Уравнение Дюффинга

Система (50) эквивалентна уравнению Дюффинга (48), содер- 1 ит медленную переменную а и быструю, фазу if, поэтому, как и [c.71]

Таким образом, преобразование Крылова — Боголюбова (14) выражается с помощью 2л-нериодических функций относительно ф, а формулы (29) дают решение первоначального автономного уравнения Дюффинга с периодом по t [c.73]

Рассмотрим теперь неавтономное уравнение Дюффинга [c.73]

К системе (62) следует применять неавтономное преобразование Крылова — Боголюбова (39), которое переводит (62) либо в систему (15), либо в систему (40). Не повторяя выкладки 2.3, укажем лишь, что и в атом случае 4i(a) = Лг(а)=. .. = О, если только частота возбуждения X и собственная частота о) рационально несоизмеримы. В этом случае получаем квазипериодиче-ское по t решение уравнения Дюффинга (61), так как функции Ui, Vi,. .. будут, вообще говоря, квазипериодическими функциями t. Можно показать, что осуществление преобразования [c.73]

На примерах исследования систем, описываемых дифференциальными уравнениями Матье и нелинейным уравнением Дюффинга — Булгакова, показано, что значение предложенных приближенных методов выходит за рамки задачи изучения динамики силового гиростабилизатора. Эти работы автора вошли в его монографию по механике гироскопических систем. [c.176]

Метод Мельникова использовался в теории динамических систем Морозовым [305, 306], Мак-Лафлином [288, 289] и Холмсом [195, 196]. В частности, Морозов и Холмс исследовали этим методом уравнение Дюффинга. Ниже мы следуем подходу Холмса (см. [168]). В качестве примера рассмотрим простую двумерную авто- [c.457]

Уравнение Дюффинга. Следуя Холмсу 1195], найдем условия перехода к хаотическому движению для уравнения Дю( инга [c.461]

Стационарное хаотическое движение. Нужно подчеркнуть, что условие пересечения сепаратрис (7.3.38) является локальным критерием стохастичности и применимо только вблизи невозмущенной сепаратрисы. Поэтому такой критерий ничего не говорит о появлении странного аттрактора, который представляет стационарное хаотическое движение в большой области фазового пространства. Уравнение Дюффинга без диссипации (б = 0) является гамильтоновым и всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Мы знаем, что хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. Однако при б>0 все инвариантные кривые разрушаются и траектория, хаотическая вблизи сепаратрисы, может уйти далеко от нее и захватиться устойчивым фокусом или предельным циклом. Такое поведение наблюдал Холмс [195] при аналоговом моделировании уравнения Дюффинга ). Поэтому единственное, что можно ожидать при выполнении условия пересечения сепаратрис (7.3.38), — это нерегулярное блуждание траектории в течение некоторого времени, пока она не попадет на какой-либо аттрактор, простой или странный. [c.463]

Фактически численное моделирование показывает, что появление странного аттрактора для уравнения Дюффинга, по всей видимости, связано с каскадом бифуркаций двух фокусов при х = = 1 г = О (см. рис. 7.26). С помощью аналоговой вычислительной машины Холмс исследовал поведение системы при фиксированных б и со в зависимости от у. Его результаты приведены на рнс.7.27. При ус0,76 наблюдалось только регулярное движение, показан- [c.463]

Рис. 7.27. Поведение решения уравнения Дюффинга (7.3.32) в зависимости от амплитуды V внешней периодической силы заданной частоты (О при постоянном затухании 5.

