Переменные Делоне

Отметим, что специальные канонические переменные в динамике твердого тела аналогичны каноническим переменным Делоне в интегрируемой задаче двух тел [17]. [c.39]

Уравнения движения запишем в форме уравнений Рауса для канонических неременных, онределяюш,их движение центра масс шара и его враш,ение вокруг оси Oxs, и уравнений Лагранжа в частных производных для перемеш,ений u(r,t), которые после затухания собственных колебаний из-за наличия диссипативных сил будут пропорциональны малому параметру . С этой целью используем канонические переменные Делоне L,G,l,g) и Андуайе Имеем [c.387]

Эволюция движения вязкоупругого шара в центральном поле сил. В работе [2] получены векторные уравнения онисы-ваюш,ие эволюцию движения центра масс и враш,ения вокруг центра масс вязкоупругого шара в случае пространственной задачи, когда в процессе движения эволюционирует орбита (ее форма и положение в пространстве и момент количеств движения). Ниже исследуются уравнения, описываюш,ие эволюцию в канонических переменных Делоне-Андуайе в плоском случае, когда плоскость орбиты центра [c.389]

В дальнейшем будем предполагать, что в начальный момент С(0) = Ь(0), и возмуш,енное движение, описываемое уравнениями (7,9), принадлежит классу круговых орбит центра масс деформированного шара. Поскольку переменные Делоне вырождаются в случае нулевого эксцентриситета, то удобно в этой ситуации использовать канонические переменные Пуанкаре Л, Г, Л, 7 определяемые соотношениями [c.393]

Пусть уравнения движения небесного тела записаны с помощью канонических переменных Делоне (4.3.21) и имеют вид [c.426]

Эта общая теорема позволяет доказать, что в задаче о движении N планет существуют условно-периодические решения, если массы планет достаточно малы и их невозмущенные эллиптические движения происходят в кольцеобразных областях трехмерного пространства, не пересекающихся друг с другом. Последнее условие для всех больших планет (исключая Плутон) выполняется. Применение теоремы Арнольда в небесной механике возможно, если написать уравнения движения в канонических переменных Делоне (см. ч. IV, гл. 1) и воспользоваться теоремой Биркгофа [41] о приведении гамильтоновой системы к нормальной форме. Роль частот соо играют средние движения планет. [c.803]

Дифференциальные уравнения в переменных Делоне принимают форму (32) и (32 ) 5, а средние движения будут выражаться следующим образом [c.210]

Рассматривая задачу трех тел (Земля, Луна, Солнце), Делоне ввел замечательные по своим свойствам канонические переменные —Делоне, или, как их стали называть позже, переменные действие — угол. Эти переменные весьма удобны для исследования малых возмущений в движениях небесных тел. [c.348]

Метод Делоне для разделения переменных в периодических системах. Метод разделения переменных, если он применим, приводит к получению полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби, необходимого в теории интегрирования Якоби. Полный интеграл уравнения в частных производных первого порядка может принимать множество различных форм. Предположим, что мы имеем какой-то полный интеграл [c.279]

Такова основная идея замечательного метода, предложенного французским астрономом Делоне (1816—1872) для решения определенного класса задач с разделяющимися переменными. На первый взгляд теория Делоне кажется весьма специальной и чисто методической. Однако именно этот метод, первоначально разработанный для чисто астрономических целей, раскрыл глаза физикам на силу идей Гамильтона. [c.281]

Предположим, что по первой пли по второй причине линии тока во всех плоскостях ри—замкнутые. Тогда движущаяся частица жидкости возвращается в ту же самую точку, а затем движение повторяется. Мы имеем тогда периодическое движение. Это касается, однако, только траектории движущейся точки, спроектированной на плоскости qit, Pk в отношении же движения во времени периодичность не имеет места. Скорость, с которой точка начинает свой второй виток, не совпадает с первоначальной скоростью, потому что qk и ри в общем случае зависят от всех qi, pi и поэтому возвращения одной пары переменных к начальным значениям недостаточно для того, чтобы движение было периодическим. Однако движение содержит в себе п независимых периодов, и они охватывают неразделяющимся образом все переменные. Метод Делоне показывает, как путем изучения свойств двух основных функций — функции Гамильтона Н и производящей функции S—можно получить все частоты движения. В этом заключается суть метода. Соответствующее преобразование обнаруживает многопериодическую структуру данной системы с разделяющимися переменными и определяет частоты системы в явном виде. Этот процесс не требует ничего, кроме квадратур и разрешения уравнений относительно определенных переменных. [c.283]

