Вырожденное состояние равновеси

III. От конца отрезка покоя вместе с фокусом рождается неустойчивый предельный цикл (а-сепаратриса вырожденного состояния равновесия идет к устойчивому циклу, охватывающему все состояния равновесия, со-сепаратриса скручивается с неустой- [c.414]

Напр., для изотропного ферромагнетика в отсутствие магн. поля суммарный спин является интегралом движения. Средний (и обычном смысле) вектор намагниченности М равен нулю вследствие инвариантности системы по отношению к группе вращений спина. Это справедливо также для темп-ры ниже точки Кюри, когда существует спонтанная намагниченность. В действительности величина вектора jlf отлична от нуля, но его направление может быть произвольным, что означает вырождение состояния статистич. равновесия. Это вырождение можно сиять, включив в гамильтониан Н внеш. магн. поле ve, где е, — единичный вектор, параметр v>0 = (еЛ/)F, V — объём системы. Ср. магн. момент единицы объёма, вычисленный с этим гамильтонианом, М) = еМ фО при v 0. К. магн. момента равно ИтЛ/,, и отлично от нуля при [c.261]

Исследованная часть диаграммы состояния системы Hf—Рг харак теризуется наличием вырожденного эвтектического равновесия при температуре 930 °С и концентрации -0,026 % (ат.) Hf. Раствори мость Hf в Рг практически отсутствует. [c.894]

Таким образом, химический потенциал фотонного газа в состоянии равновесия равен нулю (см. также задачу 7.9). Для бозонов нуль есть наибольшее возможное значение i. Это означает, что фотонный газ вырожден при любых температурах. [c.164]

В общем случае состояния равновесия образуют некоторое множество изолированных точек. В вырожденных особых случаях могут возникать многообразия состояний равновесия той или иной размерности. [c.93]

Такое состояние равновесия мы будем называть вырожденным седло-узлом (рис. 53). [c.89]

При дальнейшем убывании Я на интервале 0<Яо<Яо смены устойчивости состояний равновесия не происходит, но при Я = О циклов уже нет (при Я = О существует интегральная прямая г/ = 0, проходящая через все состояния равновесия). Предельные циклы могут исчезнуть, только превратившись в петли сепаратрис или слившись с циклами, вновь возникшими из петель сепаратрис. Существенно, что циклы вокруг фокусов и цикл, охватывающий все три состояния равновесия, имеют разную устойчивость. В соответствии со знаком седловой величины (гл. 11) только неустойчивые циклы, охватывающие состояния равновесия, могут превратиться (и обязательно превратятся при некотором Я = Я ) в петли сепаратрис. Эти две петли (возникающие одновременно, так как Ь = 0 — линия симметричных структур) можно рассматривать как одну вырожденную большую петлю, от которой при ее разрушении с убыванием Я возникает неустойчивый же предельный цикл, охватывающий три состояния равновесия. При некотором Я = Я <Я+ предельные циклы, охватывающие три состояния равновесия, сливаются и при убывании Я исчезают. [c.298]

Пусть К>К (рис. 215, а). Состояние равновесия — устойчивый фокус па склейке, и все траектории идут к нему. При К = (рис. 215,6) возникает область, заполненная замкнутыми траекториями. Все сшитые по областям/—/// траектории накручиваются на границу этой области. При а2<Я<Я (рис. 215, в) фокус на склейке неустойчив и при уменьшении К от значения Я=А, от границы области, заполненной замкнутыми траекториями, рождается устойчивый предельный цикл. При Я = а (рис. 215, г) (острие дискриминантной кривой) падающий участок характеристики и прямая а — Кх — у =0 совпадают. Возникает неустойчивый отрезок покоя внутри устойчивого предельного цикла. При дальнейшем уменьшении X вдоль дискриминантной кривой появляются два состояния равновесия склеенный вырожденный седло-узел (см. гл. 4, 2) и устойчивый фокус в области [c.414]

ГО. Будем говорить, что эти движения ведут в состояние равновесия (ф = фо, у = 0), являюш ееся вырождением при л О узла системы (3). [c.423]

А — 1)/ 1 < р <(А + 1)/ л, на которых производная меняет знак. При (А — 1)/ л > 1 на полосе —л < ф < я будет только два состояния равновесия 0 п/2, 0)—седло и 02(л/2, 0)—неустойчивый узел. При (А—1)/ 1 = 1 изоклины смыкаются и возникает сшитая сложная особая точка (О, 1), качественно эквивалентная вырожденному седло-узлу без узловой области (гл. 4) (рис. 235). При (А —1)/р,<1 сложная особая точка распадается на две 0з(0, 1)— сшитый фокус и 04 (ф4, Р4)— седло. При (Я, + 1) / д. 1 [c.439]

