Поверхность гиперболических траектори

На границе сферы действия поверхность гиперболических траекторий вырезает окружность, в любой точке которой космический аппарат может покинуть сферу действия Земли с одной и той же по величине и направлению скоростью выхода. Дальнейшее движение (вне сферы действия Земли) будет происходить по одинаковым траекториям. [c.310]

Если все участки выведения считать одинаковой длины, то нетрудно сообразить, что точки земной поверхности, из которых можно вывести космический аппарат на пологую траекторию непосредственно (без периода пассивного орбитального полета), располагаются на некоторой окружности, проходящей через точки К и М. Назовем ее условно окружностью наземных стартов. Очевидно, эта окружность меньше проходящей через точки В и Ы проекции окружности орбитальных стартов В я Ы — проекции точек В я N на земную поверхность). Центр этой окружности лежит на оси поверхности гиперболических траекторий. [c.311]

Изображенная на рис. 118 геометрическая картина (совокупность поверхности гиперболических траекторий, окружности орбитальных стартов, окружности наземных стартов) ориентирована каким-то образом в мировом пространстве, а именно так, что ось поверхности гиперболических траекторий параллельна направлению вектора скорости выхода из сферы действия Земли. Эта ориентация зависит от взаимного расположения Солнца, Земли и планеты назначения и потому в течение нескольких суток почти не изменяется. Между тем Земля успевает за сутки сделать один оборот вокруг своей оси и определенные точки ее поверхности за это время дважды пересекают окружность наземных стартов. В каждый из этих моментов можно осуществить вывод космического аппарата на необходимую траекторию без использования промежуточной орбиты. Но поскольку окружность наземных стартов меньше проекции окружности орбитальных стартов, а последняя заведомо меньше большого круга земной сферы, то существуют обширные районы, ни одна точка которых в течение суток даже не коснется окружности назем- [c.311]

Планета искусственная 102, 313, 350 Поверхность гиперболических траекторий 310 [c.507]

Определить, какую скорость надо сообщить космическому аппарату, чтобы, достигнув высоты Н над поверхностью планеты и отделившись от последней ступени ракеты, он двигался по эллиптической, параболической или гиперболической траектории. Радиус планеты R. [c.391]

Земли безвозвратно. У поверхности Земли вторая космическая скорость равна 11,2 км/с. При скорости более второй космической тело движется по гиперболической траектории (рис. 33). [c.28]

Траектория точки представляет собой линию пересечения этих двух поверхностей гиперболического цилиндра и плоскости (рис. 73). [c.80]

Топологические препятствия к существованию нетривиальных групп симметрий обратимых систем впервые получены автором в [106] (теорема 2). Там же сформулирована в виде гипотезы теорема 1. Эта теорема доказана С. В. Болотиным с помощью детального анализа семейства траекторий, двоякоасимптотических к периодическим траекториям из различных гомотопических классов. Более точно, доказано, что в предположениях теоремы 1 3 найдется замкнутая гиперболическая траектория с трансверсально пересекающимися асимптотическими поверхностями. Из этого результата вытекает, в частности, стохастизация фазового потока и, как следствие, отсутствие дополнительных интегралов и групп симметрий (см. по этому поводу гл. V). [c.156]

Пусть теперь имеется аналитическая автономная система с двумя степенями свободы, и пусть Я = Ho + eHi +о(е) —функция Га-мильтона. Предположим, что в невозмущенной системе имеются две гиперболические траектории 71 и 72, лежащие на одной и той же поверхности уровня интеграла энергии. Пусть Fq — интеграл невозмущенной задачи, для которого dFo = О в точках траекторий 71 и 72- В этой ситуации также справедлива теорема 2, только условие 1) надо заменить на следующее [c.263]

