Интеграл Стилтьеса

Интеграл Стилтьеса в (3-71) имеет общее выражение [c.96]

Если в линейной теории упругости мгновенное значение тензора напряжений полностью определяется значением тензора деформаций в тот же момент времени, то в линейной теории вязкоупругости, которую еще называют линейной наследственной теорией упругости, мгновенное значение тензора напряжений зависит от всей истории изменения компонент тензора деформаций. Формально эта зависимость для произвольной точки тела выражается в виде интеграла Стилтьеса [c.14]

Отметим, что в последних членах уравнений (9Г.1) необходимо использовать интеграл Стилтьеса, поскольку, строго говоря, временные производные Wi t) существуют только в смысле обобщенных функций. Другим важным обстоятельством является то, что интегралы [c.275]

Интеграл в уравнении (5-53) представляет собой интеграл Стилтьеса, общее выражение которого имеет вид [c.168]

Решение для произвольного, но известного закона распределения температуры стенки Ту,(1) может быть получено путем суммирования решений для соответствующего распределения указанных выше приращении температуры стенки. Влияния на теплообмен при фиксированном значении х каждого приращения температуры стенки при учитываются дополнительным введением интеграла Стилтьеса. [c.178]

Параметры маневра б могут с частотой v принимать любые значения из фиксированной области В или фиксированного дискретного множества В. Частота v (Ь) повторений маневра Ь записывается через функцию распределения Fy, (Ь) при помощи интеграла Стилтьеса (допускаются ступенчатые функции распределения). Частота v (6 В ) повторения маневров, принадлежащих подобласти В В, равна [c.282]

Если С(ц) представляет собой функцию ограниченного изменения, то соотношение (6.1) можно записать в виде интеграла Стилтьеса [c.71]

Не представлялось возможным коснуться в монографии обратных задач, связанных с нелинейными эффектами взаимодействия оптического излучения с компонентами атмосферы [14, 45], атмосферной рефракцией [1] и турбулентностью [14]. С учетом этого обстоятельства следует признать, что название монографии несколько шире содержащегося в ней материала. Вместе с тем, если акцентировать внимание на математических аспектах теории оптических обратных задач, то в монографии рассмотрены практически все виды тех интегральных уравнений и их систем, к которым сводятся обратные атмосферно-оптические задачи независимо от их конкретного физического содержания. В частности, если вести речь о некорректных задачах, то в монографии изложены эффективные алгоритмы обращения интегральных уравнений Фредгольма, Вольтерра, простейшие нелинейные уравнения, а также интегральные уравнения в форме интеграла Стилтьеса. Особое внимание уделено построению вычислительных схем численного решения систем функциональных уравнений, включающих и интегральные с ядрами, зависящими от неизвестных параметров. В этом отношении содержание монографии обладает достаточной общностью. На примере обратных задач светорассеяния представилось возможным рассмотреть методы численного решения тех функциональных уравнений, к которым сводятся наиболее распространенные обратные задачи оптики атмосферы. Подобные аналогии указываются в тексте монографии и сопровождаются соответствующими ссылками на литературу. [c.12]

Так называемые стандартные модели и, в частности, те, которые представлены выражениями (1.96), вторичны и порождены попыткой аппроксимировать реальные спектры размеров стандартными аналитическими аналогами. Особой необходимости в подобных моделях при построении теории микроструктурного анализа, включая, в частности, и оптические методы, естественно нет. Модельные распределения могут представлять интерес в разработке качественных методов интерпретации оптических измерений, а также в методах прикладного анализа оптических характеристик светорассеяния полидисперсными системами частиц, которые будут изложены в четвертой главе. Представленный в данном пункте материал можно рассматривать не более как краткое введение в теорию микроструктурного анализа полидисперсных систем методами оптического зондирования. Строгое ее изложение требует использования интеграла Стилтьеса, в связи с чем мы отсылаем читателя к работам [32, 33], а ниже рассмотрим пример интерпретации оптических данных. [c.59]

Переход к интегральным распределениям меняет и форму интегрального представления оптических характеристик светорассеяния полидисперсными системами частиц. Теперь для них должен использоваться интеграл Стилтьеса, т. е. представление вида [c.64]

Введение интеграла Стилтьеса в обратные задачи светорассеяния существенно расширяет информационные возможности оптических методов микроструктурного анализа дисперсных рассеивающих сред. Не имея возможности останавливаться на этом сколько-нибудь подробно в пределах данной работы (см. монографию [33]), обратимся вновь к модели у (г), использованной в предыдущем примере. Ясно, что для гистограммы у (г) интегральное распределение суть непрерывная (во всех без исключения точках области R) ломаная линия У( )(г). Подставляя это модельное распределение в (1.105), находим соответствующую линейную форму [c.64]

В заключение остается заметить, что интеграл Стилтьеса для обратных задач оптики атмосферы совершенно естествен и применяется во многих приложениях. Достаточно напомнить, что все интегралы теории переноса суммируются по т(г), где т(г) —оптическая толщина, скажем, от до г. Правда, при вычислениях обычно спешат избавиться от подобного дифференциала, хотя он нисколько не мешает построению компактных вычислительных схем. Во всяком случае при обращении интегральных уравнений это бесспорно в силу возможного сужения исходного множества решений Ф до компакта Ф . Причем для построения этого компакта не потребовалось вводить какие-то искусственные ограничения и тем более привлекать какую-либо априорную информацию об искомом спектре размеров. [c.66]