Сформулируем теперь результаты нашего исследования. В рассматриваемой общей линейной системе в случае отсутствия вырождения (т. е. при ad — be Ф 0) могут быть шесть типов состояний равновесия в зависимости от характера корней характеристического уравнения [c.300]

Можно утверждать и обратное, именно, что при вырождении системы только особая точка типа седла может из неустойчивой превратиться в устойчивую. Это происходит тогда, когда из двух корней при вырождении исчезает положительный корень. С точки зрения изображения движения на фазовой плоскости это значит, что вследствие появившейся в результате вырождения связи между координатой и скоростью представляющая точка может двигаться только по той единственной сепаратрисе, по которой происходит движение по направлению к седлу. Ясно, что пока мы рассматриваем только это движение, седло кажется нам устойчивой особой точкой. В действительности достаточно какого угодно малого отклонения представляющей точки в сторону от сепаратрисы, чтобы в конце концов представляющая точка навсегда ушла из области, близкой к состоянию равновесия. Но в реальной системе начальные условия никогда не могут быть заданы абсолютно точно, хотя бы вследствие наличия флуктуаций. Значит, реальная система вследствие наличия самоиндукции и неизбежных отклонений в начальных условиях не сможет находиться в таком состоянии равновесия сколько-нибудь длительное время. Только оба эти обстоятельства вместе — наличие малой самоиндукции и неизбежные отклонения в начальных условиях — приводят к тому, что система уходит из состояния равновесия, которое нам казалось устойчивым. [c.741]

Но ведь самоиндукцией, хотя бы малой, обладает и цепь с емкостью, т. е. в реальной системе I -ф 0. Однако, учитывая I, мы не только не нарушим условий устойчивости, которым удовлетворяет состояние равновесия вырожденной систел ы при = 0 и р О, но даже можем вернуть устойчивость тому состоянию равновесия, которое оказалось неустойчивым в силу наличия паразитной самоиндукции д. Действительно, если L достаточно велико, так что = а(1—несмотря на то, что то состоя- [c.744]

Иная картина получается нри ЛГ 1. В этом случае, как нетрудно видеть, состояние равновесия (О, 0) неустойчиво как при учете паразитных параметров (при х О), так и при пренебрежении ими (при х = 0). Теперь на фазовой линии Р вырожденной модели имеется отрезок — л л х (х О — единственный корень уравнения 1 -(- /С<р (- ) = 0). на котором условие несущественности малых паразитных емкостей не выполняется на этом отрезке [c.775]

Фазовые траектории быстрых движений отходят от этого отрезка фазовой линии вырожденной системы , содержащего, между прочим, и состояние равновесия (О, 0) (рис. 529, б). Таким образом, при малых паразитных емкостях (при л 1 или, точнее, в пределе при [А->-- -0) мультивибратор уходит скачком из всех состояний с лг х, причем при скачке скачкообразно изменяется переменное X, т. е. напряжение м на сетке левого триода, при неизменном значении переменного у, т. е. при неизменном напряжении v на конденсаторе С мультивибратора. Так из динамики модели мультивибратора, построенной при учете сколь угодно малых паразитных емкостей и С , существенных для колебательных процессов в мультивибраторе (при 1), получается постулат скачка, использованный нами в 8 гл. IV. [c.776]

Замечания о невырожденных и вырожденных коллективах. Сделаем некоторые общие замечания, касающиеся статистических свойств частиц. Пусть коллектив частиц есть идеальный газ, находящийся в термодинамическом равновесии он характеризуется термодинамическими параметрами— температурой Т и химическим потенциалом ц. Обозначим через g число каким-либо образом выделенных состояний частицы для определенности можно говорить о [c.81]

Итак, в полупроводнике надо рассматривать два статистических коллектива газ электронов проводимости и газ дырок. Поскольку электрон проводимости и дырка рождаются одновременно (в паре друг с другом), плотности обоих газов одинаковы. В термодинамическом равновесии уровни Ферми обоих газов совпадают общий уровень проходит примерно посередине запрещенной зоны. Если принудительно перебрасывать электроны из валентной зоны в зону проводимости (например, облучая полупроводник светом), то можно при данной температуре увеличить плотность газа электронов проводимости и соответственно плотность дырочного газа при этом полупроводник переходит в неравновесное состояние, уровень Ферми электронов проводимости поднимается, приближаясь к зоне проводимости, а уровень Ферми дырок опускается к валентной зоне. В неравновесном полупроводнике можно создать вырожденные газы электронов проводимости и дырок, должным образом [c.144]

