Множество Мандельброта

Предположение о фрактальности таких поверхностей высказывал создатель теории фрактальных множеств Мандельброт (1974, 1975, 1982). Заметим, однако, что такие поверхности могут быть фрактальными не в строгом математическом смысле этого слова, а лишь в некотором ограниченном смысле. А именно, если обозначить N = N (г) число площадок с поперечником длиной е, покрывающих поверхность, то, согласно формуле (2.87), фрактальная размерность поверхности есть предел отношения lgA /lg(l/e) при е->0, и, значит, при достаточно малых е имеем [c.161]

Рис. 6.33. Фрактальная область притяжения комплексных параметров комплексного отображения (6.6.1) для ограниченных траекторий — множество Мандельброта (с разрешения Джона Хаббарда из Корнеллского университета).

Множество Мандельброта. Еслиг — комплексное переменное, то квадратичное отображение г — -I- с имеет более чем один аттрактор. Фиксируя начальные условия и изменяя комплексный параметр с, можно определить область притяжения как функцию параметра с. Возникающая при этом граница области притяжения оказывается фрактальной, а сама область известна под названием множества Мандельброта в честь математика, работающего ныие в фирме 1ВМ. [c.270]

В предлагаемом переводе монографии Джона Милнора наряду с математическими утверждениями и их подробными доказательствами содержится и исторический обзор развития голоморфной динамики, и связанных с ней численных экспериментов, породивших хорошо известное множество Мандельброта и другие подобные ему объекты. [c.7]

Рис. 25. Двойное множество Мандельброта бифуркационное множество в плоскости параметра Л для семейства квадратичных отображений г 1-+ + Лг. Центр фигуры расположен в точке Л = 1

Более медленный, но значительно более качественный метод изображения множества Жюлиа J(/) использует итерации отображения / для некоторых больших (возможно, от 50 до 50000) номеров, начиная со средней точки каждого пикселя. Если орбита после п итераций выходит за пределы некоторого большого диска, то соответствующему пикселю приписывается номер цвета, зависящий от п. В более совершенных версиях этого метода можно вычислить не только значение п-й итерации отображения /, но и модуль ее производной, см. ниже. Как установили Дуади и Хаббард, аналогичные рассуждения применимы и к множеству Мандельброта М. (Ср. приложение G.) В этом случае рассматривается полиномиальное отображение второй степени, соответствующее центру квадрата, и отслеживается орбита его критической точки. [c.303]

Рис, 3.4. Множества Мандельброта (результат компьютерной генерации с раскраской для придания иллюзии рельефности) [c.179]

При М(1 —>00 и / -> О размерность Хаусдорфа-Безиковича D>d, поэтому Б.Б. Мандельброт [3] при введении представлений о фракталах, назвал фрактальными множества, размерность Хаусдорфа-Безиковича для которых строго больше его топологической размерности. [c.96]

ФРАКТАЛЫ—множества с крайне нерегулярной разветвлённой или изрезанной структурой. Термин Ф. предложен Б. Мандельбротом (В. Mandelbrot) [1 ], хотя подобные объекты изучались в математике с кон. 19 в. Простейшим примером Ф. является канторово множество, к-рое строится следующим образом. Из отрезка [О, 1 ] выбрасывается центр, часть длиной /з- Из полученных двух отрезков [О, 1/3] и [2/3,1] также выбрасываются центр, части, составляющие /з длины отрезков, и т. д. В пределе получается нигде не плотное множество, имеющее мощность континуума и нулевую длину (меру Лебега). Процесс по- [c.371]

Согласно правилу Мандельброта [6], фрактальная размерность множества, состоящего из двух независимых фрактальных множеств Р и Pi, равна сумме фрактальных размерностей множеств Р и Р- . В работе [79] [c.55]

В соответствии с анализом Мандельброта [6], самоподобие означает, что существует функция, которая копирует множество само на себя с помощью скаляра г, являющегося автомодельным отношением. Как уже отмечалось в гл. 2, для нестандартных самоподобных форм целое множество можно разделить на N частей, получаемых через автомодельное отношение и связанное с размерностью самоподобия соотношением (34) [6]. Оно может быть представлено в виде [c.173]

Точкой отсчета времени возникновения теории фракталов принято считать двадцатые годы XX в., когда математиками было сформулировано довольно абстрактное геометрическое понятие — размерность Хаусдорфа — Базиковича. Затем понадобилось более шестидесяти лет, чтобы были найдены геометрические объекты (канторовское множество, кривая Кох, ковер Серпинского), дающие зримое представление об объектах дробной топологической размерности. В 1982 г. в монографии Фрактальная геометрия природы Б. Мандельброт доказал существование фрактальных объектов в природе. Однако до самого последнего времени методы теории фракталов составляли содержание самых сложных разделов теоретической физики — квантовой теории поля, статистической механики, теории фазовых переходов. [c.289]

Наличие спектра фаз-стеклообразователей, адаптивность которых к переохлаждению определяется степенной функцией F, указывает на принадлежность спектра мультифрактальному множеству, содержащим подмножества, связанные между собой степенной зависимостью [43]. Это отвечает определению мультифрактальности по Мандельброту [44]. [c.144]

Основным свойством фрактала является самоподобие его структуры на различных масштабных уровнях. Для сложных физических систем, однако, самоподобие структур реализуется лишь на ограниченных масштабах. В таких случаях используют представления Мандельброта о мультифрактале, являющегося фрактальным множеством, содержащим подмножества с различными фрактальными размерностями, взаимосвязанными степенной зависимостью. [c.176]

Следующим шагом в этом направлении стало построение математических моделей поверхностей, обладающих фрактальными свойствами, и определение для них стандартных характеристик, которые применимы для расчета поведения поверхностей, в том числе при контактном взаимодействии. Главным образом, моделирование было основано на использовании функции Вейерштрасса-Мандельброта [30] и искусственно созданных рельефах, основанных на идее Канторова множества. В плоском случае та- [c.430]

Фракталы. Термин фрактал был введен американским математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 г. Он предложил назвать фракталом множество, дробная размерность которого больше тонологической В > с1. Все фракталы обладают общим свойством с увеличением масштаба выявляется все большее число одних и тех же повторяющихся структур, образующих красивую микроскопическую структуру [121, 254-257]. В целом фрактал может выглядеть как пейзаж, натюрморт или произведение абстрактного искусства. Сам Мандельброт, изучая цены на хлопок за 60 лет, обнаружил одинаковые конфигурации кривых ежедневных, месячных и годовых цен. [c.182]

Размерность точечного множества можно определить многим способами. Мы опишем весьма наглядное, или геометрическое, определение размерности, называемой емкостью. Другие определе> ния, связанные с более глубокими математическими тонкостями читатель может найти у Мандельброта ) [124], Фармера и др. [3Q или в следующем разделе. Начнем с размерности множества точек, расположенных вдоль некоторой линии или распределенных по какой-то части плоскости. [c.216]

Чтобы определить, фрактальна ли граница между хаотическими и периодическими движениями, нами была измерена фрактальная размерность множества экспериментальных точек. Для этого мы, во-первых, соединили точки отрезками прямых. Во-вторых, придав определенный раствор циркулю, принялись измерять длину границы как функцию раствора циркуля. Именно такой метод по описанию Мандельброта [124] был применен для измерения фрактальной [c.264]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...