Изолированное состояние равновеси

Постоянная С определяется начальными условиями, причем определенному значению С соответствует один и только один эллипс, проходящий через каждую точку фазовой плоскости (рис. 2Л4). Эллипс, соответствующий точке д = у = О вырождается в точку. Это — особая точка исследуемого дифференциального уравнения, поскольку в ней становится неопределенным направление касательной (см. уравнение (47), которое является уравнением касательной к соответствующей интегральной кривой). Такая изолированная особая точка характеризует изолированное состояние равновесия гармонического осциллятора и называется центром. И в этом, и в других случаях особая точка определяет рещение дифференциального уравнения, в котором переменные от времени не зависят. [c.84]

Общие теоремы об устойчивости изолированного состояния равновесия. Прежде чем излагать теоремы об устойчивости, дадим определение самого понятия устойчивости. [c.259]

Наличие многообразия состояний равновесия приводит к тому, что не имеет смысла говорить об устойчивости изолированного состояния равновесия неголономной системы, ибо неголономная система не обладает изолированными состояниями равновесия. В связи с [c.269]

ЭТИМ должна быть изменена сама постановка задачи о малых колебаниях неголономной системы. Корректная постановка этой задачи состоит в изучении малых колебаний неголономной системы около многообразия состояний равновесия, а не в окрестности отдельного (изолированного) состояния равновесия. Отсюда следует, что вопрос об устойчивости неголономной системы можно ставить лишь в отношении многообразия состояний равновесия, а не отдельных состояний равновесия. [c.270]

Теорема 15. Если полутраектория и не имеет предельных точек, отличных от изолированных состояний равновесия, то ее предельное множество состоит только из одного состояния равновесия. [c.112]

Мы можем без ограничения общности считать, что V есть круг с центром в точке О, внутри и на границе которого не содержится других состояний равновесия кроме точки О (так как О — изолированное состояние равновесия). Обозначим граничную окружность круга II через а. Покажем сначала, что существует положительная или отрицательная полутраектория, целиком лежащая в 11. Допустим, что такой полутраектории нет. Пусть о — окружность с центром в О, лежащая в 7 (т. е. внутри а), М — произвольная ее точка, Ь — траектория, проходящая при 1=1 через М (рис. 70). В силу сделанного допущения траектория Ь выходит из области и как при убывании, так и при возрастании Рассмотрим дугу АВ этой траектории, где А — ближайшая по < к значению точка входа Ь в О, а В — ближайшая по к значению to точка выхода Ь из П (эта дуга кроме своих концов А и В, через которые траектория Ь входит в О и выходит из и, может иметь внутренние точки, лежащие на окружности о. Тогда в этих точках траектории Ь касается окружности а (рис. 70)). Обозначим расстояние от точки О до дуги АВ траектории В через / (М). f (М) является положительной функцией, определенной на окружности о. [c.118]

Таким образом, у всякой аналитической динамической системы во всякой ограниченной области плоскости существует либо только коночное число состояний равновесия, либо у нее существуют особые линии, все точки которых — состояния равновесия (точки кривой / (х, у) 0). Бесчисленного множества изолированных состояний равновесия, имеющих точку сгущения, могущее быть у систем неаналитического класса в силу сказанного, у динамических систем аналитического класса быть не может. [c.137]

Пусть теперь О — изолированное состояние равновесия и С — простая замкнутая кривая (гладкая или негладкая), содержащая состояние равновесия О внутри и такая, что внутри С и на С кроме О больше нет ни одного состояния равновесия. [c.263]

В настоящей главе рассматривается один класс сложных состояний равновесия, естественно представляющийся наиболее элементарным. Именно, рассматриваются сложные изолированные состояния равновесия аналитических динамических систем в случае, когда разложения правых частей уравнений системы в окрестности этих состояний равновесия содержат хотя бы один член первой степени. [c.362]

Заметим теперь, что систему (6) можно рассматривать не только в полосе [О < е <е 1, но и в полосе [1qi<6 ], если Q достаточно мало. В этой полосе она может иметь состояния равновесия только на оси 0, т. е. при Q = 0. В самом деле, если q О, то правые части системы (6) одновременно равны нулю лишь в том случае, когда равны нулю правые части системы (2), т. е. когда Р (q os 6, q sin 6) = О, ( (q os О, е sin 0) = 0. Однако в силу изолированности состояния равновесия О последние два равенства при малых q, отличных от нуля, выполняться одновременно не могут. [c.364]

Лемма 1. Пусть О (О, 0) — изолированное состояние равновесия системы (6) и [c.374]

Лемма 2. Пусть О (О, 0) — изолированное состояние равновесия системы (6) и х = х ( ), у = у 1) — полутраектория этой системы, [c.375]

