Коммутатор квантовых операторо

Коммутатор квантовых операторов 39 [c.153]

Так определенные величины, очевидно, не являются инвариантами преобразования Лоренца. Это создает принципиальную трудность в связи с переходом к квантовой теории. Как уже было указано в связи с механикой сплошных сред, правила квантования обычно вводятся определением значений коммутаторов для операторов, изображающих сопряженные переменные ). Если квантовое поведение нужно описать в релятивистских понятиях, то эти коммутаторы должны быть инвариантными в понятиях же, связанных с выбранным нами определением, они не будут таковыми. [c.167]

На этом этапе удобно выразить L через коммутатор с Я, а для квантового оператора эволюции использовать представление [c.141]

Подставим это выражение в (5.3.4) и перейдем к записи коммутаторов через квантовый оператор Лиувилля (1.2.69). В результате мы получим уравнение [c.374]

Поскольку уравнение (9.69) имеет явное сходство с соответствующим уравнением классической механики со скобками Пуассона, то коммутатор в правой части уравнений (9.68), (9.69) также называют квантовыми скобками Пуассона от Н и А. Напомним, что коммутатором двух операторов называется перестановочная форма вида [А, В] = АВ — В А. Отметим также, что из выражения (9.65) следует [c.293]

Интересно, что для коммутатора двух квантовых операторов и и Ш, определяемого равенством [c.39]

При переходе к квантовой механике переменные Р заменяются операторами г , р , причём г = Гд, Р = — /де V, (3/5хд, а/ауд, а/аг,), а о. м,— оператором L = [ р]. Соотношение (3) заменяется коммутатором [c.464]

Перейдем теперь к вычислению квантово-статистического среднего от произведения 2N бозевских операторов. Сначала рассмотрим коммутатор [c.305]

Как известно, динамическая проблема в квантовой механике не может быть сформулирована без некоторого произвольного выбора той части системы, которая подлежит рассмотрению. Полный гамильтониан системы должен быть разбит на две составляющие одна из них описывает те части физической системы, переходы в которых являются предметом рассмотрения, тогда как другая описывает их взаимодействие. Часто используемое так называемое приближение заданных внешних сил [111], когда электромагнитное поле можно считать заданной функцией и вместо совокупности описывающих его величин подставлять их средние значения, обретает в методе исключения бозонных операторов точный характер и позволяет самосогласованным образом учесть влияние поля, явно исключив полевые операторы из уравнений для величин атомной подсистемы. Таким образом, в данном подходе вывод уравнений необходимо делать для меньшего числа динамических переменных и вся процедура сводится, главным образом, к вычислению коммутаторов. [c.69]

Обычно квантовомеханический гамильтониан идентифицируется с радиальной частью квадратичного оператора Казимира полупростой группы Ли С в подходящей параметризации. При этом выбор базисных функций в пространстве представления О играет ту же роль, что и выбор начальных условий в фазовом пространстве функциональной группы для классической задачи (см. IV. 6). Скобки Пуассона, определяющие классическую систему, заменяются на коммутаторы динамических переменных соответствующей квантовой системы. Существует глубокая взаимосвязь между решением задачи квантования и теорией представлений групп, впервые установленная Костан-том для систем типа цепочки Тода, для которых получено интегральное представление однокомпонентных волновых функций [c.230]

Выведенные в этом разделе соотношения, в которых фигурируют скобки Пуассона, имеют принципиальное значение при формальном переходе к квантовой теории поля, поскольку там скобки Пуассона становятся коммутаторами от соответствующих полевых операторов, подобно тому, как это устанавливается для механики соответствием (7.4). [c.105]

МИКРОПРИЧЙННОСТЬ (локальность) — фундаи. свойство взаимодействующих полей в локальной квантовой теории поля, состоящее в исчезновении коммутатора (антикоммутатора) операторов бозе-(ферми-) поля ф(д ) в Гейзенберга представлении [c.138]

Операторы A представляют собой я-кратные интегралы от (я — 1)-кратных коммутаторов операторов W t), взятых в разные моменты времени. В нек-рых случаях ряд в экспоненте (2) обрывается и оператор временной эволюции записывается в конечном виде. Так происходит, наир., в задаче об эволюции гармония. осциллятора, на к-рый действует произвольная ввеш. сила 14], ив задаче об эволюции в поле, линейном по координатам г и импульсам р произвольной квантовой системы с гамильтонианом, квадратичным по г и р [5]. М. р, используется при построении теории внезапных возмущений в процессах встряски типа рассеяния (см. Внезапных возмущений метод). В нулевом порядке по параметру мгновенности сот < 1 (т — х актерное время взаимодействия, йсо — типичные собств. значения невозмущёвного гамильтониана) оператор временной эволюции отличается от (2) заменой в Ап (ф-лы (3)) W t) на [c.24]

ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ — алгебраич. равенства, к-рым подчинены коммутаторы или антикоммутаторы век-рых матем. величии, в частности величин, встречающихся при формулировке квантовой теории, напр, операторов квантовой механики. Если и Л, — две такие величины, то коммутатором [А , наз. разность между произведениями А А и А А , т. е. (А ,А2] = А1А2 — AзAJ. Антикоммутатором (А1,А2) наз. сумма этих произведений, т. е. )А1,А2) = = А Аз - - А А . Обычно коммутаторы или антикоммутаторы нек-рои совокупности величии А А2,..., А выражаются посредством П, с. через линейные комбинации тех же величин. Важнейшие свойства (напр., допустимые значения) физ. величин определя- [c.575]

