Пфаффовы уравнении

Они не обязательно совпадают, но удовлетворяют системе пфаффовых уравнений и задают в пространстве (я) допустимых дифференциалов смещения в различных направлениях. Соответственно обозначим [c.317]

Подстановкой можно убедиться, что все эти векторы удовлетворяют вполне интегрируемому пфаффову уравнению и/д = О, которое тем самым оказалось выявленным с помощью процедуры расширения. Исходная система эквивалентна одной голономной свяэи [c.332]

Уравнения Га.мильтона, очевидно, являются частны.м случае.м этих пфаффовых уравнений (12). [c.100]

В любом случае число лагранжевых координат при желании можно взять больше минимального числа, скажем, на р координат. При атом к пфаффовым уравнениям связи (если таковые имеются) добавятся еще р соотношений. Эти соотношения можно представить в форме конечных уравнений вида [c.86]

Качение диска. До сих пор применение уравнений Лагранжа ограничивалось голономными системами. Рассмотрим теперь приложение этих уравнений к неголономной системе, а именно к однородному диску или однородному круглому обручу, катящемуся по шероховатой горизонтальной плоскости. Система имеет три степени свободы, но для определения ее конфигурации требуется пять лагранжевых координат. Дифференциалы этих пяти координат, представляющие виртуальное перемещение, должны удовлетворять двум пфаффовым уравнениям связи, а уравнения Лагранжа будут содержать два множителя ( 6.2). [c.137]

В качестве простого примера возьмем пфаффово уравнение [c.39]

Преобразование уравнений Гамильтона. Вариационный принцип (5) замечателен тем, что из производных// ,..., p j ,q ,..., только q[,. .., q jj содержатся под знаком интеграла, и притом, линейно, и имеют коэффициентами как раз сопряженные переменные. Преобразование координат Pl,. .., q,n в новые р ,. .., дает форму, линейную относительно р[, но, вообще говоря, не такого вида. Мы рассмотрим в следующем параграфе получающийся таким путем тип уравнений так называемые пфаффовы уравнения, которые имеют некоторые преимущества перед уравнениями Гамильтона. [c.64]

Эти уравнения сохраняют свою форму при произвольном преобразовании переменных. Нужно только прямой подстановкой переменных найти точное выражение линейной дифференциальной формы под знаком интеграла. Таким образом, пфаффовы уравнения допускают совершенно произвольные подстановки и в этом отношении значительно удобнее как лагранжевых, так и гамильтоновых уравнений. [c.67]

Как будет показано в следующей главе, эти обобщения уравнений Гамильтона разделяют с последними то важное свойство, что для них автоматически выполняются все условия полной устойчивости, если только они удовлетворяют очевидным условиям устойчивости первого порядка. Следовательно, с этой точки зрения пфаффовы уравнения являются столь же важными для динамики, как и гамильтоновы, хотя первые принадлежат к более общему типу и, кроме того, имеют одно дополнительное преимущество, а именно они сохраняют свою пфаффову форму при любом преобразовании переменных, принадлежащем к формальной группе. В самом деле, достаточно только произвести замену переменных под знаком интеграла в формуле (12), чтобы получить преобразованные значения функций Xi и Z. [c.100]

В проблеме равновесия для пфаффовых уравнений множители можно разбить на пары так, чтобы множители каждой пары различались только знакоя1( ). Эти множители можно обозначить через А1, —А1,. .., А ,., —А ,,. Они должны быть вещественными или чисто мнимыми количествами ). [c.101]

Предварительная нормализация пфаффовых уравнений. Чрезвычайно легко убедиться в том, что примененная в предыдущем параграфе нормализация приводит члены первой степени в Хх,...,Х2т по существу к гамильтоновой форме. Действительно, если мы обозначим 2та зависимых переменных через р1,. .., Рт (/1, Ъп таким образом. чтобы р, , q , соответствовали множителям А, и —А, соответственно, и если буквы Р- ,. .., будут изображать коэффициенты при р ,. .. соответственно под знаками интеграла в формуле (12), то полученные в предыдущем параграфе соотношения между частными производными в начале координат принимают вид [c.102]

Обобщенная проблема Пфаффа. При таких обстоятельствах естественно ожидать, что пфаффовы уравнения, содержащие время i с точкой обобщенного равновесия в начале координат, допускают формальное приведение к гамильтонову виду. Нетрудно доказать справедливость этого утверждения посредством небольшого изменения предыдущих рассуждений. [c.105]

Если исключить случай обыкновенного равновесия, то все дZ дxi не могут одновременно обращаться в нуль вдоль первоначального движения, потому что пфаффовы уравнения дали бы нам тогда d Xi/dt = О (г = 1,. .., 2т), т.е. обыкновенное равновесие. [c.108]

Результаты, полученные в 2, показывают, что в случае гамильтоновых или пфаффовых уравнений из определенной ранее обыкновенной устойчивости системы всегда следует полная устойчивость. [c.116]

Предположим далее, что система пфаффовых уравнений (1.10) подвергнута малым возмущениям [c.257]

Хорошо известно, что в физике существуют и иные подходы к концептуализации интуитивного понятия равновесия. И прежде всего это термодинамическое равновесие. В соответствии с этой концепцией система приходит в равновесие не потому, что ее влекут силы , а потому, что это наиболее вероятное состояние системы, состоящей из множества частей, обладающих независимой динамикой. Система может быть и механической, управляемой законами динамики, но ее поведение, если она очень сложна, в среднем начинает определяться совсем другими законами, которые очень непохожи на динамические. Это различие в математическом описании изменения состояний системы совершенно фундаментально. Вместо движения во времени система просто изменяет свое положение в пространстве макроскопических параметров, оставаясь на некой поверхности, называемой уравнением состояния. Время не входит в число параметров, важных для описания системы. Уравнение состояния задается линейным соотношением между дифференциалами макроскопических переменных, или так назьгоае-мым пфаффовым уравнением 4.1 . Меняя один или несколько макропараметров системы, мы просто сдвигаем ее по поверхности уравнения состояния. По существу, с математической точки зрения , это изучение дифференциальной топологии поверхности, определяемой уравнением состояния. [c.32]