Собственные значения Л линеаризованной системы имеют ненулевые вещественные части (Re Л > 0). Решение z t) = го можно считать периодическим с периодом 2тг. Согласно Пуанкаре, при достаточно малых система (1.9) имеет 2тг-периодическое решение г = p(i,e), p t,0) = zq. Аналитически по t С продолжим (возможно, неоднозначно) решения системы (1.9), асимптотические к траектории p t,e) при t —+ —00, на максимально возможную область. При этом получим двумерную комплексную поверхность AjT, которую назовем неустойчивой комплексной асимптотической поверхностью гиперболического периодического решения p t,e). [c.333]

Наконец, при старте из точек, не лежащих в плоскости чертежа, МОЖНО использовать круговые промежуточные орбиты, также не лежащие в этой плоскости. Плоскость каждой из этих орбит должна проходить через вертикаль 4. Тогда мы получим бесчисленное количество гиперболических траекторий, по которым космический аппарат после старта с борта спутника можно вывести к границе сферы действия Земли с одинаковыми векторами скорости. Все эти траектории лежат на поверхности вращения (рис. 118), [c.310]

Предположим в качестве примера, что высота периселения пролетной гиперболической траектории КА от поверхности Лупы составляет 100 км. Круговая скорость на этой высоте Fкp = 1650 м/с. Тогда согласно (7.2.18) максимальное возможное приращение скорости КА за счет гравитационного маневра в сфере действия Луны равно указанной величине. [c.269]

Посадка на поверхность Луны. Отличительный особенностью за,дачи посадки на поверхность Луны является отсутствие атмосферы. Поэтому для уменьшения относительной скорости до нуля необходимо включать двигательную установку КА. Различают прямую посадку с подлетной гиперболической траектории и посадку с орбиты ИСЛ. В свою очередь прямая посадка может осуществляться при вертикальном снижении и при наклонном снижении. [c.283]

В СВОЮ очередь каждый класс траекторий может иметь несколько подклассов. Так, траектория полета к планете назначения без возращения к Земле может проходить на заданном расстоянии от планеты, заканчиваться выведением КА на орбиту вокруг планеты или посадкой на ее поверхность. Пролетная траектория пе требует дополнительных энергетических затрат, поэтому ее довольно просто реализовать. Вместе с тем пролет на ограниченном расстоянии от планеты позволяет провести ряд интересных научных исследований. При выведении КА на орбиту вокруг планеты назначения должен осуществляться активный маневр с включением двигательной установки. Обычно маневр выполняется вблизи перицентра пролетной гиперболической траектории. Если планета имеет атмосферу, можно реализовать комбинированный маневр аэродинамического торможения с последующим включением двигателя для выхода на заданную орбиту [87]. В некоторых случаях траектория перелета завершается посадкой всего КА или отделяемого спускаемого аппарата. Возможна прямая посадка с пролетной гиперболической траектории и посадка с околопланетной орбиты, на которую предварительно выводится КА. Скорость КА может быть погашена с помощью двигателя или за счет аэродинамического торможения, если у планеты есть атмосфера. В некоторых случаях для уменьшения массы тормозной системы оказывается целесообразным сочетание активного торможения (двигателем) с пассивным (аэродинамический экран или парашют). [c.287]

Траектории полета к планете назначения с возвращением к Земле включают подклассы траекторий с задержкой у планеты (на ее поверхности или на орбите вокруг планеты) и без задержки у планеты. Если траектории без возвращения к Земле приемлемы только для доставки автоматических аппаратов, то траектории с возвращением к Земле, являясь обязательными для будущих пилотируемых полетов к планетам, могут использоваться и при запуске автоматических аппаратов. Например, в тех случаях, когда необходимо доставить на Землю образцы грунта или пробы атмосферы планеты. Возвращение КА к Земле желательно проводить в два этапа. Сначала КА выводится на промежуточную орбиту вокруг планеты, а затем стартует на гиперболическую траекторию возвращения. [c.287]

Бифуркационная поверхность может отделять системы Морса—Смейла от систем с бесконечным неблуждающим множеством — при переходе через нее может, например, рождаться странный аттрактор или нетривиальное гиперболическое множество (определение см. в [198]), или сложное предельное множество, содержащее бесконечно много траекторий. [c.95]

