Пенлеве

Интеграл Пенлеве, аналогичный интегралу энергии в некоторых случаях связей, зависящих от времени. В некоторых случаях можно образовать интеграл, аналогичный интегралу энергии, для связей, зависящих от времени. Для таких связей выражения х, у, г через ( , Qi,. .., qj содержат t и кинетическая энергия Г в этом случае не будет однородной относительно q , q ,. . j.. Мы можем написать ее в виде 7"= 7 2+ + о> [c.288]

Далее в уравнениях (1) можно выполнить преобразования, приводящие к обобщенному интегралу энергии Пенлеве (п. 418). Для этого умножим [c.318]

Параметры Родрига 137 Пенлеве интеграл 288, 318 Переменные главные 299, 304 Перемещение возможное 264 Пластинка упругая 74 Плоскость инерции главная 21 [c.485]

Для механической системы имеем так называемый интеграл Якоби—Пенлеве [c.224]

Решения П. у. (трансцендентные функции Пенлеве — спец, ф-ции, не сводящиеся к известным) обладают свойством Пенлеве не имеют др. подвижных (т. е. зависящих от постоянных интегрирования или нач. данных) особенностей, кроме полюсов. Так, решения П. у. 1 —IV не имеют вообще никаких особенностей, кроме полюсов решения П. у. V имеют неподвижные логарифмич. точки ветвления при г=0иг = оо, а решения П. у. VI — при 2 = 0, z = = 1 и 2 = 00. Установление свойства Пенлеве позволяет находить интегрируемые варианты разл. моделей нелинейных явлений и мн. нелинейных ур-ний, решаемых при помощи обратной задачи рассеяния метода. [c.553]

Пенлеве П. Лекции о трении. М. ГТТИ, 1954. 270 с. [c.63]

При отыскании случаев интегрируемости уравнений динамики совершенно новая идея была внесена в аналитическую механику К. Вейерштрассом. Рассматривая задачу о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, он поставил вопрос о том, когда уравнения этой задачи могут быть проинтегрированы в мероморфных функциях времени Подобное применение теории функций комплексного переменного к аналитической механике сразу дало существенные результаты работы С. В. Ковалевской, открывшей новый случай интегрируемости уравнений Эйлера, и работы П. Пенлеве по интегрируемости уравнений второго порядка, приведшие к открытию семейств новых трансцендентных аналитических функций. [c.24]

В связи с тем, что в случаях Лиувилля и Штеккеля возможность решения задачи в квадратурах связана с существованием квадратичного относительно обобщенных скоростей первого интеграла, были предприняты исследования условий, при которых динамические уравнения движения системы допускают подобные интегралы. В этом направлении в конце XIX в. ряд результатов получили Г. Пирро, П. Пенлеве, Т. Леви-Чивита Ж. Адамар 103 и П. Бургатти нашли новые случаи интегрируемости уравнений движения материальной системы (при наличии квадратичных относительно обобщенных скоростей первых интегралов), из которых ранее известные вытекают как частные случаи. Однако до настоящего времени не доказано, что эти случаи интегрируемости явля10тся самыми общими. Работы на эту тему появлялись [c.103]

П. Пенлеве обобщил эту теорему, освободив ее от требования алгебраического характера координат. Он доказал таким образом, что всякий интеграл задачи трех тел, являющийся произвольной функцией координат и алгебраической функцией скорости этих тел, есть алгебраическая комбинация классических интегралов. [c.108]

П. Пенлеве обобщил этот результат в том же нацравлении , что и теорему Брунса, доказав, что, за исключением известных интегралов, не существует других интегралов, однозначных и аналитических относительно скоростей в некоторой достаточно малой окрестности траекторий, имеющих общий оску-лирующий эллипс. При этом он не накладывал никаких ограничений на координаты. [c.109]

