Топологическая неустойчивост

Топологическая неустойчивость и усатые торы [c.108]

Теория KAM доказывает метрическую устойчивость", т. е. устойчивость для большинства начальных данных. Таким образом, согласно сформулированной гипотезе, типичным случаем в многомерной задаче является комбинация метрической устойчивости и топологической неустойчивости. [c.204]

М 1°. Заменой времени добиваемся равенства Я,= 1 докажем, что а — топологический инвариант. Рассмотрим преобразование монодромии Д гомоклинической траектории седла у. Для этого выберем произвольную точку Рву Q y) достаточно близко к седлу на его устойчивом двумерном многообразии (неустойчивом одномерном многообразии W "). Требования близости формулируются ниже. Многообразие W делит окрестность седла на две части. Ту часть, в которую траектория у входит при t- —оо, обозначим U. Возьмем две трансверсаль-ные гладкие двумерные площадки ГЭР и T 9Q (рис. 48а). Обозначим через Г+ пересечение [/+ПГ. Если площадка Г+. достаточно мала, то определено отображение соответствия Ai точка РбГ+ переходит в конец дуги фазовой кривой рассматри [c.133]

Модули. В [183] было обнаружено, что топологическая сопряженность диффеоморфизмов с одинаковым геометрическим расположением устойчивых и неустойчивых многообразий влечет за собой условия типа равенства на мультипликаторы периодических траекторий. Точнее, пусть f / )—диффеоморфизм замкнутого многообразия с гиперболическими неподвижными точками р, q (р, q ) типа седло. Пусть Xi(Xi)—наибольшее по модулю собственное значение Df p) Df (p )) из всех собственных значений, меньших по модулю единицы, а V 2( Y2) — наименьшее по модулю собственное значение D/( ) (D/ ( 0) из всех собственных значений, больших по модулю единицы. Предположим, что 2( 2) имеет кратность 1. Тогда [162] [c.140]

При определении вероятностей необходимо учитывать, что некоторые условные решения могут соответствовать неустойчивым стационарным режимам. Вопрос о выделении устойчивых и неустойчивых ветвей среди условных решений будет подробно рассмотрен в пятой главе. Здесь мы ограничимся чисто топологическими соображениями. Предположим, что параметр интенсивности воздействия s мал. В этом случае гауссовское приближение приводит к трём решениям для математического ожидания й. Два значения Hi и щ мало отличаются от координат двух устойчивых положений равновесия нелинейной системы и = Ui и и == = щ. Будем квалифицировать соответствующие статистические решения как устойчивые. Третье промежуточное решение которое соответствует неустойчивому положению равновесия и = = 3, будем рассматривать как физически неосуществимое, принимая вероятность гипотезы з равной нулю. Таким образом, ансамбль реализаций в результате приближенного решения разделяется на три подкласса, два из которых (й , 2) характеризуют движения в окрестностях устойчивых положений равновесия. [c.79]

Как следует из проведенного анализа, среди неоднозначных ветвей решения нелинейной стохастической задачи появляются неустойчивые стационарные режимы. При этом наряду с аналитическим исследованием для определения устойчивости можно использовать известные топологические правила теории бифуркаций. [c.157]

Будем продолжать прикрытие дросселя. При некотором его положении точка равновесия совпадает с точкой максимума характеристики 1 вентилятора (рис. 2.8). В этом случае топологическая структура разбиения фазовой плоскости не отличается от только что рассмотренной, но устойчивый предельный цикл увеличивается, а неустойчивый — уменьшается. [c.74]

Если прикрывать дроссель далее, то рабочая точка перемещается по восходящему участку характеристики справа налево и в некотором диапазоне положения дросселя структура фазовой плоскости будет совпадать со структурой, показанной на рис. 2.9. Однако с момента перехода рабочей точки через точку перегиба характеристики вентилятора топологическая структура фазовой плоскости начнет изменяться в обратном порядке сначала неустойчивый узел перейдет в неустойчивый фокус, затем от особой точки отпочкуется неустойчивый предельный цикл, а сама особая точка сделается устойчивой, в системе появятся два предельных цикла — внутренний неустойчивый и внешний устойчивый. Следовательно, помпаж из мягкого сделается жестким. [c.74]

