Морсификация

Пример. Рассмотрим функцию ш = 2Г, с особенностью типа Аъ в нуле. Ее морсификация ш=2 —142 +242 имеет три морсовские критические точки Oi = 2, 02 = 1, 03=—3 с критическими значениями ti=8, а2=И, аз=—135 (рис. 22). [c.63]

Рассмотрим росток /(z) ( , 0)->-(С, 0) с особенностью в нуле и его стабилизацию / (г, w) = / (г) + -ш +, .. + Морсифика-ции /е особенности / соответствует морсификация стабилизации. 78 =/e + >f + с тем же набором критических значений [c.66]

Как показывает следующее рассуждение, это определение группы монодромии эквивалентно приведенному в п. 1.4. Версальная деформация Р г, X) имеет вид Р (г, X ) +А,о, где Х= = (Х, Аю) Х еО ". Морсификация функции f при малом в эквивалентна фушздии / ( , Л, (в))- Яю(в), т. к. однопараметри-чеокая деформация функции f эквивалентна индуцированной из версальной деформации Р. [c.72]

Теорема. Существует вещественная морсификация f, изолированной особенности вещественной функции f двух переменных, все критические точки которой вещественны, причем значения fг во всех седловых точках равны нулю. [c.75]

Назовем такую морсификацию /, чисто вещественной. Пример. Вещественная морсификация f, = (г- - ) Ч-шЗ— ш2), вб]0,-1 , вещественной функции 1=г - -гх10 с особенностью типа 7 в нуле является чисто вещественной (рис. 27). [c.75]

Рассмотрим чисто вещественную морсификацию f, особенности f и вещественную функцию д. [c.77]

Теорема. Пусть кривая f,=0 переводится в кривую =0 допустимой гомотопией. Тогда g является чисто вещественной морсификацией особенности /. [c.77]

Пример. Допустимая гомотопия нулевого множества уровня морсификации особенности Ег (рис. 30) приводит к стандартной диаграмме Дынкина Еу (см. п. 2.5). [c.78]

Любые две морсификацин вещественной особенности можно соединить однопараметрическим семейством, вдоль которого эти морсификацин претерпевают лишь конечное число стандартных метаморфоз зная достаточно полный набор топологических характеристик морсификацин в начальный момент, мы можем определить их значения после любой допустимой последовательности этих перестроек. Это позволяет моделировать любой путь в базе версальной деформации как последовательность арифметических преобразований над набором дискретных характеристик задача об изучении морсификаций сводится таким образом к чисто комбинаторному алгоритму. Реализация этого алгоритма составляет около 1000 операторов Фортрана, его описанию посвящен 3 этой главы. [c.219]

Одна из задач, приводящих к изучению морсификаций вещественной особенности, — это поиск локальных лакун Петровского, то есть областей дополнения к волновому фронту, со стороны которых решение гиперболического уравнения неособо (см. 4.2). В терминах теории особенностей -эта-задача фор-мулируется следующим образом. [c.219]

Пусть / (R", 0)- -(Е, 0)—вещественная особенность, ft — ее неособая морсификация (то есть О — некритическое значение ft). Тогда в когомологиях соответствующего многообразия уровня определен важный элемент — локальный коцикл Петровского. Компонента дополнения к дискриминанту f, содержащая точку является локальной лакуной тогда и только тогда, когда этот коцикл гомологичен нулю, и нам остается перечислить такие компоненты. В 1 мы опишем основные свойства коцикла Петровского его выражение в терминах исчезающих циклов морсификаций, поведение при стабилизации особенностей, достаточные условия его нетривиальности для всех морсификаций данной особенности и т. д. [c.219]

Вычисление коциклов Петровского в терминах исчезающих циклов. В силу теоремы двойственности Пуанкаре, локальные циклы Петровского можно рассматривать как элементы двойственного пространства к Нп-х Уг)- Поэтому для вычисления циклов Петровского достаточно вычислить их индексы пересечения с элементами базиса исчезающих циклов в последней группе, см. [22, 2.1]. Условимся о выборе этого базиса для произвольного /62 такого, что все критические значения функции ft различны (и их число равно числу Милнора l(f) особенности f). Такое шевеление ft функции f называется морсификацией /. [c.221]

Пусть <6С — 1, причем /,—морсификация особенности Зафиксируем в группе Нп- (УЬ базис исчезающих циклов, опре -деленный некоторой системой путей, описанной в начале п. 1.4-Тогда эта же система путей задает набор исчезающих циклов. в группе (V ), где — множество нулевого уровня [c.223]

Алгоритм регулярного перебора морсовских распадений особенностей. Каждая недискриминантная морсификация ft характеризуется следующим набором дискретных показателей [c.235]

Алгоритм перебора морсификаций / состоит в следующем. Вначале мы определяем топологические характеристики для некоторой реальной морсификацин исследуемой особенности. (Это неформальная задача в случае особенности коранга 2 она решается методом Гусейна—Заде [56] с помощью формул-(1), (2) с другой стороны, отсутствие особенности в таблице п. 2.2. объясняется только тем, что уже для нее эта задача пока не решена.). Затем к набору этих характеристик последовательно применяем всевозможные допустимые преобразования, при этом следим за тем, не обращается ли в О вектор индексов пересечения исчезающих циклов с классами Петровского. Если класс Петровского обращается в О, то распечатываются параметры соответствующей морсификацин. Восстановление реального шевеления по этим параметрам является вновь неформальной задачей, тем не менее во всех встретившихся случаях она не составила затруднений (см. таблицу на стр. 226—227 и рис. 126—134). При этом, пользуясь результатами п. 1.5, можно одновременно отслеживать локальные лакуг ны и для всех особенностей, стабильно эквивалентных данной.. [c.236]

П5=0 из п. 1.3 для всех особенностей, стабильно эквивалентных данной). Для остальных особенностей с числом Милнора, не превосходящим 11, было просмотрено приблизительно па 40 ООО топологически различных морсификаций в случаях, когда это не давало ни одной лакуны, в таблице проставлялось 0. [c.236]

Д". Одна и та же локальная лакуна может содержать очень большое количество топологически различных морсификаций. Поэтому распечатывается лишь по одному набору с каждым значением инварианта, использованного в п.2.3 для особенностей Хд, (сумма индексов Эйлера по отрицательным критиче- [c.238]

Б. Остро стоит задача о вычислении начальных данных для особенностей коранга 3. Пусть / — вещественная особенность. Нужно предъявить произвольную ее морсификацию и набор параметров а)—г) из п. 3.2 для этой морсификацин, вычисленный, в базисе исчезающих циклов, определенном описанной выше системой путей и правилами ориентации. В случае, если все критические точки этой морсификацин — вещественные, циклы Петровского вычисляются через остальные, показатели с помощью формул (1), (2). [c.239]

В. Существуют ли вещественные изолированные особенности, не имеющие морсификаций, все критические точки которых вещественны В [ЮЗ] доказано, что таких особенностей коранга 2 нет. [c.239]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...