Область Дирихле

Чтобы доказать существование таких разбиений, сначала для любого а > О и максимального а-отделенного множества Г рассмотрим области Дирихле [c.666]

Области Дирихле 103 Область упорядочения, размер 41 Образование геля 304—310 Одномерный газ — жидкость — кристалл 249—253 Опалесценция критическая 161 Оператор квантовомеханический 21 [c.583]

Потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной (см. 49) и этим обстоятельством следует воспользоваться так, чтобы в. положении равновесия, при котором все обобщенные координаты равны нулю, потенциальная энергия также равнялась нулю. По теореме Дирихле, равновесие устойчиво, если около этого положения имеется область, н которой потеициаль-ная энергия является определенно-положительной функцией обобщенных координат. Это имеет место в нашем случае [c.438]

Таким образом, движение механической системы при минимуме потенциальной энергии в точке О будет происходить в области D. Следовательно, равновесие системы будет устойчивым и теорема Лагранжа— Дирихле доказана. [c.199]

Итак, существуют такие положительные числа и ti , определяющие область начальных значений ql и q для которых все обобщенные координаты удовлетворяют условию (gd < в, т. е. положение равновесия устойчиво. Теорема Лагранжа—Дирихле полностью доказана. [c.412]

Принцип Дирихле. Существует одна однозначная, гармоническая, конечная функция с такими же частными производными до второго порядка включительно в области V и принимающая на ограничивающей поверхности S заданные наперед и непрерывные значения. [c.269]

Дирихле доказывал это следующим образом. Пусть ф — некоторая функция X, у, Z, конечная вместе с частными производными первого и второго порядков в области V и принимающая [c.269]

Особый практический интерес представляет рассмотрение областей с криволинейными контурами, когда граница не совпадает с линиями ортогональных сеток (рис. 38). В этом случае следует различать контур заданной области Ь и контур сеточной области М, аппроксимирующей заданную. При расчете в этом случае граничные значения должны быть заданы в точках сеточной области, тогда как известны они на границе первоначальной области. При решении первой краевой задачи (задачи Дирихле), когда на границе задаются значения искомой функции, необходимо эти значения перенести на контур сеточной области так, чтобы после отыскания решения значения искомой функции на контуре первоначальной области совпали с теми граничными значениями, которые были заданы на этом контуре. Но такой переход может быть выполнен лишь после того, как будут найдены значения функции во внутренних точках области, т. е. тогда, когда будет решена поставленная задача. В связи с этим удовлетворение граничных условий может быть выполнено лишь путем последовательных приближений, причем переход к точкам контура может быть произведен по формулам [c.88]

В качестве примера рассмотрим задачу Дирихле для области, ограниченной дугами окружностей. Решение задач для такого рода областей будем проводить в биполярной системе координат аир, выражаемой через декартовы координаты следующим образом [c.78]

Перейдем теперь к рассмотрению краевых задач для уравнения Лапласа. Пусть Й—конечная область, ограниченная кусочно-гладкой границей S. Внутренняя задача Дирихле (D для уравнения Лапласа заключается в определ ии в области Q функции, принадлежащей классу С< >(Й)П С(Й), удовлетворяющей уравнению Лапласа и принимающей на границе S заданное значение [c.98]

Вообще говоря, трудности, возникающие при решении задачи D, такие же, как и при решении краевых задач для области, ограниченной несколькими поверхностями. Здесь имеется ввиду следующее. Пусть несколько поверхностей S/ (/=1,2,. .., п) расположены друг вне друга, а одна, обозначаемая через So (эта поверхность может и отсутствовать), охватывает все остальные. Область D расположена между этими поверхностями ). Тогда решение для искомых гармонических функций (как в задаче Дирихле, так и в задаче Неймана) можно представить в виде потенциалов двойного и простого слоев соответственно, имея ввиду плотности, распространенные на все поверхности. В результате будут получены интегральные уравнения той же структуры, что (7.8) и (7.9), вернее, будут получены системы уравнений для функций ф,( ) (/ = 0,1,2,. .., п). [c.105]

Возникает, естественно, вопрос о возможном преимуществе решения задачи Дирихле посредством функции Грина по сравнению с решением той или иной конкретной задачи каким-либо иным методом, например, посредством интегральных уравнений. Нужно отметить, что построение функции Грина, вообще говоря, требует решения совокупности краевых задач для различных положений точки р, однако для отдельных областей удается построить функцию Грина в явном виде. [c.108]

Рассмотрим теперь в изложенной постановке задачу Дирихле для неоднрродного уравнения Лапласа при однородном краевом условии. Пусть 5 — граница области (2 (размерность которой т), в которой ищется решение. [c.130]

Опишем теперь энергетическое пространство в задачах Дирихле и Неймана. Для этого потребуется использовать понятие обобщенных производных. Пусть и р) и щ(р) —две функции, суммируемые в П, и пусть функция ф(р)—бесконечно дифференцируемая в области О, равная нулю в окрестности границы. Допустим, что для любой функции ф (при введенных ограничениях) имеет место равенство [c.139]

Следовательно, минимум функционала существует и достигается на элементе vo Можно доказать, что обобщенное решение задачи Дирихле является функцией, гармонической в области П. [c.144]

Однако не следует думать, что задача теории упругости может быть сведена к интегрированию системы (8.5.5) или что величина 0 может быть найдена по известным методам решения уравнения Лапласа. Величина 0 никогда не бывает задана на границе и определить ее, решая задачу Дирихле, не удается. Система (8.5.5) представляет собою систему двенадцатого порядка, тогда как исходная система (8.5.3) шестого порядка. Чтобы определить бигармоническую функцию, на границе области необходимо задать два условия, например, щ и dujdn, т. е. нормальную производную от Ui, тогда как для решения системы [c.249]