При некоторых дополнительных предположениях, например, в термодинамической системе, описываемой пфаффовыми уравнениями, будет реализовываться принцип Ле Шателье, а именно система будет демонстрировать поведение, препятствующее воздействиям, производимым в ней изменениями внешних макропараметров. Экономические системы действительно способны демонстрировать в определенных условиях такое поведение, например, увеличение цен на продукцию может стимулировать производство, чтобы поддержать уровень потребления. Попытка ввести тотальный контроль за уровнем производства или потребления запускает процессы коррупции власти, препятствующие осуществлению такого контроля, и т. п. [c.33]

Следует прямо сказать, что более чем столетние попытки доказать выводы термодинамики в рамках теоретической физики исходя из уравнений динамики не привели к значительным успехам. Но никто не сомневался, что этот термодинамический принцип работает сам по себе, вне зависимости от возможности редукционистских объяснений. Наличие двух уровней описания системы ставит проблему выделения некоторых параметров — может быть совершенно неочевидных, — равенство которых является условием равновесия, интуитивно понимаемого как отсутствие значимых потоков между отдельными частями системы. Если макропараметры функционально связаны между собой, а получающая из этой взаимосвязи поверхность уравнения состояния дифференцируема, то возникающая линейная зависимость между дифференциалами макропараметров дает пфаффовы уравнения термодинамики. Как мы уже отмечали выше, идея термодинамического равновесия вполне годится и для описания экономических систем, которые, так же как и физические макросистемы, имеют два уровня описания и очевидно наблюдаемые потоки перемещения денег, товаров и людей. И описание это должно быть вполне эквивалентно термодинамическому описанию физических систем, но при этом параметры равновесия — температура, давление, химический потенциал — приобретут, конечно, совершенно иные интерпретации, связанные именно со спецификой описания экономических систем. [c.39]

Термодинамический подход показывает, что макропеременные в экономической системе оказываются связанными уравнением состояния, т.е. находятся на некоторой поверхности, форма которой определяется пфаффовым уравнением. Необходимо знать это уравнение, чтобы сказать, куда сдвинутся макропараметры системы при изменении одного из них. [c.132]

Теорема 4.4.3. Пусть пфаффова система уравнений вполне интегрируема. Тогда интегральная поверхность размерности п- -1 т, проходящая через фиксированную точку Мо пространства единственна. [c.315]

Теорема 4.4.4. (Фробёниус). Система дифференциальных связей голономна тогда и только тогда, когда для любых дифференциалов 6q Е J q) и dq Е (q) обращаются в нуль внешние производные левых частей всех уравнений соответствующей пфаффовой системы [c.320]

Обратимся вновь к произвольной пфаффовой системе уравнений [c.327]

Теорема 4.5.5. Процедура расширения пространства (q) конечна. Если она заканчивается, когда число линейно независимых операторов равно л 4- 1, то в системе дифференциальных связей го-лономные связи отсутствуют. Если число линейно независимых операторов, полученных процедурой расгиирения, меньше чем гг -Ь 1, то соответствующая всем этим операторам пфаффова система вполне интегрируема, а ее уравнения образуют го.лономные связи рассматриваемой механической системы. [c.330]

При расширении пространства (q) число уравнений Пфаффа уменьшается, причем согласно следствию 4.5.3 ни одного интеграла не пропадает. Пусть расширенная система дифференциальных уравнений в частных производных имеет п -Ь 1 — 1 линейно независимых уравнений, причем к < т. Тогда вновь полученная пфаффова [c.330]

Почему для пфаффовой системы нельзя построить интегральную поверхность размерности большей, чем п — т, где п — размерность пространства, т — число уравнений [c.373]

Исключим р из системы уравнений (2.4.10), для чего первое уравнение умножим на Х , второе — на А, третье — на Хз и сложим. В результате получим необходимое и достаточное условие голономности пфаффовой формы при т = 3 [c.41]

Если пфаффова форма а dx Ъ dy - - с dz допускает интегрирующий множитель, то система голономна и уравнение связи записывается в виде [c.31]

Существует одна и только одна интегрируемая комбинация уравнений (1.9.1) и (1.9.2). В этом случае можно указать множители (х, ц такие, что сумма [хш-j- р, ы является точным дифференциалом, причем нельзя указать другую интегрируемую комбинацию, которая была бы независима от первой. (Пфаффова форма ф (/) ( ш(о-[- х ш ) также представляет собой точный дифференциал, по она эквивалентна предыдущей форме.) [c.32]

Пусть существует функция Н q р t) такая, что пфаффова форма рг dqr — Н dt, записанная в переменных у, t, имеет вид йг ) + dy , где i13=41)(y t) С2, а функции зависят только от у. Тогда функции Qr, Рг тождественно удовлетворяют дифференциальным уравнениям [c.288]

Пфаффова форма р,. dq — Н dt. Вернемся к теореме об эквивалентности ( 16.3). Мы видели, что уравнение Пфаффа [c.301]

Уравнения (16.14.5) для пфаффовой формы (16.14.7) записываются в виде дН [c.302]

Для защиты от соблазна усмотреть в записи уравнения больше, чем там заключено, в теории пфаффовых форм принято, во избежание ошибок, записывать уравнение (9.1) в виде [c.31]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...