Еще в 1878 г. Ф. А. Слудский высказал без доказательства теорему о том, что необходимым условием общего соударения свободных материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона, является аннулирование всех постоянных интегралов площадей в движении системы относительно ее центра инерции. Подобную мысль высказал и К. Вейерштрасс Он показал, что при отличной от нуля нижней границе минимума взаимных расстояний точек системы координаты этих точек являются голоморфными функциями времени в полосе комплексной i-плоскости, ограниченной двумя симметричными относительно действительной оси прямыми. Исследуя вопрос о существовании соответствующих начальных условий движения, он пришел к заключению, что по крайней мере для задачи трех тел такие начальные условия не только существуют, но и представляют собой общий случай, в то время как парное и, тем более, общее соударение точек в конечный момент может произойти только при особых условиях. Вейерштрасс без доказательства также заметил, что координаты точек системы разлагаются в окрестности момента парного соударения t = в ряды по целым положи-J тельным степеням (fj — i) и зависят от бге — 2 произвольных постоянных. Эту теорему доказал П. Пенлеве . Он показал также, что если движение в классической задаче п тел, регулярное до момента ti, в этот момент нарушает регулярность, то минимум взаимных расстояний точек при t-у ti стремится к нулю. Если п = 3, то единственной особенностью движения может быть только парное или общее соударение тел в момент Если и 3, могут быть и такие особенности, когда некоторые из взаимных расстояний, не стремясь ни к каким определенным пределам при t ti, осциллируют в каких угодно границах. П. Пенлеве установил, что начальные условия движения, соответствующие парному соударению, должны удовлетворять определенным аналитическим соотношениям, однозначным относительно координат и алгебраическим относительно скоростей, если по крайней мере массы трех точек отличны от нуля. Найти эти условия удалось Т. Леви-Чивита и Г. Бискончини . Однако эти условия выражаются очень сложными рядами и могут быть использованы непосредственно только в случае, когда соударение происходит через весьма малый промежуток времени после начального момента. [c.112]

Дальнейшее развитие проблемы п тел принадлежит Ю. Д. Соколову многочисленные исследования которого посвящены изучению особых траекторий системы свободных материальных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся с силами, пропорциональными произвольной функции взаимных расстояний. Соколов обобщил на случай произвольных сил взаимо-114 действия в задаче п тел теорему Пенлеве о минимуме взаимных расстояний, теорему Шази о парном соударении в неизменяемой плоскости, теорему Дзио-бека о движении точек в неподвижной центральной плоскости при аннулировании кинетического момента системы относительно ее центра масс и теорему Слудского—Вейерштрасса об общем соударении тел. Он установил нижнюю границу радиусов сходимости разложений координат точек системы около момента регулярного движения. Обобпщв уравнение Лагранжа — Якоби, он исследовал поведение квадратичного момента инерции при стремлении t к некоторому особому моменту ti или оо. Соколов изучил траектории парного соударения в общей задаче трех тел, исследовал характер особых, Точек интегралов прямолинейного движения. Рассматривая ограниченную задачу трех тел в обобщенной постановке, он исследовал поведение искомых функций и доказал существование решения задачи, установил инвариантное соотношение, характеризующее условие соударения. Результаты этих исследований Соколов успешно применил к решению задач о притяжении к неподвижному и равномерно вращающемуся центрам. [c.114]

Эту теорему обобщил на задачу п тел, а затем уточнил французский математик П. Пенлеве. Теорема Пенлеве гласит [c.177]

Этот интеграл носит название обобщенного интеграла энергии, или интеграла Пенлеве-Якоби. [c.122]

Подставляя это выражение в полученное выражение для интеграла Пенлеве-Якоби, находим [c.122]

Если система неконсервативна, но дИ/д1 = О, то система называется обобщенно консервативной, а первый интеграл совпадает с интегралом Пенлеве-Якоби ( 27). [c.280]

В первых трех главах содержится решение проблемы Пуанкаре о несуществовании дополнительного аналитического первого интеграла уравнений вращения тяжелого несимметричного волчка, поставленной в знаменитых Новых методах небесной механики . В четвертой главе рассмотрены динамические эффекты, препятствующие интегрируемости несимметричного волчка рождение бесконечного числа невырожденных долгопериодических решений и расщепление сепаратрис. Впоследствии автор этой книги связал два указанных явления, оба из которых восходят к Пуанкаре. Мы приводим в приложении доклад В. В. Козлова на семинаре в Институте машиноведения РАН, в котором демонстрируется превосходство методов Пуанкаре над стандартными методами теории колебаний при изучении периодических колебаний в системах Дуффинга. В пятой главе приведено решение старой проблемы Пенлеве-Голубева о связи между ветвлением решений уравнений динамики в комплексной плоскости времени и существованием новых однозначных первых интегралов. Эти результаты дали сильный толчок исследованиям по проблеме точной интегрируемости уравнений движения. Современное состояние этой теории изложено в недавней книге В. В. Козлова Симметрии, топология и резонансы в гамильто- [c.9]

Результаты Брунса и Пенлеве в задаче трех тел и Пуанкаре, Лиувилля, Гюссона в динамике твердого тела, касающиеся отсутствия новых алгебраических интегралов. [c.11]

Все только что перечисленные задачи нашли свое отражение в этой книге. Кроме этого, рассмотрена задача Пенлеве [c.12]