Неизвестные напряжения имеют особенность порядка 1/2 при t-> I. Следовательно, из (55.43) вытекает, что ho[t( )l(dt/d ) удовлетворяет условиям Дирихле в области О л, п, учитывая симметрию задачи, можно написать [231] [c.448]

Решение уравнения Лапласа в некоторой области определяется заданием значений функции ф на поверхности 2, ограничивающей область 25. Задача об отыскании гармонической в области 25 функции по ее значениям на границе области 25 называется задачей Дирихле. Эта задача в односвязной области, вообще говоря, всегда имеет однозначное единственное решение. Поэтому движение жидкости и импульс давления внутри области полностью определяются, если на границе заданы значения внешнего импульса давления = — рф. [c.155]

Пусть дана некоторая область 3), ограни-Задачи Дирихле, ченная поверхностью 2. Задача об опре- [c.164]

Основываясь на рассмотренных здесь дл у1фо анстка, свойствах зеркальной симметрии, по-ограниченного плоскостью строим функции Грина для задач Дирихле и Неймана в области представляющей собой верхнее или нижнее полупространство, ограниченное плоскостью г = 0. [c.178]

Задача Дирихле об определении однозначной гармонической функции — потенциала ф х, у, z) по ее значениям на границе Е области, которой принадлежит бесконечно удаленная точка, имеет единственное решение при ф = 0 в бесконечности. [c.192]

ТЕОРЕМА Дирихле ). Ограничимся рассмотрением случая, когда действующая сила консервативна, т. е. представляет собой производную от потенциала U (конечного и непрерывного вместе со своими первыми производными в рассматриваемой области поля действия силы). Составляющие X, Y, Z активной силы в этом случае имеют вид [c.133]

Эльвин Бруно Кристоффель родился в Монжуа (на Рейне) в 1829 г., умер в Страсбурге в 1900 г. Был профессором в Политехнической школе в Цюрихе, в Берлинской промышленной академии и в Страсбургском университете. Прямой ученик Дирихле, а в широком смысле — и Римана, он дал ряд замечательных исследований в области алгебраических и абелевых фупкциГ), инвариантов, уравнений с частными производными и дифференциальной геометрии. [c.341]

Для нахождения единственного решения этого уравнения, отвечающего конкретной задаче, необходимо задание температуры на всей границе области (краевые условия первого рода, задача Дирихле). В рассматриваемом случае задана лишь часть краевых условий, в то время как другая часть неизвестна и ее требуется определить. [c.79]

Функция Грина. Решение задачи Дирихле для произвольной плоской области, ограниченной контуром С, даётся формулой [c.250]

Приложения к задаче Дирихле. Функция, гармоническая в любой точке области, ограниченной поверхностью 5, и принимающая в каждой точке М этой поверхности заданные значения / (М), может быть представлена как потенциал двойного слоя, плотность которого (А<Л1) удовлетворяет следующему интегральному уравнению (см. стр. 248) [c.261]

Однако в отличие от известной задачи Дирихле одна из границ области (в данном случае — внешний контур Сг) является подвижной (деформируемой), причем скорость ее перемещения определяется градиентом потенциала на этой границе [c.485]

Все гармонические функции обладают одним общим свойством, сформулированным в теореме Дирихле. Эта теорема устанавливает, что для заданного замкнутого контура области, которой удовлетворяет функция С/, и для заданных значений функции U на контуре существует только одно решение уравнения Лапласа для всех внутренних точек области. Следовательно, сумма главных напряжений U = Ог однозначно определяется в каждой точке заданной области, если известны величины напряжений на контуре (для ненагруженного контура Oi — 02 = (Ti так как одно из главных напряжений [c.67]

Как известно, решение дифференциального уравнения второго порядка в частных производных типа = F с однородным краевым условием Дирихле t/ = О (на границе области) приближенно может быть представлено в виде [c.62]

С биллиардами связаны нек-рые задачи классич. и квантовой механики. Так, движение по отрезку прямой п материальных точек, упруго сталкивающихся друг с другом и с концами отрезка, сводится к биллиарду в п-мерном многограннике (при и = 2 — в треугольнике). Аналогичная система из п упругих шаров в прямоугольном ящике сводится к биллиарду в более сложной области, граница к-рой состоит из кусков цилиндрич. гиперповерхностей. В этих примерах постоянство длины движущегося вектора служит выражением закона сохранения энергии. Рассмотрение биллиарда в области с гладкой границей позволяет получить содержательную информацию о спектре Дирихле задачи в такой области. [c.633]

Задача Дирихле для уравнения Пуассона. Пусть G rl 2 — область переменных X, у с границей Г. Требуется найти решение и х, у) задачи [c.125]

Решение прямой задачи по методу сеток заключалось в численном решении в решетчатой области задачи Дирихле для гармонических функций Ф" (х, у) или а(х, у), или, наконец, задачи Неймана для функции Ф(х, у). Эти же задачи сводились к решению интегральных уравнений типа Фредгольма, причем интегралы вычислялись вдоль контуров профилей и их ядра сушественно зависели как от формы просЬилей, так и от положения точки на профиле (дуги профиля). По методу конформных отображений решение краевой задачи для функций Ф(х, у) и ФДх, у) отпадает, так как эти функции определены в канонических областя> , зато возникает новая задача нахождения конформного отображения данной решетчатой области на каноническую, т. е. построения отображающей функции z Z). Решение последней задачи, по существу, также оказывается задачей Дирихле для гармонических функций х( , т ), у( , т ) или aгg т ), [c.145]

ЧТО система (59.11) — (59.12) не может относиться к эллиптическому типу, так как в этом случае граничные условия (для решения задачи Дирихле) следовало бы задавать на всей границе области. [c.457]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...