Ни бифуркации удвоения, ни пересечения сепаратрис не являются необходимыми для хаотического аттрактора, как показывает классический пример Лоренца (см. также конец п. 7.46). Тем более не требуется совпадения этих условий. Если, например, изменить знак линейной силы в уравнении Дюффинга (7.3.32), то сепаратрисы вообще не будет, а хаотический аттрактор останется [210].— Прим. ред. [c.464]

Модель Фейгенбаума хорошо подтверждается численными экспериментами на простых моделях. Как мы видели выше, бифуркации удвоения периода найдены и во многих динамических системах с малой размерностью, таких, как аттрактор Рёслера, отображение Хенона, уравнение Дюффинга и др. [Некоторые эксперименты по конвекции Рэлея—Бенара обнаруживают эти бифуркации, а также некоторые признаки их универсальности. Спектры скорости высокого разрешения в эксперименте Рэлея—Бенара с водой, показанные на рис. 7.33 [155, 157], демонстрируют некоторые из бифуркаций удвоения. Было проведено также сравнение экспериментальных значений амплитуд субгармоник с предсказаниями модели Фейгенбаума. Как показано в п. 7.26, отношение амплитуд развитых субгармоник должно быть равным у х 6,6. На рис. 7.33,г [c.482]

Полученное соотношение представляет собой хорошо известное уравнение Дюффинга, которое подробно рассмотрено Дюффингом в его книге по колебаниям. Вынужденные колебания подобного типа являются симметричными относительно положения равновесия, и при отсутствии демпфирования динамические перемещения системы [c.156]

Рассмотрим теперь задачу, описываемую уравнением Дюффинга с вязким сопротивлением, где сила демпфирования пропорциональна скорости (с коэффициентом пропорциональности п). В этом случае уравнение движения может быть записано в виде [c.161]

Метод усреднения Ритца успешно применялся к различным задачам, включая свободные и вынужденные колебания нелинейных систем. Высокая точность была достигнута при использовании одночленного приближения для систем с восстанавливающей силой, описываемой симметричными функциями -го порядка, а также кусочно-линейными функциями. Уравнение Дюффинга является только одним из примеров такого типа. Для систем с восстанавливающими силами несимметричного вида требуется использовать по крайней мере двучленные приближения и при этом быстро растут трудности алгебраического характера. [c.164]

Морозов А. Д., О полном качественном исследовании уравнения Дюффинга. Дифференц. уравнения, 1976, I2, К 2, 241—255 [c.296]

Рассмотрим колебания массы, соединенной с нелинейной пружиной, которые описываются уравнением Дюффинга [c.34]

Сочетание этого метода с методом Ритца—Галеркина часто используется при исследовании динамической реакции упругого тела (например, Хан [1965] Бауэр [1968] Свит [1971]). Рассмотрим в качестве примера уравнение Дюффинга [c.70]

В качестве примера рассмотрим уравнение Дюффинга (2.1.1), в котором [c.182]

Далее эта техника иллюстрируется применением ее к уравнениям Дюффинга, Ван-дер-Поля и Клейна—Гордона. [c.190]

В качестве первого примера рассмотрим уравнение Дюффинга [c.208]

Вторым примером, к которому мы применим метод разложения производной, является уравнение Дюффинга [c.262]

Уравнение Дюффинга с медленно меняющимися коэффициентами Ниже рассмотрим уравнение [c.308]

Рассмотрим второй метод — метод Дюффинга. Для упрощения преобразований ограничимся одной возмущающей силой Р( > и одним моментом Т ). Графики изменения силы и момента во времени показаны на рис. 5.10. Решение уравнения (5.39) ищем в виде (ограничившись двучленным приближением) [c.136]

Экспериментальные результаты показывают, что в случае постоянного напряжения скорость деформации в начальный момент времени стремится к бесконечности. Следовательно, в качестве ядра ползучести необходимо выбрать функцию, которая при = О имела бы особенность, обеспечивающую бесконечно большую скорость деформации в момент нагружения. Но эта особенность должна быть не слишком сильной, чтобы не стали бесконечными и сами начальные деформации. Простейшей функцией такого типа, обладающей слабой особенностью, является ядро Дюффинга [20]. Но в случае этого ядра кривая ползучести, соответствующая уравнению (3.2), неограниченно возрастает, т. е. длительный модуль упругости равен нулю. Для материалов с конечным длительным модулем упругости [c.83]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...