Согласно результатам KAM-теории, траектории типичных эллиптических периодических решений окружены инвариантными торами. Гиперболические периодические решения имеют две инвариантные поверхности (сепаратрисы), заполненные решениями, асимптотически приближающимися к периодической траектории при t — +00 или t — -00. Различные асимптотические поверхности могут пересекаться, образуя в пересечении довольно запутанную сеть. Поведение асимптотических поверхностей будет подробно обсуждаться в следующей главе. [c.230]

Поскольку поведение расщепленных сепаратрис устойчиво относительно малых изменений параметров, то при малых значениях ц > О уравнения Эйлера — Пуассона будут также иметь гиперболическую периодическую траекторию с пересекающимися асимптотическими поверхностями. Согласно теореме 1 из 2, это не совместимо с наличием дополнительного интеграла и нетривиальной группы симметрий. Отметим, что при fi = 1 и fi = 2 уравнения Эйлера — Пуассона интегрируемы (случай полной динамической симметрии и случай Ковалевской). [c.272]

Рассмотрим двумерное сечение трехмерной поверхности интеграла энергии, на которой расположены решения системы (3.11), гиперплоскостью Х2 = 0. Периодические траектории (3.12) пересекают это сечение в точках, которые являются неподвижными при отображении Пуанкаре. Так как они имеют гиперболический тип, то можно ставить вопрос о взаимном расположении их устойчивых и неустойчивых сепаратрис. Эта задача исследована численно в работе [138]. Результат представлен на рис. 24. [c.275]

Пример 6.3. Движение в космосе смолой тягой. В отличие от обычных реактивных двигателей плазменные или ионные двигатели развивают силу тяги F - mg, слишком малую для старта с поверхности Земли. Однако при старте с околоземной орбиты двигатель малой тяги может разогнать корабль до гиперболической скорости. Рассмотрим характерные особенности траектории разгона. [c.50]

Из этих формул (впрочем, также и из (4.7), (4.7 )) можно извлечь все обстоятельства движения. Так, из (4.7) следует, что движение точки М происходит периодически в конечной области пространства и траектория есть линия пересечения двух эллиптических цилиндрических поверхностей. Наоборот, из (4.7 ) следует, что траектория движения есть бесконечная пространственная кривая, являющаяся линией -пересечения двух гиперболических цилиндров. [c.187]

Пример подобной траектории мы видим на рис. 88 ). Получив на высоте 110 000 км над поверхностью Земли горизонтальную начальную гиперболическую скорость 2,43 км/с, космический аппарат через 3,66 сут окажется над центром обратной стороны Луны на расстоянии 2000 км от центра Луны. Лунное тяготение отбросит его затем к Земле по симметричной ветви гиперболы, и по истечении 7,32 сут после старта восстановятся начальные условия. Следуюш.ая встреча с Луной произойдет опять через 3,66 сут, т. е. через 10,98 сут после старта, и так далее. [c.231]

Проекты пилотируемых облетов Марса и Венеры предусматривают запуски на околопланетные орбиты и на поверхности планет небольших автоматических станций во время сближения с планетой. Станция, совершившая мягкую посадку на Марс, может затем с пробами грунта присоединиться к кораблю во время его гиперболического пролета. Для этого она должна отделиться от корабля за 5—10 сут до пролета и перейти на траекторию попадания [4.113]. [c.448]