Метод Делоне проливает новый свет на понятие вырожденные системы старой квантовой теории. Если траектории полностью заполняют разрешенную область пространства конфигураций, то система не вырождена и разделение переменных возможно только в координатах одного вида. [c.288]

Резюме. Делоне предложил замечательный метод изучения систем с разделяющимися переменными, удовлетворяющих дополнительному условию, согласно которому линии тока на разделившихся фазовых плоскостях (7, pii) — замкнутые кривые. Он ввел каноническое преобразование, позиционными координатами которого являются переменные действия Jk, определенные как площади, ограниченные линиями тока. Для движения, осуществляющегося в действительности, Jk являются константами, а сопряженные импульсы, взятые с обратным знаком,— угловые переменные со — линейно меняются со временем /. Частные производные Е по У,- дают п новых констант, являющихся частотами движения v,-. Каждое qk может быть записано в виде кратного ряда Фурье, содержащего все частоты V,- и все их гармоники. Поэтому такие системы называются многопериодными. [c.291]

Делоне разработал аналитическую теорию многопериодических систем с разделяющимися переменными — метод, который приобрел необычайную важность в теории атома Бора. [c.393]

Переменные действие —угол ). Переменные действие — угол были введены Делоне для исследования проблем астрономических возмущений в небесной механике. Позже они оказались чрезвычайно удобньиси для старой формы квантовой механики, так как квантование Бора — Зоммерфельда состояло в том, что каждая переменная — действие полагалась равной целому кратному постоянной Планка h. [c.347]

Многопериодичные движения, переменные действие — угол, вырождение, адиабатические инварианты, разложение в степенной ряд по параметру, вековые возмущения, метод Делоне, возмущения, зависящие от времени. [c.440]

Соотношения (71) — (74) дают нам обш,ее решение уравнений (70) для плоского случая. Но чтобы получить в явном виде основные выражения для теории возмущений по Крылову — Боголюбову, т. е. зависимость функций it,, у,, Ua, 2, . от времени t, необходимо выполнить операцию обращения этих интегралов, в результате которой должны получить явную зависимость искомых функций а, е (или р), и, D от времени. Под операцией обращения первых интегралов подразумевается операция получения явной зависимости искомых функций (в данном случае переменных а, е, и, р) от времени или от какой-либо вспомогательной промежуточной переменной (например, аномалии Делоне D). В астрономической практике находят явные за- [c.148]

Усредненное значение по Делоне — Хиллу (67) возмущающей функции R для каждого типа соизмеримости средних движений ( к к = п щ) имеет свой аналитический вид, поэтому получение явной зависимости оскулирующих ) элементов (фазовых переменных а, е, о) от аномалии Делоне D строится с учетом этого фактора. [c.150]

Большая статья Кёттера заключает в себе переработку и пополнение анализа С. В. Ковалевской. Статьи Г. Г. Аппельрота", П. А. Некрасова и А. М. Ляпунова посвящены исследованию (по отношению к полюсам) функций времени, определяющих движение тела, когда время рассматривается за комплексное переменное. Что касается геометрической интерпретации рассматриваемого движения, то она была дана в сочинении Н. Б. Делоне для частного случая, при котором постоянное к в интеграле С. В. Ковалевской есть пуль. Этот случай подвергся более [c.69]

В более поздних работах внимание сосредоточилось на качественном исследовании движения гамильтоновых систем, решаемых методом Гамильтона — Якоби, в первую очередь — методом разделения переменных. В научном обиходе появляются специфические для интегрируемых систем переменные действие — угол. Они были введены Делоне для исследования проблем астрономических возмущений в небесной механике. Позднее они оказались чрезвычайно удобными для старой формы квантовой механики, так как квантование Бора — Зоммерфельда состояло в том, что каждая переменная действия полагалась равной целому кратному постоянной Планка (Дж. Л. Синг [152]). Впервые условия квантования были сформулированы для систем с разделенными переменными, но постепенно стало ясно, что и в самом общем случае совместные уровни полного набора интегралов в инволюции в компактном случае гомеоморфны многомерным торам, что движение по ним в соответствующих угловых переменных происходит по условно-периодическому закону и что переменные действия [c.13]