Отметим, что правее кривой 2 (см. рис. 90) появляются два дополнительных стационарных решения, но только одно из них устойчиво. Выше кривой 3 появляются еш е два новых неустойчивых стационарных решения. Однако при переходе через кривую 4 одно из решений (Сг) становится устойчивым, причем его топологическая структура несколько меняется. Это решение имеет две ячейки и знакопеременное вращение. Оно отвечает большим подъемным силам, действующим на пористый вращающийся диск. [c.250]

Анализ причин неинтегрируемости гамильтоновых систем начнем с обсуждения обнаруженных сравнительно недавно грубых препятствий топологического характера. В работе [81] доказано, что замкнутая аналитическая поверхность рода х, х 2 не может быть конфигурационным пространством аналитической интегрируемой системы причиной является наличие большого числа неустойчивых периодических траекторий, на которых первые интегралы зависимы. Этот результат (не замеченный классиками из-за пристрастия к локальному рассмотрению динамических систем) обобщен в различных направлениях. Доказательство неинтегрируемости использует вариационные методы и тонкие факты из т ории особенностей аналитических отображений. [c.133]

Доказательство теоремы 1 основано на методе работы [81] (см. п. 1 2). Оно использует тот факт, что в каждом классе свободно гомотопных путей на М имеется неустойчивая замкнутая геодезическая. Существование замкнутых геодезических (без анализа устойчивости) на многообразиях с выпуклой границей было отмечено в классических работах Уиттекера [163] и Биркгофа [18]. Вместо группы гомологий, примененной для доказательства неинтегрируемости в случае пустого дМ, здесь используются Другие топологические инварианты [25]. [c.142]

А. М. Ляпунов во многих из рассмотренных им случаев уравнений 13) доказывает неустойчивость нулевого решения, но открывает некоторую условную устойчивость, когда начальные условия берутся лишь в некотором секторе. Теперь эта условная устойчивость охарактеризована более точно в указанной работе А. Ф. Андреева, так как он аналитически построил во всех случаях граничные интегральные кривые разных топологических качественных ячеек вокруг начала координат, когда начало координат не есть центр. Рассматривая в целом задачу устойчивости для системы (13), мы видим, что здесь основную роль играет первый метод, и мы не можем указать, как возможно сделать это иначе. [c.74]

Проводится также качественный анализ некоторых нелинейных динамических систем, полученных выше, но при условии того, что в системе присутствует линейный демпфирующий момент. В зависимости от коэффициента демпфирования со стороны среды проводится топологическая классификация типичных фазовых портретов системы, рассмотренной на фазовом цилиндре квазискоростей. Показано, что при некоторых условиях в системе могут возникнуть устойчивые, а при некоторых и неустойчивые автоколебания. [c.282]

Замечание. Если топологическое отображение Т сохраняет ориентацию и направление по 1, то ю-орбитно-неустойчивая траектория отображается в ю-орбитно-неустойчивую и а-орбитно-неустойчивая — в а-орбитно-неустойчивую. [c.260]

Теорема 9. Если разбиения на траектории, заданные двумя динамическими системами в ограниченной области С, тождественны, т. е. существует топологическое отображение области в себя, при котором траектории этих систем отображаются друг в друга, то орбитно-устойчивые полутраектории отображаются в орбитно-устойчивые, а орбитно-неустойчивые — в орбитно-неустойчивые. [c.52]

Основная тема второй части книги — взаимосвязь между локальным анализом вблизи отдельной (например периодической) орбиты и сложностью структуры орбит в целом. Эта взаимосвязь изучается с помощью таких понятий, как гиперболичность, трансверсальность, глобальные топологические инварианты, а также с помощью вариационных методов. Набор методов включает анализ устойчивых и неустойчивых множеств, бифуркаций, исследование индекса и степени и построение орбит как минимумов и мини-максов функционалов действия. [c.12]

Системы с различным асимптотическим поведением для различных начальных условий, неустойчивостью асимптотического поведения относительно начальных условий и высокой (экспоненциальной) степенью роста сложности глобальной структуры орбит, представляемой, например, экспоненциальным ростом числа периодических орбит и положительной топологической энтропией. В эту группу входят растягивающие отображения окружности ( 1.7), гиперболические автоморфизмы тора ( 1.8) и транзитивные топологические цепи Маркова, включая полный сдвиг ( 1.9). [c.156]

Мы увидим, что топологические свойства / вблизи О вполне определяются ориентацией / на устойчивом и неустойчивом многообразиях и размерностями этих многообразий. [c.265]