Кстати сказать, это условие геометрически означает отсутствие перегиба у кривой Яо(7) =Л в точке /=/о. Таким образом, уравнение йН =а будет иметь столько же корней, для которых а > О, сколько корней, для которых а, <0. Это равносильно тому, что при малых значениях е О возмущенная система будет иметь ровно столько периодических решений эллиптического типа, сколько она имеет решений гиперболического типа. В этой ситуации обычно говорят, что при распаде невозмущенного инвариантного тора /=/° рождаются пары изолированных периодических решений. Согласно результатам КАМ-те-ории, траектории типичных эллиптических периодических решений окружены инвариантными торами. Гиперболические периодические решения имеют две инвариантные поверхности (сепаратрисы), заполненные решениями, асимптотически приближающимися к периодической траектории при /- - оо. Различные асимптотические поверхности могут пересекаться, образуя в пересечении довольно запутанную сеть (см. рис. 44). Поведение асимптотических поверхностей будет подробно обсуждаться в следующем параграфе. [c.231]

На протяжении долгого времени геодезические потоки играли важную стимулирующую роль в развитии гиперболической теории. Так, например, влияние неустойчивости на глобальное поведение траекторий динамической системы, характеризуемое эргодичностью, топологической транзитивностью и т. д., отмечали еще Адамар и Морс в начале ХХ-го века, изучавшие статистику поведения геодезических на поверхностях отрицательной кривизны. И позже исследования, связанные с геодезическими потоками, привели к введению различных классов гиперболических динамических систем (систем Аносова, РЧГ-систем и НПГ-систем с мерой Лиувилля). Сами же геодезические потоки всегда были прекрасным полем применения динамических методов, что, в частности, позволяло получать интересные результаты дифференциально-геометрического характера. О связи геодезических потоков с классической механикой сказано в главе 1, 1 . [c.157]

Пусть ракета, стартовавшая с Земли, входит в сферу преобладающего лунного притяжения с нулевой скоростью относительно Земли вследствие орбитального движения Луны скорость ракеты относительно нее будет гиперболической. Поэтому ракета быстро проскочит район преобладающего притяжения Луны и, описав некоторую петлю или иную фигуру, начнет падать к Земле. Если же ракета подходит с нулевой скоростью к седловой точке, в которой притяжения Земли и Луны взаимно уравновешены, то влияние Луны на нее никак не скажется и она начнет падать обратно на Землю, тогда как Луна пройдет мимо. Единственным местом, где ракета может войти в сферу лунного притяжения при нулевой относительно Земли скорости, является окно с радиусом, равным эффективному радиусу Луны, находящееся прямо впереди Луны по ее орбите. В этом случае гиперболическая по отношению к Луне траектория ракеты встретится с лунной поверхностью. [c.84]

Предположим, что имеются две гиперболические траектории 71 и 72 (не исключается случай, когда 71 и 72 совпадают). Через (Л2 ) обозначим устойчивую (неустойчивую) асимптотическую поверхность траектории 71 (72). Папомним, что эти поверхности регулярны и аналитичны. Однако они могут быть вложены в М довольно сложным образом. [c.261]

Доказательство теоремы 3 в идейном отношении сходно с доказательством теоремы 4, однако сложнее технически из-за возможной расходимости преобразования Биркгофа. Здесь существенно используется тот факт, что преобразование Биркгофа сходится на асимптотических многообразиях (см. И гл. II). Подробное доказательство теоремы 3 содержится в работе [28]. Там же указан ее автономный вариант. Пусть невозмущенная система с гамильтонианом Но имеет аналитический интеграл Fq, причем все интегральные кривые гамильтонова поля замкнуты (примером может служить квадрат модуля кинетического момента твердого тела в задаче Эйлера). Предположим, что при малых е возмущенная гамильтонова система с гамильтонианом Н = Но + Н + + о е) имеет две гиперболические траектории, и 7I, соединенные двоякоасимптотической траекторией 7e(i), гладко зависящей от е. В [28] доказано, что если несобственный интеграл Jqo (в (1-3) надо положить г = j = 0) отличен от нуля, то при достаточно малых е ф О система с гамильтонианом Н не имеет полного набора инволютивных аналитических интегралов на поверхности уровня = h, где h = Н )е)- Доказательство основано на сведении (при помощи интеграла Fo) гамильтоновой системы к неавтономной с периодическим гамильтонианом. Было бы интересно выяснить, следует ли из условий теоремы 3 несуществование п аналитических коммутирующих векторных полей у возмущенной гамильтоновой системы. [c.267]