Обратимся к ограниченной задаче трех тел, рассмотренной в 5 гл. I. Предположим сначала, что масса Юпитера л равна нулю. Тогда в неподвижном пространстве астероид вращается вокруг Солнца единичной массы по кеплеровским-орбитам пусть орбиты — эллипсы. Удобно перейти от прямоугольных координат к каноническим элементам Делоне Ь,С,1,д если а и е—большая полуось и эксцентриситет орбиты, то Ь = у/а, С = - 0(1 — е ), д — долгота перигелия, I — угол, определяющий положение астероида на орбите, — эксцентрическая аномалия [173]. Оказывается, в новых координатах уравнения движения астероида будут каноническими с гамильтонианом Го = —1/ 2Ь ). При ф О полный гамильтониан Г разлагается в ряд по возрастающим степеням /х F = Fo -Ь fJ.Fi -Ь. .. В подвижной системе координат, связанной с Солнцем и Юпитером, кеплеровские орбиты вращаются с единичной угловой скоростью, поэтому Г згшисит от Ь,С,1 и д — 1. Положим Ух = Ь, у2 = С, Хх = I, Х2 = д — I и Н = Г — С. Функция Н теперь зависит лишь от х, у, причем относительно угловых переменных, Т1, Х2 она 2тг-периодична. В итоге уравнения движения астероида представлены в виде гамильтоновой системы [c.186]

Канонические элементы a , и аналогичны каноническим элементам Якоби в кеплеровом движении. Известно, что элементы Якоби не являются удобными переменными при решении уравнений возмущенного движения. Их недостаток заключается в том, что в правых частях дифференциальных уравнений появляются смешанные члены, т. е. члены вида t sin yt, где у — постоянная ). По аналогичным причинам элементы и р необходимо заменить другими, более удобными каноническими элементами. В теории кеплерова движения такими элементами служат элементы Делоне и элементы Пуанкаре. Здесь мы введем аналогичные системы элементов. Заметим, однако, что в данном случае задача существенно осложняется тем обстоятельством, что рассматриваемая промежуточная орбита характеризуется тремя частотами, [c.111]

Обобщение случая Делоне. Кроме понижения порядка по циклическим переменным для обобщенного волчка Ковалевской (4.4) возможен один случай сведения к двум степеням свободы с использованием редукции Дирака [31]. Для этого рассмотрим интеграл Ковалевской Р2 (4.4) при условиях X = О, Р2 = = О, определяющих обобщенный случай Делоне (О. И. Богоявленский [19]). Легко видеть, что система корректно ограничивается по Дираку на инвариантные соотношения [c.210]

Замечание 2. Элементы Делоне и первая система Пуанкаре обладают некоторой однородностью элементы С, Н Ь, Р1, р2 имеют размерность секторнальной скорости, а элементы I, д. Л, К, С01, Ш2 являются угловыми переменными. Другими словами, эти канонические элементы принадлежат к так называемым каноническим переменным действие — угол . [c.341]

Основная идея метода Делоне заключается в том, что с помощью некоторого канонического преобразования переменных из канонических уравнений исключаются наиболее влиятельные члены. Заменим гамильтониан F в уравнениях (4.8.13) приближенным значением f [c.427]

Делоне рассматривает в качестве исходных канонические уравнения движения вида (4.3.22) относительно переменных Ь, О, Н, I, ц, Н. Эти переменные связаны с оскулирующими элементами орбиты Луны вокруг Земли большой полуосью а, эксцентриситетом е, наклоном г, долготой перигея л, долготой восходящего узла О, средней долготой в орбите Я по формулам [c.447]

Выше мы кратко указали (см. 8.04) на принцип метода Делоне. В соответствии с этим принципом Делоне выполнил 497 последовательных канонических замен переменных [c.447]

В конце концов Делоне приходит к таким окончательным переменным, что соответствующая возмущающая функция R содержит лишь малые члены выше шестого или седьмого порядка относительно е, е, у, л/ ala, n jn. Полагая ее равной нулю, Делоне получает уравнения [c.448]

Если были бы выведены формулы, непосредственно связывающие окончательные переменные L, О, у, выписанные в (4.10.12), (4.10.13), с первоначальными переменными Е,С.....Y (по Делоне они обозначаются, как мы уже отмечали [c.449]

Формулы, связывающие V, , трь с элементами орбиты Луны в невозмущенном движении, т. е. с первоначальными переменными а, е, у, I, g, к, следующие (коэффициент при sin Z в выражении для V и коэффициент при sin (g + О в выражении для выписаны по Делоне полностью, а остальные коэффициенты с точностью до членов четвертого порядка относительно Y. е) [c.450]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...