Траектории системы (6), проходящие в достаточно-малой окрестности точки О, взаимно однозначно соответствуют траекториям системы (8), расположенным в окрестности точки О. При этом О является, очевидно, также изолированным состоянием равновесия системы (8), соответствующим точке О. [c.386]

Y (О, 0) = 0. Точка О (О, 0) является изолированным состоянием равновесия, разложение функции Y состоит из членов не ниже второй степени и содержит по крайней мере один член второй степени. Из вида системы (И) и условия изолированности состояния равновесия следует, что полуоси у>-0, ж = 0иу< 0, а = 0 оси у или их части, примыкающие к точке О, являются полутраекториями системы (И), стремящимися к О [c.391]

Точка О (О, 0) является для этой системы изолированным состоянием равновесия. В силу леммы 2 21 для того, чтобы найти все полутраектории системы (16), стремящиеся к точке О, нужно найти все траектории системы (17), стремящиеся к точке О и лежащие на разрезанной плоскости (I, у) (разрез по осп у = 0). Мы будем искать все траектории системы (17), стремящиеся к точке О. Очевидно, полуоси = О, г/ > О и 1 = 0, г/ < О являются полутраекториями системы (17) и стремятся [c.396]

Так как точка О (О, 0) есть по условию изолированное состояние равновесия, то эту систему можно, очевидно, записать в виде [c.397]

Следствие. Если изолированные состояния равновесия и Og динамических систем, соответственно, (А ) и (А2) имеют одинаковые топологические структуры, то их индексы Пуанкаре равны. [c.562]

Определение. Мы скажем, что изолированное состояние равновесия О имеет определенный характер (или определенную [c.57]

Параметр С определяется начальными условиями. Дополнив интегральные кривые стрелками, определяющими направления движения (в нашем случае — по часовой стрелке — в верхней полуплоскости dx/dt > 0), получим полный фазовый портрет линейного осциллятора. Одна из фазовых траекторий состоит всего из одной точки, которая соответствует состоянию равновесия. Состояниям равновесия соответствует равенство нулю или отсутствие сил, вызывающих движение, т. е. ж = ж = 0. В нашем случае состояние равновесия находится в начале координат х = О, у = 0). Это изолированное состояние равновесия, к которому не стремится ни одна траектория, называют центром. [c.22]

Если между различными точками в системе существуют разности температур, давлений и других параметров, то она является неравновесной. В такой системе под действием градиентов параметров возникают потоки теплоты, вещества и другие, стремящиеся вернуть ее в состояние равновесия. Опыт показывает, что изолированная система с течением времени всегда приходит в состояние равновесия и никогда самопроизвольно выйти из него не может. В классической термодинамике рассматриваются только равновесные системы. [c.8]

Когда изолированная система находится в состоянии с максимальной энтропией, то в ней не могут протекать никакие самопроизвольные процессы, потому что любой самопроизвольный процесс неравновесен и сопровождается увеличением энтропии. Поэтому состояние изолированной системы с максимальной энтропией является состоянием ее устойчивого равновесия, и самопроизвольные процессы могут протекать е> изолированной системе лишь до тех пор, пока она не достигнет состояния равновесия. [c.27]

Любое самопроизвольное изменение, происходящее внутри системы, приводит к увеличению общего числа способов осуществления состояния системы. Так как состояние равновесия характеризуется полным отсутствием стремления к самопроизвольному изменению, система будет находиться в состоянии равновесия, когда nQy достигнет своего максимального значения. Следовательно, критерий равновесия для изолированной системы может быть выражен уравнением [c.232]

Производя суммирование по всем фазам изолированной системы п применяя уравнение (8-3), получим для состояния равновесия [c.233]

Следовательно, состояние равновесия будет существовать в изолированной системе только в том случае, если температура и давление будут одинаковы во всей системе. [c.233]

Таким образом, в изолированной системе в состоянии равновесия температура и давление во всех частях системы одинаковы. [c.207]

В изолированной системе внутренняя энергия и и общий ее объем V имеют неизменные значения. Будучи выведенной из состояния устойчивого равновесия, система через некоторое время возвратится в это состояние, причем вследствие необратимости релаксационных процессов полезной внешней работы не производится, а энтропия системы, как это следует из выражения (3.31), но мере приближения к состоянию равновесия будет возрастать до тех пор, пока не достигнет максимума. Из этого вытекает следующее условие термодинамического равновесия изолированной системы в состоянии термодинамического равновесия, энтропия изолированной системы имеет максимальное значение, т. е. [c.109]