В случае, если выход на орбиту вокруг Марса осуществляется с помощью аэродинамического торможения, описанная схема дает чистый энергетический выигрыш по сравнению с вариантом спуска на поверхность всего межпланетного корабля орбитальный корабль должен будет при отлете на Землю набрать лишь скорость, дополняющую круговую До необходимой гиперболической, а не всю гиперболическую скорость, как при старте с поверхности, Посадоч-ный же отсек должен только выйти на орбиту, а не на гиперболическую траекторию отлета. [c.455]

Если шпрота точки сгарта и азимут запуска заданы, обеспечивая выполнение условия г > 61, то в течение каждых суток существуют два момента времени для старта с поверхности Земли. Запуск в указанные моменты времени обеспечивает прохождение плоскости движения через вектор Уооь При этом в одном случае доразгон с круговой орбиты на гиперболическую траекторию происходит в северном полушарии, а в другом случае — в южном. Для станций слежения, расположенных, например, на территории Советского Союза, северный вариант позволяет контролировать процесс разгона и фактически реализовавшуюся траекторию. Ввиду очевидного преимущества северного варианта для практического решения задачи-выведения КА на межпланетную траекторию обычно им и ограничиваются. [c.300]

В качестве примера рассмотрим полет на орбиту Венеры, при котором гиперболическое прохождение близ Луны оказывало бы наиболее заметное влияние. Из графика видно, что если не использовать прохождение близ Луны, то уход должен производиться по гиперболе с эксцентриситетом е = 1,11. Необходимая стартовая скорость в этом случае составит Fst = 5,95 морск. миль/сек = 36 176 фут/сек. Если же воспользоваться маневром прохождения около Луны на кратчайшем расстоянии от нее (т. е. непосредственно над ее поверхностью), то тем самым эксцентриситет геоцентрической гиперболической траектории ухода уменьшится до е = 1,055, а стартовая скорость Fgt — до 5,86 морск. милъ/сек — = 35 629 фут/сек. В случае движения по траектории гиперболического прохождения, дающей максимальную экономию топлива, мы бы имели [c.200]

Бифуркационные поверхности. Рассмотрим множество всех векторных полей на М, имеющих либо негиперболическую особую точку, либо негнперболический предельный цикл, либо траекторию, принадлежащую нетрансверсальному пересечению устойчивого и неустойчивого многообразия двух гиперболических особых точек или циклов, или точки и цикла. [c.94]

Целью запуска являлись исследование космического пространства в районе Земля — Луна и последующая посадка станции на Луну ( прилунение ). Для обеспечения посадки траектория станции, близкая к гиперболической и обусловливавшая достижение лунной поверхности за время около 1,5 суток, была выбрана так, чтобы в момент прилунения Луна находилась бы вблизи верхней кульминации. Выбор этот определялся небходимостью получения наибольших удобств для наблюдений и установления оптимальных условий для радиосвязи. [c.430]

Вид поверхности, описываемой этим квадратным уравнением, можно исследовать путем приведения уравнения к каноническому виду. Переносом и поворотом осей координат уравнение (83) приводится к одной из 17 известных канонических форм. Из 17 поверхностей, которые могут быть описаны уравнением (83), допустимыми являются лишь те, которые удовлетворяют следующему основному требованию любая радиальная траектория нагружения должна пересекать поверхность прочности только в одной точке. Таким образом, мнимые поверхности, поверхности, распадающиеся на две части, гиперболоид, гиперболический параболоид и т. д. не могут быть выбраны в качестве поверхностей прочности. Существуют лишь две допустимые поверхности — эллипсоид и, возможно, эллипт 1ческий параболоид (последний случай не совсем обычен, так как здесь для некоторых видов напряженного состояния предел прочности может быть бесконечным) эти поверхности изображены на рис, 2, а и [c.451]

