408—410 малые смещения выражение потенциальной энергии

При небольших смещениях атомов из положения равновесия в узлах кристаллической решетки можно в первом приближении потенциальной энергии пренебречь ангармонизмом (энергия, связанная с ангармонизмом, мала). Покажем, что при этом условии в случае всестороннего сжатия и расширения (ниже макроскопического предела текучести) химический потенциал атомов металла, возбужденных деформацией, будет одинаково возрастать независимо от знака деформации (т. е. знака, приложенного извне гидростатического давления) в отличие от кинетической модели системы свободных молекул (идеального газа), где знак прира-щ,ения давления определяет направление изменения химического потенциала. Напротив, термоупругие эффекты в твердых телах связаны с ангармоническими членами в выражении потенциальной энергии взаимодействия атомов, но здесь они не рассматриваются. В литературе этому вопросу не уделено должного внимания, так как все опыты по изучению поведения твердых тел под высоким давлением относятся к деформации тела сжатием. [c.15]

Стержень (тонкий) кинематика — (исследования Кирхгофа), 398 —402. 463 — 463, уравнения равновесия —, 402. 414 зависимость между кривизной, степенью кручения и упругими моментами —, 36, 405 деформация в —, 405—408 компоненты деформации —, 408—410 малые смещения в —, 412 выражение потенциальной энергии —, 412, 423 —, согнутый в первоначальном состоянии, 413—415 кинетическая аналогия согнутого—, 416, 417 эластика и ее устойчивость, 418—421, 429 частные задачи о равновесии —, 421, 430, 431-434, 439, 440, 441 различные задачи об устойчивости —, 435, 437, 443 малая деформация кривых —, 463 — 466 различные частные задачи о равновесии кривых —, 467— [c.672]

Так как смещения атомов Хп бесконечно малы, то разложением в ряд Тейлора по Хп выражения для потенциальной энергии взаимодействия и (хп) может быть определена сила, действующая на п-й атом, и, написав уравнение для системы сил, соответственно получим закон движения цепочки, который описывается системой дифференциальных уравнений [c.49]

Выражение, связывающее действительную прочность с указанными тремя факторами, можно получить, если рассмотреть приведенную на рис. 1 схему прямоугольной полосы единичной толщины с модулем упругости Е, закрепленной на одном конце и нагруженной на другом конце силами тяжести, действующими как нагрузка Ь. Исследуем три состояния такого тела. Состояния А ш Б будут использованы при выводе уравнения потенциальной энергии тела с трещиной, а состояния Б ж В при выводе уравнения, описывающего состояние неустойчивости трещины. Растягивающее напряжение в теле без трещины (состояние А) равно а, а потенциальная энергия такого тела равна [1 . Чтобы перейти в состояние Б, введем до нагружения малую щелевую трещину длиной е. После смещения нагрузки Ь тело удлинится на АХ относительно состояния А. Теперь исследуем различие в потенциальной энергии в состояниях А ж Б. Во-первых, трещина приводит к образованию новой поверхности, что увеличивает энергию на величину С/д. Во-вторых, ту же приложенную нагрузку должно поддерживать меньшее количество межатомных связей, что уве- [c.15]

Потенциальная энергия эйнштейновского кристалла равна сумме потенциальных энергий атомов в отдельных ячейках и не зависит от изменения реальных расстояний между атомами, находящимися в разных ячейках. Поэтому в разложении U n) по степеням малых отклонений атомов от положений равновесия будут отсутствовать члены с парными произведениями смещений атомов разных ячеек. Но, как известно из курсов аналитической механики (см., например, 11641), уменьшение числа степеней свободы системы связано с исчезновением некоторых из таких произведений при определенном линейном преобразовании координат. Если же подобные произведения отсутствуют, то нет и уменьшения числа степеней свободы. Следовательно, выражение "(196) для Z on должно содержать не (3/г — 6) сомножителей, как предполагалось Абрагамом и Дэйвом, а все 3/г сомножителей. При этом сама собой отпадает необходимость фактора замещения. [c.83]

Согласно этим теоремам задача об устойчивости равновесия или стационарного движения твердого тела с жидкостью приводится к задаче минимума потенциальной энергии V или измененной потенциальной энергии W системы. В случае полного заполнения жидкостью полости выражения V ш W являются функциями конечного числа переменных qj. В случае частичного заполнения полости V и W представляют собой функционалы, зависящие от формы объема т и свободной поверхности жидкости, а также от положения тела. Так как свойство минимума является локальным, то для строгого решения задачи минимума, за исключением особых случаев, можно ограничиться рассмотрением величин второго порядка малости. Поэтому для решения этой задачи можно использовать методы теории малых колебаний, если смещение свободной поверхности от положения равновесия представить в виде ряда пф системе собственных функций соответствующей краевой задачи. Таким методом был решен ряд конкретных задач о минимуме V и W (Н. Н. Моисеев, 1952 Г. С. Нариманов, 1956 В. В. Румянцев, 1962). Однако вычисления при [c.33]