Если все tjiц О, т. е. если все попарные коммутаторы равны нулю, то соответствующая группа наз. абелевой или коммутативной. Тогда в каждом представлении можно одновременно привести генераторы А , А к диагональному виду. Физически это означает, что величины А ,. .., А могут иметь одновременно точные значения. Если в числе генераторов есть гамильтониан П квантовой системы, то в состояниях с фиксиров. энергией / все др. физ. величины из числа генераторов А ,. .., А также могут принимать вполне опре-дел. значения. Поскольку гамильтониан уиравляет временной эволюцией системы, все величины А ,. .., А оказываются интегралами движения, т. е. сохраняются с течением времени. Так, в задаче о движении частицы в центр, поле попарно перестановочными являются гамильтониан Й, оиератор квадрата момента импульса и оператор а проекции момента импульса на к.-л. ось. Поэтому в пространстве состояний существует базис, составленный из собств. векторов сразу трёх операторов Й, и 3. Это позволяет использовать стандартную классификацию состояний частицы с помощью трёх квантовых чисел — главного п, орбитального (азимутального) I и магнитного т. [c.575]

Пусть п=3, а Al — q, А р, А = I, где I — единичный оператор, а и р — операторы координаты и импульса частицы. Равенство [qp = ihi задаёт т. н. канонические П. с. для системы с одной степенью свободы. Они определяют алгебру Ли группы Гейзенберга. Из них видно, что координата и импульс не могут принимать одновременно определ. значения. Если Дд и Др — неопределенности в значениях координаты и импульса, то ДдДр А. Это — частный случай неопределенностей соотношения. Для системы с т степенями свободы, т. е. для системы, гамильтониан к-рой зависит от т операторов обобщённых координат ог т сопряжённых этим координатам импульсов pi,.,.,p i, канонич. П. с. имеют вид [д ,Р(] = ihi здесь выписаны только ненулевые коммутаторы). Вообще, переход от классического к квантовому описанию физ. системы можно трактовать как замену классических Пуассона скобок коммутаторами операторов соответствующих величин. Из канонич. П. с. следует, гго каждая пара канонич. переменных д/,р удовлетворяет соотношению неопределенностей. В представлении, в к-ром все операторы координат диагональны (т. е. в представлении, где состояние задается волновой ф-цией причём = дД ], операторы [c.576]

Из квантовой механики известно, что квантование классического гамильтониана осуществляется заменой классических обобщенного импульса и координаты такими операторами соответствующих величин, чтобы их коммутатор равнялся ih. Только после такого квантования импульс и координата частицы становятся ненаблюдаемыми одновременно в соответствие с принципом неопределенности Гайзенберга. Коммутатор безразмерных координаты и импульса должен тогда вьп-лядеть так [c.14]

Это уравнение заменяет известное уравнение Лиувилля, справедливое в классической механике, В правой части ур-1ния (1П.2Л6) содержится коммутатор оператора р и [гамильтониана Н. Оператор L(t) представляет собой квантовые скобки hya oiHa, рассматриваемые как оператор, действующий на статистический оператор р. Формальное решение ур- ия (П.2. 15) имеет вид (если Н и, следовательно, L е зависят от времени) [c.203]

В квантовом случае действие оператора Лиувилля выражается через коммутатор, поэтому тождество пепосредствеппо следует из ипвариаптпости следа относительно перестановки операторов. В классическом случае это тождество легко проверить, интегрируя по частям скобку Нуассона. [c.109]

То, что это условие достаточно, ясно из инвариантности R относительно умножения как а, так и на фазовый множитель Необходимость же его непосредственно следует из обращения в нуль коммутатора операторов q и а а. Другой и, возможно, более простой путь доказательства соотношения (6.10) основан на том, что стационарный оператор q является функцией гамильтониана только для одной моды, или аУа. Поэтому он диагонален в представлении п-квантовых состояний, т. е. п q т) = bnmi I Q I ) Исследование ряда (6.2) для R показывает, что он сводится в этом случае к выражению (6.10). [c.87]

Оператор Лпувплля L является линейным п эрмитовым п легко обобщается на квантовый случай заменой скобок Пуассона на коммутатор [c.104]

С этой целью рассмотрим квантовую систему, динамические величины которой удов.тетворяют коммутационным соотношениям некой полупростой алгебры Ли а интегралами движения являются инвариантные относительно операторы (Казимира), построенные из ее элементов (см. п. 3, 1.5). Переходу к классической системе отвечает замена коммутаторов [fa, Рь] в на соответствующие скобки Пуассона Fa, Рь , а самой алгебры О — на функциональную группу G , элементами Ра которой являются функции Ра х р), задэнные на фазовом пространстве 2N переменных х и рр, 1 а, N (обобщенные координаты и импульсы Ха, хр = ря, Рэ =0, ра, хр =0а з). При этом скобка Пуассона определяется формулой [c.16]

Как быть с СП других динамических переменных, не являющихся координатами и импульсами В классической теории принимается, что всякая динамическая переменная какой-либо системы есть функция ее обобщенных координат и импульсов. На пути переноса этого допущения в квантовую теорию лежит та трудность, что в ней приходится вводить в рассмотрение функции от некоммутирующих наблюдаемых. Особых вопросов не возникает, пока эти функции являются полиномами — имеющаяся алгебра операторов позволит нам выразить коммутаторы этих функций и, о,. .. через канонические коммутаторы (51), после чего мы найдем СП функций ы, о,. .. из (50), считая теперь, что СП любых динамических переменных определяются этим равенством через их коммутатор. [c.378]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...