Действительно, если изолированная система находится в состоянии с максимумом энтропии, то никакие отклонения системы от этого состояния сами по себе возникнуть не могут, так как при этом энтропия системы должна была бы принимать значения, меньше максимального, т. е. убывать, что в силу неравенства Д5 О, выражающего второе начало термодинамики, невозможно следовательно, состояние с максимумом S является состоянием равновесия. [c.110]

При выводе условий фазового равновесия (4.2) предполагалось, что давления и температуры обеих фаз в состоянии равновесия одинаковы. Это предположение очевидно. Однако, строго говоря, следовало бы показать, что из общих условий равновесия термодинамической системы вытекают все три соотношения (4.2). Формальное доказательство этого состоит в следующем. Будем рассматривать обе фазы в совокупности как изолированную систему. В такой системе объем, внутренняя энергия и количество вещества неизменны, вследствие чего [c.124]

В состоянии равновесия энтропия изолированной системы 5 = ЗФ + -ф 5<2) максимальна. Так как согласно выражению (3.26) [c.124]

Так как энтропия изолированной системы в состоянии равновесия имеет максимум, то все частные производные от 5 по х,- в состоянии равновесия равняются нулю. [c.334]

Некоторому макроскопическому состоянию, соответствующему значению у = у, отвечает наибольший фазовый объем, и это состояние является наиболее вероятным. Из опыта известно, что в изолированной системе в состоянии равновесия макроскопические параметры имеют практически постоянные значения. Это означает, что максимум функции f=f(y) при для макроскопической системы является очень резким и состоянию системы, определяемому интервалом у, y +д y, соответствует практически весь объем энергетического слоя [c.151]

М. А. Айзерман и Ф. Р. Гантмахер (1957) заметили, что возникающий в случае исследования устойчивости состояния равновесия неголономной системы критический случай теории устойчивости относится как раз к тому частному случаю, который был полностью исследован А. М. Ляпуновым и И. Г. Малкиным. В связи с этим Г. Н. Князев (1963) предложил считать критическими случаями лишь такие, когда число нулевых корней характеристического уравнения больше числа уравнений неголономных связей, и рассмотрел случай, когда число нулевых корней больше числа уравнений неголономных связей на единицу. Ю. И. Неймарк и Н. А. Фуфаев (1965—1966) обратили внимание на то, что неголономная система не может иметь изолированных состояний равновесия, что состояния равновесия неголономной системы образуют многообразие, размерность которого в общем случае совпадает с числом нулевых корней и числом неголономных связей. Это позволило установить условия асимптотической устойчивости многообразия состояний равновесия по линейному приближению и выяснить особенности поведения неголономной системы по отношению к постоянно действующим возмущениям. [c.177]

Именно, если система рассматривается на сфере или в замкнуто ог])а-ниченной области С плоскости и имеет только изолированные состояния равновесия, то число их конечно. В самом деле, ес.ти бы это было не так, то существовала бы точка сгущения состояний равновесия, также являющаяся состоянием равновесия, причем неизолированным. [c.112]

Заметим в заключение, что сдоланныо выводы относительно характера предельного множества справсдл1И ы лишь при предположении о конечности числа состояний равновесия. Они улч-е ие бу.чут справедливы, если отказаться от условия изолированности состояния равновесия. Так, например, [c.113]

Т е о р е м а 18. Если О — изолированное состояние равновесия, то либо в любой окрестности О лежит замкнутая траектория, содержащая О внутри себя, либо существует полутраектория, стре.чящаяся к О. [c.118]

Теорема 18 ( 4) позволяет непосредственно решить вопрос о том, и каких случаях изолированные состояния равновесия О орбитпо-усто11чпвы, а в каких случаях орбитно-неустойчивы. Именно в силу теоремы 18 возможны два случая [c.263]

В первом случае состояние равновеспя О, очевидно, и О)- и а-орбитно-устойчиво. Во втором случае в силу теоремы 37 состояние равповесия О орбитно-неустойчиво. Этим вопрос об орбитной устоГ1ЧЦвости и неустойчивости состояния равновеспя решается полностью. Мы перейдем теперь к рассмотрению орбитно-неустойчпвых полутраектори , стремящихся к изолированному состоянию равновесия. Докажем сначала некоторые вспомогательные предложения. [c.263]

О (О, 0) есть сложное изолированное состояние равновесия, одно из характеристических чисел которого отлично от нуля. Тогда рассматриваемую систему MOHIHO записать в виде [c.377]

Т е о р е м а 65. Пусть точка О (О, 0) является изолированным состоянием равновесия сист,емы (11). Пусть, далее, у = (х) есть решение уравнения у - - Qz у) = О в окрестности точки О (О, 0), а разложение по степеням ж функции я)) (ж) = Pz (ж, ф (ж)) имеет вид я (а ) = Д ж - -..., где m > 2, Д, 0. Тогда. 1) При т нечетном, Д, > О состояние равновесия О есть топологический узел. 2) При т нечетном, Д <0 точка [c.379]