Следствие 13.2.22. Предположим, что окружности С, и С2 ограничивают область неустойчивости сохраняющего площадь закручивающего отображения / и е > 0. Если отображение топологически транзитивно, то для каждого 5 6 С, существует точка р в Е-окрестности В(9, е) точки д, некоторая итерация которой попадает в е-окрестность окружности С2. [c.437]

Из сказанного следует, что все дисклинации в нематической среде распадаются на две категории, в каждой из которых все дисклинации топологически эквивалентны — могут быть переведены дргуг в друга путем непрерывного деформирования поля п (г) (С. И. Анисимов, И. Е. Дзялошинской, 1972). Одну категорию составляют дисклинации с целыми индексами Франка эти дисклинации к тому же топологически неустойчивы — они могут быть вообще устранены путем непрерывного деформирования. Дисклинации целого индекса может заканчиваться в объеме нематика. [c.206]

Приведем теперь пример гамильтоновых систем, удовлетворяющих условиям теорем (21.7) и (21.11), но топологически неустойчивых величина I t) — J t) неограничена при —оо < < оо. По теоремам 21.7 и 21.11 такая система устойчива при большей части начальных условий (соответствующие движения квазипериодичны). Вековой уход истинного решения I t) есть величина порядка ехр(—1/д/е), следовательно, неустойчивость не появляется ни в каком порядке теории возмущений. [c.108]

Гипотеза ((5]). Тйпичным случаем в многомерной задаче является топологическая неустойчивость в сколь угодно малой окрестности любой точки проходит фазовая траектория, вдоль которой медленные переменные уходят от начального значения на величину порядка 1. [c.204]

Такие ограничительные условия устойчивости связаны с существованием числовых инвариантов топологической эквивалентности — модулей, возникающих при нетрансверсальном пересечении устойчивых и неустойчивых многообразий (см. ниже 6). [c.126]

Неосесимметричные магн. поля, используемые для стабилизации желобковой неустойчивости, могут быть источником усиленного поперечного переноса плазмы, напоминающего неоклассич. перенос в замкнутых ловушках. Поэтому необходимо отыскать топологически несложные осесимметричные магн. конфигурации, в к-рых плазма была бы устойчива по отношению к же-лобковым возмущениям. [c.490]

В.ЧЗКОЙ жидкости. Рассуждения, приводящие к понятию установившегося течения жидкости, неубедительны. Теория идеальной жидкости с большим успехом применяется для расчета неустановившихся течений. Потенциальные течения жидкости, математически возможны, но они могут быть неустойчивыми. Вероятно, что беспорядочные вихревые движения в слсде, теоретически вводимые при изучении течения идеальной жидкости, мало отличающегося от потенциального течения (например, течения Кармана с бесконечными вихревыми дорожками), являются удовлетворительной математической моделью процессов, наблюдаемых при больших числах Рейнольдса. Следует считать, что задачи с симметричными условиями могут и не иметь устойчивых симметричных решений. Таким образом, парадоксы теории идеальной жидкости могут являться парадоксами топологического переуп-рощения и парадоксами симметрии [4], [c.64]

I — Ентегрированве (поэтахшое) уравнений движения. II — топологическая природа траекторий в целом а — периодическое движение б — условно-периодическое движение на торе. III — локальная устойчивость (а) и локальная неустойчивость (61. IV — типы потоков в фазовом пространотпе. [c.374]

Тем самым полностью описано поведение фазовых траекторий на многообразиях 5 и /. Вне этих многообразий фазовые точки приближаются к / вдоль 5+ и затем удаляются от / вдоль >5". Это в случае, когда рФО и дФО. В случае р = 0 или д = О все фазовые траектории уходят от многообразия / либо, напротив, к нему приближаются. Особый интерес представляет случай д = О, когда многообразие 8 отсутствует, а многообразие совпадает со всем фазовым пространством (некоторой окрестностью точки равновесия О °) и фазовые траектории экспоненциально приближаются к интегральному многообразию /. Если из этой малой окрестности при возрастании времени фазовые траектории не выходят, то каждая из них экспоненциально приближается к некоторой фазовой траектории на интегральном многообразии /. Следовательно, асимптотическое поведение фазовых траекторий вблизи равновесия 0 определяется асимптотическим поведением фазовых траекторий только многообразия и в этом смысле фазовый портрет окрестности равновесия О определяется фазовым портретом окрестности 0 на многообразии /. При р + д = пт1р =6т1дФ0 состояние равновесия седлового типа. При д = 0 оно устойчивое, а при р = 0 неустойчивое. Поведение фазовых траекторий во всех этих случаях было описано выше, соответствующие фазовые портреты при одинаковых р ш д будем считать одинаковыми. Установлено, что такие фазовые портреты топологически изоморфны, т. е. могут быть преобразованы друг в друга с помощью взаимно однозначного и взаимно непрерывного преобразования. [c.98]

