Интеграл Пенлеве

Интеграл Пенлеве, аналогичный интегралу энергии в некоторых случаях связей, зависящих от времени. В некоторых случаях можно образовать интеграл, аналогичный интегралу энергии, для связей, зависящих от времени. Для таких связей выражения х, у, г через ( , Qi,. .., qj содержат t и кинетическая энергия Г в этом случае не будет однородной относительно q , q ,. . j.. Мы можем написать ее в виде 7"= 7 2+ + о> [c.288]

Этот интеграл носит название обобщенного интеграла энергии, или интеграла Пенлеве-Якоби. [c.122]

Подставляя это выражение в полученное выражение для интеграла Пенлеве-Якоби, находим [c.122]

Параметры Родрига 137 Пенлеве интеграл 288, 318 Переменные главные 299, 304 Перемещение возможное 264 Пластинка упругая 74 Плоскость инерции главная 21 [c.485]

Для механической системы имеем так называемый интеграл Якоби—Пенлеве [c.224]

В связи с тем, что в случаях Лиувилля и Штеккеля возможность решения задачи в квадратурах связана с существованием квадратичного относительно обобщенных скоростей первого интеграла, были предприняты исследования условий, при которых динамические уравнения движения системы допускают подобные интегралы. В этом направлении в конце XIX в. ряд результатов получили Г. Пирро, П. Пенлеве, Т. Леви-Чивита Ж. Адамар 103 и П. Бургатти нашли новые случаи интегрируемости уравнений движения материальной системы (при наличии квадратичных относительно обобщенных скоростей первых интегралов), из которых ранее известные вытекают как частные случаи. Однако до настоящего времени не доказано, что эти случаи интегрируемости явля10тся самыми общими. Работы на эту тему появлялись [c.103]

П. Пенлеве обобщил эту теорему, освободив ее от требования алгебраического характера координат. Он доказал таким образом, что всякий интеграл задачи трех тел, являющийся произвольной функцией координат и алгебраической функцией скорости этих тел, есть алгебраическая комбинация классических интегралов. [c.108]

Если система неконсервативна, но дИ/д1 = О, то система называется обобщенно консервативной, а первый интеграл совпадает с интегралом Пенлеве-Якоби ( 27). [c.280]

В первых трех главах содержится решение проблемы Пуанкаре о несуществовании дополнительного аналитического первого интеграла уравнений вращения тяжелого несимметричного волчка, поставленной в знаменитых Новых методах небесной механики . В четвертой главе рассмотрены динамические эффекты, препятствующие интегрируемости несимметричного волчка рождение бесконечного числа невырожденных долгопериодических решений и расщепление сепаратрис. Впоследствии автор этой книги связал два указанных явления, оба из которых восходят к Пуанкаре. Мы приводим в приложении доклад В. В. Козлова на семинаре в Институте машиноведения РАН, в котором демонстрируется превосходство методов Пуанкаре над стандартными методами теории колебаний при изучении периодических колебаний в системах Дуффинга. В пятой главе приведено решение старой проблемы Пенлеве-Голубева о связи между ветвлением решений уравнений динамики в комплексной плоскости времени и существованием новых однозначных первых интегралов. Эти результаты дали сильный толчок исследованиям по проблеме точной интегрируемости уравнений движения. Современное состояние этой теории изложено в недавней книге В. В. Козлова Симметрии, топология и резонансы в гамильто- [c.9]

В случае, разобранном С. В. Ковалевской, так же как и в ранее известных, система уравнений движения имеет дополнительный первый интеграл, что и обеспечило возможность их интегрирования в квадратурах. При этом оказалось, что в некоторых естественных переменных переменные Эйлера-Пуассона) во всех случаях интегрируемости дополнительные интегралы являются многочленами, так же как и классические первые интегралы. Таким образом, общее решение представляется мероморфными функциями времени как раз в тех случаях, когда существует новый алгебраический интеграл. Этот результат, естественно, поставил общую задачу о связи между существованием алгебраических интегралов аналитических систем дифференциальных уравнений и мероморфностью общего решения. На важность этой задачи впервые обратил внимание Пенлеве [41]. [c.126]

