как третий гладкий пример, то здесь с точностью до автоморфизма имеются только три возможных типа гладких множеств Жюлиа рациональной функции степени 2. Однако, каждый из этих примеров может оказаться множеством Жюлиа для многих различных рациональных функций это свойство само по себе является исключительным. В этом параграфе мы рассмотрим эти примеры. [c.89]

Замечание. Недиофантовые иррациональные числа часто называются числами Лиувилля. В приложении С мы увидим, что хаусдорфова размерность множества лиувиллевых чисел равна нулю. [c.155]

Для самоподобных фигур можно также ввести понятие гомотетической размерности, исходя непосредственно из подобия [82]. Она, как было уже указано, может служить хорошей оценкой для хаусдорфовой размерности, а во многих случаях совпадает с ней. В том случае, если фигура может быть разбита без остатка на N одинаковых непересекающихся частей, и каждая часть может быть получена из целого с помощью преобразования подобия с коэффициентом г(М), то размерность подобия [c.131]

Осн, характеристикой Ф. служит хаусдорфова, или фрактальная, размерность (ФР), По одному из определений Ф, наз, множество, для к-рого ФР строго больше топологич. размерности (см, также Топология). ФР строится следующим образом. Рассматривается произвольное покрытие [c.371]

Римановой поверхностью 8 мы будем называть связное комплексное аналитическое многообразие комплексной размерности один. Таким образом, 8 является связным хаусдорфовым пространством. Более того, в некоторой окрестности II произвольной точки поверхности 5 можно выбрать локальный униформизирующий параметр (или координатную карту ), который гомеоморфно отображает и на некоторое открытое подмножество комплексной плоскости С, причем в пересечении и пи двух таких окрестностей каждый из соответствующих локальных униформизирующих параметров выражается через другой посредством голоморфной функции. [c.11]

Смотреть страницы где упоминается термин Хаусдорфова размерность : [c.191] [c.129] [c.161] [c.185] [c.200] [c.43] [c.43] [c.114] [c.121] [c.167] [c.168] [c.169] [c.169] [c.171] [c.223] [c.223] [c.226] [c.279] [c.279] [c.227] [c.234]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...