До исследований Пуанкаре в классических работах Брунса и Пенлеве [10, 11] был получен ряд результатов отрицательного характера, касающихся существования новых алгебраических интегралов уравнений задачи трех тел. Однако эти изящные отрицательные результаты не имеют какого-либо значения в динамике [12, с. 120]. Свойство интегралов быть алгебраическими в очень сильной степени зависит от выбора независимых переменных, что не соответствует инвариантной природе уравнений динамики. [c.36]

В случае, разобранном С. В. Ковалевской, так же как и в ранее известных, система уравнений движения имеет дополнительный первый интеграл, что и обеспечило возможность их интегрирования в квадратурах. При этом оказалось, что в некоторых естественных переменных переменные Эйлера-Пуассона) во всех случаях интегрируемости дополнительные интегралы являются многочленами, так же как и классические первые интегралы. Таким образом, общее решение представляется мероморфными функциями времени как раз в тех случаях, когда существует новый алгебраический интеграл. Этот результат, естественно, поставил общую задачу о связи между существованием алгебраических интегралов аналитических систем дифференциальных уравнений и мероморфностью общего решения. На важность этой задачи впервые обратил внимание Пенлеве [41]. [c.126]

Вернемся к динамике твердого тела. Теорема С. В. Ковалевской о мероморфных общих решениях была существенно усилена А. М. Ляпуновым [42] и Г. Г. Аппельротом [43], доказавшим, что общее решение уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки представляется однозначными (е частности, мероморфными) функциями времени только в классических случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. В этих случаях дополнительные интегралы, как и классические интегралы, являются многочленами, т. е. рассматриваемые как функции многих комплексных переменных, они однозначны в прямом произведении комплексных плоскостей. Эти результаты указывают на целесообразность расширения задачи Пенлеве какова связь между существованием новых однозначных интегралов и однозначностью общего решения [c.128]

Формально задача Пенлеве об алгебраических интегралах и мероморфных решениях не включается в эту задачу, так как алгебраические функции в общем случае неоднозначны. Однако следует отметить, что при доказательстве отсутствия алгебраических интегралов уравнений задачи о тяжелом твердом теле основная трудность состоит в доказательстве несуществования дополнительного интеграла, являющегося отношением двух многочленов или просто многочленом), который, конечно, однозначен [44]. Кроме того, свойство системы аналитических дифференциальных уравнений иметь ал- [c.128]

Отметим в заключение, что вековое множество задачи о вращении тяжелого несимметричного твердого тела вокруг неподвижной точки играет важную роль при доказательстве отсутствия действительного аналитического интеграла (гл. III), при исследовании рождения изолированных периодических решений ( 2 гл. IV) и, наконец, при решении задачи Пенлеве о ветвлении решений и несуществовании однозначных интегралов ( 3-4 гл. V). Это позволяет с разных сторон рассмотреть классическую задачу об интегрируемости уравнений динамики твердого тела. [c.129]

Задача о движении тяжелой материальной точки по параболоиду (7.13) с вертикальной осью. Она проинтегрирована Пенлеве (1895 г.). Детальный анализ движения параболоидного маятника можно найти в работе Чаплыгина [171]. [c.104]

Основываясь на этих результатах, П. Пенлеве поставил общую задачу о связи между мероморфностью общего решения аналитических систем дифференциальных уравнений и наличием нетривиальных полиномиальных (или, более общо, алгебраических) интегралов. Однако оказалось, что однозначной связи здесь нет. Приведем соответствующие примеры для гамильтоновых систем [c.327]

Актуальность задачи Пенлеве неоднократно подчеркивалась в известных книгах В, В, Голубева [42, 43]. Он же предложил естественное расширение этой задачи выяснить связь между ветвлением решений как функций комплексного времени и наличием однозначных первых интегралов. Как будет показано ниже, при определенных дополнительных условиях общего характера задача Пенлева — Голубева имеет положительное решение. [c.328]

Если тело динамически симметрично, то /, д, h — целые функции, поэтому теорема 1 непосредственно не применима. Однако если среди главных моментов инерции нет равных, то функции f, д и h — эллиптические с простыми полюсами. Следовательно, в случае несимметричного тяжелого твердого тела ветвление решений в плоскости комплексного времени при малых значениях параметра Пуанкаре приводит к несуществованию дополнительных однозначных интегралов. Этот результат, полученный впервые в [79], дает положительный ответ в задаче Пенлеве — Голубева. [c.333]

Пенлеве 574 Планк 571, 574 Прандтль Л. 70, 571, 572 Пуанкаре 572 [c.576]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...