Формально задача Пенлеве об алгебраических интегралах и мероморфных решениях не включается в эту задачу, так как алгебраические функции в общем случае неоднозначны. Однако следует отметить, что при доказательстве отсутствия алгебраических интегралов уравнений задачи о тяжелом твердом теле основная трудность состоит в доказательстве несуществования дополнительного интеграла, являющегося отношением двух многочленов или просто многочленом), который, конечно, однозначен [44]. Кроме того, свойство системы аналитических дифференциальных уравнений иметь ал- [c.128]

Отметим в заключение, что вековое множество задачи о вращении тяжелого несимметричного твердого тела вокруг неподвижной точки играет важную роль при доказательстве отсутствия действительного аналитического интеграла (гл. III), при исследовании рождения изолированных периодических решений ( 2 гл. IV) и, наконец, при решении задачи Пенлеве о ветвлении решений и несуществовании однозначных интегралов ( 3-4 гл. V). Это позволяет с разных сторон рассмотреть классическую задачу об интегрируемости уравнений динамики твердого тела. [c.129]

Интегрируемость случаев Эйлера и Лагранжа обусловлена естественными динамическими симметриями и сохранением соответствующих первых интегралов. С. В. Ковалевская нашла свой случай интегрируемости, исходя из неочевидных аналитических соображений, используя хорошо развитую в то время теорию алгебраических функций (частным случаем которых являются эллиптические функции). Она потребовала однозначности общего решения на комплексной плоскости времени, что привело в будущем к возникновению одного из наиболее продвинутых методов анализа динамических систем на интегрируемость — тесту Пенлеве-Ковалевской. Интеграл Ковалевской уже не имеет естественного симметрийного происхождения, как говорят, его симметрии являются скрытыми, а сама проблема описания движения и явного интегрирования в этом случае является существенно более сложной. [c.14]

Метод Ковалевской. С. В. Ковалевская обнаружила общий случай интегрируемости, руководствуясь не какими-либо физическими соображениями, а развивая идеи К. Вейершрасса, П. Пенлеве и А. Пуанкаре об исследовании аналитического продолжения решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексную плоскость времени. С. В. Ковалевская предположила, что в интегрируемых случаях общее решение на комплексной плоскости не имеет других особенностей, кроме полюсов. Это дало возможность найти условия, при которых существует дополнительный интеграл. Кроме нахожде- [c.130]

Из теоремы Пуанкаре следует, что в планетном варианте задачи трех тел т, то, тг то) не существует других однозначных интегралов, кроме интеграла энергии и интегралов площадей. Результаты Пуанкаре были распространены Пенлеве на задачу п тел. Подробно эти вопросы изложены в учебнике Г. П. Дубошина [5]. [c.815]

Как заметил Пенлеве, эта система с двумя степенями свободы имеет дополнительный первый интеграл. Интегрирование уравнений движения точки сведено Чаплыгиным к обращению абелевых интегралов [37]. Чаплыгин вводит параболические координаты V, т (ш а у О) по формулам [c.109]

В классических работах был получен ряд результатов отрицательного характера. Одним из них является наиболее простая теорема Брунса, уточненная затем Пенлеве. Эта простейшая теорема утверждает, что система вида х = /(ж) в задаче трех и большего числа тел (в прямоугольных координатах) не обладает консервативными алгебраическими интегралами F x), отличными от алгебраических комбинаций семи известных еще в середине XVni в. интегралов. Следует, однако, сказать, что подобный изящный отрицательный результат не имеет какого-либо значения в динамике. Для динамики важно выявить все те независимые интегралы F x), которые являются изолированными. Однако если даже f(x) в системе (1) — алгебраическая функция, то алгебраичность интеграла F[x) этой системы является хотя и достаточным, но ни в какой мере не необходимым условием его изолированности. [c.120]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...