Невырожденные гиперболические инвариантные торы гамильтоновых систем имеют асимптотические многообразия, сплошь заполненные траекториями, неограниченно приближающимися к условно-периодическим траекториям на гиперболическом торе при t — 00. В интегрируемых гамильтоновых системах эти поверхности, как правило, попарно совпадают. В неинтегрируе-мых случаях ситуация иная асимптотические поверхности могут трансверсально пересекаться, образуя в пересечении довольно запутанную сеть. Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить. Ничто не является более подходящим, чтобы дать нам представление о сложности задачи трех тел и, вообще, всех задач динамики, в которых нет однозначного интеграла... (А. Пуанкаре [146]). [c.252]

Предположим, что при е = О гамильтонова система вполне интегрируема существуют п аналитических интегралов Fi,..., Г , попарно находящихся в инволюции и почти всюду независимых. Так как гиперболический тор TJ нерезонансный, и поверхности Лд состоят целиком из асимгпчэтических траекторий, то функции Fj постоянны на Л . Таким образом, Aq содержатся в некотором замкнутом множестве [z Fi(z) = i,..., F (z) = с ], причем, согласно результатам 9 гл. И, точка с = (сь..., с ) G R" является критическим значением отображения F — R". [c.254]

Для динамически симметричного тела невозмущенная задача Эйлера не имеет гиперболических периодических траекторий, поэтому метод расщепления асимптотических поверхностей здесь непосредственно не применим. Однако здесь можно по-другому ввести малый параметр и найти гомоклинные траектории. [c.271]

Следуя Р. Деванею [191], рассмотрим автономную аналитическую гамильтонову систему с двумя степенями свободы. Пусть р — критическая точка гамильтониана Я с собственными значениями (а г/3) (а,/3 G R). Если а О, то р — гиперболическое положение равновесия, обладающее устойчивой асимптотической поверхностью и неустойчивой Л . Пусть 7 — гомоклинная траектория она стремится к точке р при t — оо. Ясно, что 7 С (Л П ПЛ ), Предположим, что во всех точках траектории 7 двумерные поверхности Л и Л пересекаются трансверсально. [c.297]

Методы символической динамики применимы к описанию поведения системы вблизи трансверсальной гомоклинной траектории. Пусть р — гиперболическая неподвижная точка отображения 3 произвольного многообразия М на себя. Можно считать, что М — фазовое пространство неавтономной периодической гамильтоновой системы, а. 3 — отображение за период (см. п. 4 1). Пусть Л+ и — асимптотические инвариантные поверхности точки р, пересекаюшиеся трансверсально. Точки д е Л+ П Л естественно назвать трансверсальными гомоклинными точками Иш 3 д) = [c.305]

Хаотическое расположение точек отображения на плоскости Пуанкаре свидетельствует о локальной неустойчивости поведения траекторий системы (2 . Еспи у этой системы имёется гиперболическое (неустойчивое) решение, то у отображения имеется гиперболическая неподвижная точка. Из нее исходит две пары сепаратрис (асимптотических поверхностей) входящих и выходящих. [c.8]

Если же угловая дальность фиксирована, т. е. производятся старты ИЗ определенной точки земной поверхности (Земля считается невращающейся) в определенную точку орбиты Луны, то существует бесконечное количество траекторий (эллиптических, гиперболических, а также две параболических [3.2]), которые приводят к цели. Главную роль при выборе траектории в этом случае должна играть величина начальной скорости, размер же гравитационных потерь отходит на второй план. [c.194]

Пусть p — периодическая гиперболическая точка диффеоморфизма 5 класса гладкой поверхности М., х — трансверсальная гомоклиническая точка (см. 2). Фиксируем малое е>0 й рассмотрим ЛМГМ Л, лежащее в е-окрестности траектории S (x) (см. теорему 2.4). Обозначим X, у — собственные значения оператора DS(p), O Xd y. [c.173]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...