В случае статистич. равновесия ср. число га,- таких частиц в состоянии с энергией е, при темн-ре Т выше вырождения температуры Определяется Б. — Э. р. [c.220]

Достаточно горячие БК, электронный газ внутри к-рых вырожден не полностью, а также холодные, но быстро вращающиеся БК. могут иметь массы, превышающие Мц. Со временем по мере охлаждения и (или) потери момента кол-ва движения гидростатич. равновесие таких массивных ЕК неминуемо нарушается и они переходят в состояние гравитац. коллапса, в результате чего возникает нейтронная звезда. [c.447]

Классификация электронных состояний многоатомных молекул по типам различных точечных групп основана на допущении, что ядра фиксированы в положении равновесия (см. выше). Если ядра фиксированы в положении, отличающемся от равновесного, и если симметрия в неравновесном положении иная, чем в равновесном, то и типы электронных волновых функций будут иными. Однако ясно, что электронные собственные функции в двух конфигурациях должны однозначно соответствовать друг другу. Поэтому можно, по крайней мере при малых смещениях (колебаниях), классифицировать электронные волновые функции по типам равновесных конфигураций. Тем не менее следует заметить, что в вырожденных электронных состояниях при определенных смещениях от равновесной конфигурации потенциальные поверхности могут расщепляться, так как в смещенных конфигурациях симметрия может быть ниже и вырожденные типы могут не существовать (разд. 2). Проблема корреляции между типами различных точечных групп рассмотрена в гл. III, разд. 1. [c.19]

Возможные топологические структуры состояния равновесия О (О, 0) системы (А) устанавливаются в следующих теоремах 66 и 67. Будем называть состояние равновесия, каноническая окрестность которого состоит из двух гиперболических секторов, вырожденным состоянием равновесия. Если же каноническая окрестность точки О состоит из одного гиперболического и одного эллиптического сектора, то мы будем называть точку О состоянием раеновесия с эллиптической областью. [c.397]

О (О, 0) является вырожденным состоянием равновесия. Принимая во внимание, что Сгт = —3, а также принимая во внимание замечание п. 3, нетрудно убедиться в том, что расположение траекторий в окрестности состояния равновесия будет так1Ш, как это показано на рис. 250. [c.410]

Рассмотрим структуры внутри дискриминантной кривой при Ai < Я < аг. Для значений параметров, принадлежащих самой дискриминантной кривой, для отрезков, отсекаемых а- и -сепаратрисами на линии сшивания, выполняется условие ( з) а > >(5з)ш (вокруг фокуса есть неустойчивый предельный цикл), и это неравенство не может нарушиться при Я = Ло = onst за счет изменен1ш о. Оно сохраняется, в частности, и для структуры в точке пересечения X =Ао с линией симметрии о — Ххо — уо== = 0 (хо, Уо — координаты середины падающего участка характеристики). В этой точке фазовый портрет симметричен относительно точки (хо, Уо) и, следовательно, вокруг устойчивого фокуса в области I также есть неустойчивый предельный цикл. За счет изменения о эта качественная картина внутри области, ограниченной дискриминантной кривой, не может измениться. Отсюда следует, что при смещении с дискриминантной кривой внутрь области при разрушении сшитого вырожденного состояния равновесия появляются седло в области II и устойчивый фокус в области / в сопровождении неустойчивого предельного цикла. [c.416]

Разбиение пространства параметров на области с различными качественными структурами фазового пространства. Проследим за сменой структур и бифуркациями при изменении л для фиксированного Л = Яо из интервала 1 < Л < иь При л = О качественная картина разбиения фазового пространства эквивалентна представленной на рис. 169, 1. Бесконечность устойчива. Для л из интервала О < 1 <Яо качественная картина будет эквивалентна представленной на рис. 169, 2. Бесконечность неустойчива. Из нее появился устойчивый предельный цикл. При Ц, = Яо в точке (О, 1) появляется спгатое вырожденное состояние равновесия (если [X < Ц, ) или сшитый седло-узел с устойчивой узловой областью (если [X > х ). Качественная картина эквивалентна представленной на рис. 168, II—III или 168, III соответственно. При дальнейшем возрастании х сложная сшитая особая точка разделяется на две простые седло 04(94, pi) и устойчивый фокус (узел) Оз(фз, рз). Качественная картина эквивалентна представленной на рис. 169,5. Обе со-сепаратрисы седла Oi идут в точку [c.436]