Интеграл в (3.15) суммируетсяпо дифференциальному элементу (1х 2). Физическим оправданием использования интеграла Стилтьеса в наших уравнениях является нерегулярный (стратифицированный) ход высотного распределения аэрозолей в атмосфере. Поскольку эти распределения, как правило, — разрывные функции, естественной формой интегральных уравнений является интеграл Стилтьеса. Наглядным примером нерегулярности высотного хода аэрозольных характеристик могут служить результаты прямых [c.155]

Остановимся кратко на построении суммационного аналога для интеграла Стилтьеса в (3.13), полагая, что геометрический параметр к пробегает (я+1) значений из интервала [Яь Я2 В этом случае имеем систему п подынтервалов Д/, /=1,. .., п покрывающих указанную область значений Л. Считая узлы Л/ (/=1,. . +1) границами частичных интервалов, их размеры можно определить согласно выражениям Д/(Л)=Л/+1 — Л/, где к = Н и кп- - = Н2. Без ограничения общности можно полагать, что в качестве Я2 берется верхняя граница атмосферы Я, и тогда вместо указанного выше интервала можно рассматривать интервал высот [Ль Я]. В дальнейшем при алгебраизации интеграла (3.13) будем использовать одно из простейших представлений для дифференциала т(г), а именно [c.156]

Поскольку исходное уравнение (3.15) представлено в форме интеграла Стилтьеса и его решение т(г) принадлежит множеству ограниченных, нигде не убывающих функций Ф , то естественно вычислительный алгоритм строить так же, как это делалось ранее для уравнений (1.105). Роль исходного минимизируемого функционала на векторном пространстве играет, как и ранее, норма 11 Лт—1а1 /2, которую в дальнейшем будем обозначать через р(т). Вольтерровость исходного интегрального оператора А не вызывает каких-либо особых затруднений при использовании аппроксимационного подхода и неявном построении обратного оператора. Действительно, интегральное представление (3.13) можно рассматривать как некоторую аналитическую модель/(/1,т) для измеряемой в эксперименте функции 1о Ь). Напомним, что если модель соответствует данному эксперименту, 1о(Ь) есть а-приближение для точной функции /о(/1) =/(/1, То), и тогда [c.160]

Если функция полезности в рассматриваемом временном диапазоне Т имеет разрывы, то вместо (10.1) величина e ta) определяется с помощью интеграла Стилтьеса [c.154]

Пусть Р г) — кусочно гладкая, непрерывная справа функ-ция, имеющая конечное число разрывов первого рода. Представим ее в виде интеграла Римана-Стилтьеса [c.240]

Стационарное случайное поле в каждой точке пространства представимо в виде интеграла Фурье-Стилтьеса (см. A. . Монин и А.М. Яглом [32]). Так давление р(С,0 можно записать [c.142]

Если этот метод рассматривать с точки зрения теории аппроксимации функций, нетрудно видеть, что исходным в нем является представление аппроксимируемых функций параметрическими интегралами типа (4.3). Действительно, в нашей задаче аналитическая структура функций р (Я) известна и, следовательно, отсутствует надобность строить и навязывать оптическим характеристикам какие-либо иные аналитические конструкции, подобные, скажем, многочленам, рядам Фурье и т. п. Поэтому метод обратной задачи является численным методом аппроксимации функций, который реализует их главное аналитическое свойство, а именно представимость параметрическими интегралами. Следует заметить, что этб представление может принимать как форму интеграла Римана, так и Стилтьеса. Для обоих вариантов выше изложены соответствующие алгоритмы. [c.230]

При изучении идеализированного статистически однородного или локально однородного случайного поля и х) в безграничном пространстве его спектральное описание доставляется случайной функцией Z(Дй) множеств Дй пространства волновых векторов к, определяемых по и (х) с помощью формулы обращения Фурье — Стилтьеса (см., например, формулу (11.45), относящуюся к случаю скалярного однородного поля). При использовании характеристического функционала Ф[0(л ), 1] поля скорости в безграничном пространстве переход к спектральному представлению оказывается более простым поскольку аргумент 0(дс) этого функционала является неслучайной функцией, выбираемой, в известных пределах, по нашему произволу, он, вообще говоря, может быть представлен уже не в виде интеграла Фурье — Стилтьеса, а просто в виде интеграла Фурье [c.621]

Таким образом, предел суммы (7.7) зависит от выбора точек т и интеграл в смысле Римана — Стилтьеса не существует. [c.106]

Резольвента самосопряженного оператора—интеграл Коши—Стилтьеса по его спектральной мере. Поэтому исследование таких интегралов играет в теории рассеяния важную роль. Следующие два утверждения называются теоремами Привалова. Их доказательства можно найти в книге [17. [c.29]

Состояние внешнее 12 --дискретизация и комбинирование 140, 144 Степень риска 161 Стилтьеса интеграл 154 Стратегий запаса 125 Стратегия внешних состояний 125 [c.203]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...