В заключение мы докажем теорему Бендиксона, устанавливающую связь между числом гиперболических и эллиптических секторов состояния равновесия и его индексом Пуанкаре. Пусть (I) — дипамическая система, О — ее изолированное состояние равновесия, к — число его гиперболических секторов (т. е. число гиперболических секторов достаточно малой окрестности точки О), е — число эллиптических секторов, 1 = /(О) — индекс Пуанкаре. [c.559]

Таким образом, равенство 55 =О определяет общее условие равновесия, а неравенство 5"5<0 — общее условие устойчивости равновесия изолированных термодинамических систем. Эти условия являются достаточными, так как если бы система, имея максимальную энтропию, не находилась в устойчивом равновесии, то при приближении к нему ее энтропия начала бы расти, что противоречит предположению о ее максимальности. Доказать необходимость максимальной энтропии при устойчивом равновесии изолированной системы исходя из основного неравенства (6.3) нельзя, так как из него не следует, что равновесие невозможно при немаксимальной энтропии. Однако, принимая во внимание молекулярную природу термодинамических систем и наличие обусловленных ею флуктуаций внутренних параметров, видим, что состояние равновесия без максимума энтропии невозможно, так как благодаря этим флуктуациям в системе возникают неравновесные процессы, сопровождающиеся ростом энтропии и приводящие систему к равновесию при максимальной энтропии. [c.122]

Это значит, что первая вариация энтропии равна нулю, а вторая меньше нуля. Равенство нулю первой вариации является лишь необходимым условием экстремума и не обеспечивает того, чтобы энтропия имела именно максимум. Достаточным условием максимума энтропии является отрицательное значение ее второй вариации, которое и обеспечивает устойчивость равновесия. Если же при 65 = 0 вторая вариация энтропии положительна (минимум энтропии), то соответствующее состояние системы будет равновесным, но совершенно неустойчивым , так как благодаря флуктуациям в ней начнутся неравновесные процессы, которые и приведут ее в равновесное состояние с максимумом энтропии. Так как дальше энтропия расти не может, то это равновесие будет устойчивым. Таким образом, равенство б5 = 0 определяет общее условие равновесия, а неравенство 6 5<О — общее условие устойчивости равновесия изолированных термодинамических систем. Эти условия являются достаточными, так как если бы система, имея максимальную энтропию, не находилась в устойчивом равновесии, то при приближении к нему ее энтропия начала бы расти, что противоречит предположению о ее максимальности. Доказать необходимость максимальной энтропии при устойчивом равновесии изолированной системы исходя из основного неравенства (6.3) нельзя, так как из него не следует, что равновесие невозможно при немаксимальной энтропии. Однако принимая во внимание молекулярную природу термодинамических систем и наличие обусловленных ею флуктуаций внутренних параметров, видим, что состояние равновесия без максимума энтропии невозможно, так как благодаря этим флуктуациям в системе возникают неравновесные процессы, сопровождающиеся ростом энтропии и приводящие систему к равновесию при максимальной энтропии. [c.101]

Так как > И 1, то 5г — 5г> 0, т. е. энтропия системы будет иметь в состоянии равновесия максимальное значение. Таким образом, если изолированная система находится в неравновесном состоянии, то вероятность этого состояния и энтропия системы в этом состоянии не будут иметь наибо.пьшего возможного значения. Наиболее вероятным процессом изменения состояния в этом случае является процесс, при котором энтропия системы возрастает, т. е. Д5 > 0. Если система находится в состоянии равновесия, то наиболее вероятными будут процессы, при которых энтропия системы не меняется значение энтропии при этом является максимальным. [c.90]

Частным видом равновесия изолированной системы является случай, когда энтропия и, само собой разумее тся, объем системы не меняется в процессе установления равновесия, сохраняя неизменное значение 5 (поскольку в состоянии равновесия энтропия изолированной системы максимальна, то 5 — S ,ax). Что касается внутренней энергии системы, то она в процессе установления равновесия будет уменьшаться и в состоянии равновесия достигнет минимального значения. Чтобы доказать это, предположим для простоты, что рассматриваемая система состоит из двух частей, одна из которых находится в состоянии равновесия, а другая, наоборот, неравновесна, однако имеет неизменные значения энтропии и объема. Если р и Т —давление и температура первой части, то для второй части системы будет справедливо общее соотношение (3.31), которое, если учесть, что 6G = О примет вид [c.110]

В частном случае адиабатически изолированной системы, в которой энтропия при установлении равновесия не меняется и имеет равновесное значение (причем, конечно, р = onst), энтальпия системы в состоянии равновесия минимальна, т. е. [c.111]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...