Предполагая, что силы центральные и что смещения малы, из (2,178 (2,179) и (2,181) получаем следующее выражение для потенциальной энергии молекулы ХУ ) [c.184]

Чтобы увидеть это, заметим, что для определения зависимости частот нормальных мод от объема мы должны исследовать задачу о малых колебаниях не только для исходной решетки Бравэ, образуемой векторами R, но также и для увеличенной в размерах (или сжатой) решетки, образуемой векторами ) R = (1 + е) R, объем которой отличается множителем (1 + е) от объема исходной решетки. Если потенциальная энергия строго описывается выражением (25.8), даже когда смещения и (R) не малы, новая задача о малых колебаниях легко сводится к старой. Действительно, координаты ионов г (R) = = R + U (R) можно записать и как г (R) = R + и (R), если считать, что смещения и по отношению к исходной решетке связаны со смещениями и но отношению к увеличенной в размерах (или сн атой) решетке следующим образом [c.118]

Какое объяснение можно пытаться дать этим отклонениям Прежде всего можно было бы думать, что колебания частиц в твердом теле не настолько малы, чтобы в выражении для потенциальной энергии можно было ограничиться только членами, квадратичными относительно смещений от положений равиовесия (или, что то же самое, в выражении для силы, действующей на отклоненную из положения равновесия частицу, ограничиться линейными членами). Действительно, в ряде вопросов это приближение оказывается недостаточным. Например, если пользоваться им, то температурный коэффициент расширения твердого тела получается равным нулю. [c.223]

Должна лежать в соприкасающейся плоскости той кривой, по которой располагается изогнутая ось, и когДа Бине (В1пе1) ввел уравнение моментов относительно касательной, то Пуассон на основании этого уравнения пришел к заключению,-что крутящий момент постоянен. Лишь постепенно возникло представление о двух изгибающих пара в двух главных плоскостях, и был найден способ определения меры закручивания. Когда эти элементы теории были получены, стало ясно, что, зная соотношения, связывающие, изгибающие и крутящие моменты с кривизной и степенью кручения и пользуясь обычными условиями равновесия, можно определить форму изогнутой оси, степень кручения стержня вокруг этой оси, а также растягивающую и Перерезы вающую силу в любом данном сечении. Изгибающие и крутящие. пары, а также растягивающая и перерезывающая силы, происходят от усилий, приложенных к, элементам поперечных сечений, и правильные выражения для этих пар и сил следует искать при помощи общей теории. Но здесь возникает затруднение, состоящее в том, Что общие уравнения применимы лишь тогда, когда смещения малы между тем для таких тел, как спиральные пружины, смещения ни в коем случае нельзя считать малыми. КирхГоф (КтеЬЬоК) первый преодолел Это затруднение. Он показал, что общие уравнения применимы со всей строгостью к малой части тонкого стержня, все линейные размеры которой того же порядка малости, что и диаметры, поперечного сечения. Он считал, что уравнения равновесия или движения такой части можно в первом приближении упростить, пренебрегая силами -инерции и массовыми силами. Исследования, содержащиеся в теории Кирхгофа, носят в значительной своей части кинематический, характер. Когда тонкий стержень подвергается изгибу и скручиванию, то каждый его элемент испытывает деформацию, аналогичную тем деформациям,. которые имеют место в призмах Сен-Венана но соседние элементы должны непрерывным образом переходить один в Другой. Для того чтобы выразить непрерывность этого рода, необходимы некоторые условия. Эти условия принимают форму диференциальных уравнений, которые связывают относительные смещения точек малой части стержня с относительными координатами этих точек и с величинами, которые определяют положение данной части относительно всего стержня в целом. Из этих диференциальных уравнений Кирхгоф получил картину деформации в элементе стерл я и нашел выражение для потенциальной энергии, отнесенной к единице -длины, через относительное удлинение, компоненты кривизны и степень кручения. Он получил уравнения равновесия и колебаний, варьируя функцию, Выражающую энергию. В случае, когда тонкий стержень подвергается действию внешних сил, приложенных лишь иа его концах, уравнения, которыми определяется форма изогнутой оси, идентичны, как показал Кирхгоф, с уравнениями движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Эта теорема носит название кинетической аналогии Кирхгофа . [c.36]

Для объяснения теплового расширения нужно в потенциальной энергии учитывать кубичные относительно смещений члены (в силе — квадратичные члены). Для теплоемкости при этом получается несколько отличное от полученного выше выражение, так как при учете кубичных членов в потенциальной энергии (нелинейные колебания) средняя потенциальная энергия уже не равна средней кинетической. Действительно, упомянутые небольшие отклонения от закона Дюлонга и Пти при высоких те.мпера-турах, когда амплитуды смещений становятся большими, могут быть в некоторых случаях объяснены этим путем. Однако основные резкие отклонения, имеющие место для всех тел при низких температурах, этим путем объяснить нельзя. В самом деле, па классической механике как раз при низких температурах амплитуды смещений частиц малы, и высшие члены в разложениа потенциальной энергии по степеням с.мещения здесь не могут играть роли. [c.223]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...