Устойчивые и неустойчивые еостояния равновесия. Мы рассмотрели состояния равновесия с точки зрения их топологической структуры. При этом очевидно, что если не принимать во внимание направление движения по I, то топологическая структура устойчивого узла и фокуса и неустойчивого узла и фокуса одинакова. В то же время топологическая структура седла, очевидно, отлична от топологической структуры узла и фокуса. Однако часто в задачах, связанных с приложениями, состояния равновесия рассматриваются просто с точки зрения их устойчивости или неустойчивости без детализации их топологической структуры ). С этой точки зрения состояния равновесия разделяются на два типа. [c.160]

Если через все точки некоторой окрестности состояния равновесия О проходят только положительные (отрицательные) полутраекторип, стремящиеся к нему, то такое состояние равновеспя называется топологическим узлом ). При этом топологический узел называется устойчивым, ссли все стремящиеся к нему полутраектории пологкптельны, и неустойчивым, если все стремящиеся к нему полутраектории отрицательны. [c.327]

Покажем сначала, что существует топологическое отображение замкнутых областей Иа-ь и Па-ь-, а также Иаоь и Пй-ь, ири котором траектории отображаются в траектории и направление по I сохраняется. Так как один из концов дуги 1 является концом дуги а, то возможны следующие случаи (см. лемму 1) 1) конец А дуги 1 принадлежит орбитно-неустойчивой траектории Ь или полутраекторпи 2) конец А при- [c.492]

Наконец, для гиперболического автоморфизма тора Р мы будем использовать тот же прием, что и в доказательствах топологической транзитивности (предложение 1.8.1) и отделенности периодических точек друг от друга (см. п. 3.2 д). А именно, если точки х,уеТ близки друг к другу, то имеет место одна из трех возможностей либо эти две точки находятся на одном и том же коротком отрезке растягивающейся прямой, либо на одном и том же коротком отрезке сжимающейся прямой, либо можно единственным образом указать минимальный прямоугольник, состоящий из отрезков сжимающихся и растягивающихся прямых, проходящих через х и у. В первых двух случаях ситуация очень похожа на то, что мы имели в случае растягивающих отображений. А именно, расстояние между положительными (соответственно отрицательными) итерациями точек х, у равно расстояний вдоль растягивающейся (соответственно сжимающейся) прямой и возрастет экспоненциально, до тех пор пока не превзойдет 1/(3 + у5) = 1/(2А). В по следнем случае можно использовать только что изложенное соображение заменяя у точкой г — пересечением неустойчивой прямой л с устойчивой прямой у — и используя неравенство треугольника. Расстояние между по ложительными итерациями жиг растет, пока оно не достигнет по крайне мере величины 1 /(2Л), в то время как расстояние между положительным итерациями г ч у равно расстоянию Шз1(2/, г) - Л"". [c.136]

Таким образом, устойчивое и неустойчивое многообразия гиперболической неподвижной точки могут быть определены в чисто топологических терминах. Поскольку теорема 6.2.3 описывает исключительно динамику в окрестности точки р, она может быть переформулирована в локальных терминах. А именно, можно ввести такие координаты в некоторой окрестности точки р (с началом координат в р), что E (Df ) и E Df ) касательны к координатным плоскостям R х 0 и 0J х соответственно. Теорема 6.2.3 в этой локальной (или евклидовои) форме становится тогда частным случаем главного результата этого параграфа — теоремы 6.2.8. Гладкие подходящие координаты получаются нз координат -ф i7—из доказательства теоремы 6.2.8, в которых является графиком некоторой функции R — R, а WJ4 — графиком некоторой функции ip М -> 1R , после перехода от переменных (ж, у) е R R к (х, у ) = х - tp y), у - <р х)). [c.247]

Следствие 18.3.2. Если компактное локально максимальное гиперболическое множество А является топологически перемеиливаю-w,UM, то периодические точки плотны в А и неустойчивые многообразия каждой периодической точки плотны в А. [c.576]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...