Рождение и.ч одного равновесного состояния трёх состояний равновесия (спонтаиное нарушение симметрии). Напр., изменению движения гаарика в жёлобе при появлении на дне жёлоба бугорка соответствует Б., при к-рой иа вырожденного состояния равновесна типа центр (рис. 5, а) возникают три состояния равно- [c.210]

Качеств, особенности эволюции Д. с. проявляются в характере фазовых траекторий. Напр., состоянию равновесия отвечает вырожденная траектория — точка в фазовом пространстве, периодич. движению замкнутая траектория. Траектория квазипериодич. движения с т. несоизмерилшми частотами ш, (т. е. такими, что не существует отличных от нуля целых чисел /с,, удовлет- [c.626]

В первом случае состояние равновесия называется устойчивым узлом, во втором — неустойчивым узлом. Когда характеристические корни —кратные, узел называется вырожденным, если х =/= О, и дикрити-ческим, если х = 0. [c.151]

Настоящий параграф посвящен изучению простых состояний равновесия. При этом, как правило, будут рассматриваться системы класса С . Однако в случае кратного корня характеристического уравнения, т. е. в случае вырожденного = Яг = Я, д 0) и дикритического узла (Я1 = Яг = Я, 1 = 0), нам придется усилить требования, налагаемые на систему и предполагать, что рассматриваемая система имеет класс б г- [c.185]

Если в чистом полупроводнике можно получить вырожденные электронный и дырочный газы лишь за счет значительного нарушения равновесия, то в примесных полупроводниках этого можно достичь и в равновесном состоянии. Равновесный выроледенный газ электронов проводимости может быть реализован в полупроводниках п-типа, а равновесный вырожденный газ дырок — в полупровод- [c.145]

Для идеального бозе-газа в случае статистич. равновесия (при темп-ре выше вырождения температуры) ср. число частиц в состоянии i определяется Боае — Эйнштейна распределением [c.220]

Парамагнитный вклад обусловлен различием интенсивностей зеемановских компонент переходов, возникающим вследствие разной населённости магн. подуровней исходного состояния, имеющих (в условиях термодинамич. равновесия) больцмановское распределение населённости. На пропорциональности этого вклада намагниченности среды см. Парамагнетизм) базируется исполь.эование М. для магн. измерении. Характер зависимости парамагнитного вклада от темп-ры и от магн. поля определяется соотношением между величиной магн. расщепления уровней осн. состояния /S.8 (II) и тепловой энергией kT. В области малых магн. полей и или) высоких гемп-р kT>S.S) парамагнитный вклад линейно зависит от магн. иоля и обратно пропорционален темц-ре (см. Кюри, закон). В области ни.яких темп-р и сильных магн. полей S kT) парамагнитный вклад, подобно намагниченности, испытывает магы. насыщение. В простейшем случае двукратного вырождения осн. электронного состояния атома эта зависимость описывается ф-цией вида th l SI2kT). [c.702]

Звезда, у к-рой отсутствуют источники энергии, светит за счет остывания, а равновесие в ней поддерживается давлением вырожденных электронов или нейтронов. Фун-дам. фактом является наличие предела массы у холодных звёзд, связанного с тем, что с ростом шютности наступает релятивистское вырождение электронов (у >4/. 5), а затем и нейтронов. Поэтому достаточно массивные звёзды теряют устойчивость и переходят в состояние релятивистского коллапса с образованием чёрной дыры, При плотностях р<4 10" /см вещество состоит из электронов и ядер. Энергия Ферми электронов уже при р/ц, [c.494]

Здесь верхний знак относится к Ферми-газу, а нижний к Бозе-газу. В случае Бозе-газа выражение для Пр справедливо только для темп-р выше темп-ры вырождения Го, При Г < Т о в состоянии с р = 0.будет находиться макроскопически большое число частиц п , пропорциональное полному числу частиц N. Поэтому (Дге ) яз гг это означает, по существу, что Ф, обращается в бесконечность. Конечная величина Ф, получается, если учесть взаимодействие между частицами. Приведенные ф-лы для Ф, энергии и числа частпц следуют из точных квантовых статистич, распределений и поэтому справедливы независимо от природы и масштаба Ф, Для нахождения малых Ф, величин, поведение к-рых классично, может быть применен термодинамич, подход, разработанный А. Эйнштейном, Если неполное равновесие термодинамич, системы характеризуется определенным значением нек-роп физич. величины, отличающимся от равновесного значения, то плотность вероятности обнаружить от- [c.319]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...