81 — Принципы экстремальны и перемещения

Обратимся к рассмотренному ранее примеру с рычажными весами. Формула равновесия весов (11.8) была получена с использованием условия (11.4) экстремальной функции t/(0). Но следствием принципа виртуальных перемещений является не просто экстремальность, а именно минимальность потенциальной энергии системы. Для выяснения вида стационарной точки на кривой t/(0) надо, как известно, исследовать поведение производных этой функции более высокого порядка, чем первый. Иначе говоря, необходимое условие (11.7) надо дополнить условием, достаточным для устойчивого равновесия fsW>Q, или (52[//<302)а,(>О, т. е. [c.114]

На основании принципа возможных перемещений, выраженного в форме (47), убедимся, что необходимое и достаточное условие равновесия такого рода системы совпадает с необходимым условием экстремальности координаты Z действительно, [c.341]

Докажем, что центр масс находящейся в равновесии системы тяжелых тел занимает экстремальное положение, отложив доказательство второй части принципа Торричелли до изложения теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия при максимуме силовой функции. Ось Z направлена по вертикали вверх. Принцип возможных перемещений для равновесия системы тяжелых тел с массами и координатами аг,, у , z, дает [c.77]

Принцип вариации перемещений (принцип Лагранжа) может быть сформулирован так для истинных перемещений и, v, w функционал полной энергии деформированного тела имеет экстремальное (стационарное) значение, т. е. его первая вариация равна нулю (3.17). [c.55]

Смысл этого условия заключается в том, что из всех мыслимых напряженных состояний тела имеет место в действительности то напряженное состояние, которое сообщает потенциальной энергии конструкции минимальное значение при соблюдении граничных условий. Это экстремальное свойство потенциальной энергии твердых тел было впервые сформулировано Ж. Лагранжей в форме принципа возможных перемещений и опубликовано в его замечательном труде Аналитическая механика в 1788 году. [c.29]

Данная глава начинается с подробного изложения вывода соотношений принципа виртуальных перемещений. Далее кратко излагаются основные понятия вариационного исчисления и подробно изучаются экстремальные принципы минимума потенциальной и [c.151]

Принципы механики подразделяются еще на невариационные и вариационные. Невариационные законы устанавливают соотношение между величинами, имеющими место для действительного движения. Вариационные устанавливают признаки, отличающие действительное движение от всех других движений, кинематически возможных. Примером вариационных дифференциальных принципов служит принцип возможных перемещений и общее уравнение механики. Известен ряд вариационных интегральных принципов, обладающих различной общностью. Наиболее общим является принцип, установленный Гамильтоном и обобщенный Остроградским, или принцип экстремального действия. [c.211]

В заключение отметим, что в основу экстремальных принципов жестко-пластического тела можно положить теорему живых сил (V.29) и уравнения связи между напряжениями и деформациями по деформационной теории пластичности (Х.67), полагая в последних упругие составляющие деформаций равными нулю. Тогда во всех приведенных в этом параграфе формулах, уравнениях и неравенствах можно заменить скорости деформаций малыми деформациями и скорости перемещений Uj перемещениями гх . Деформации выражаются через перемещения по формулам [c.301]

Построена и изучена с точки зрения стационарности и экстремальности система полных и частных функционалов в случае разрывных полей перемещений, деформаций, напряжений и функций напряжений некоторые вариационные принципы для таких полей впервые рассматривались В. Прагером [0.12]. Аналогичные вопросы рассмотрены и в теории оболочек. Необходимость рассматривать разрывные поля в качестве возможных состояний упругого тела возникает иногда при численном решении задач, в частности при использовании метода конечных элементов. [c.10]

Вариационные принципы и экстремальные свойства функционалов теории упругости при разрывных перемещениях, деформациях, напряжениях и функциях напряжений [c.89]

Замечание. Некоторые вариационные принципы теории упругости при разрывных полях перемещений, деформаций и напряжений впервые были рассмотрены без исследования экстремальных свойств в [0.12]. Функционалы с разрывными функциями напряжений и экстремальные свойства получены авторами. [c.94]

О вариационных принципах и экстремальных свойствах функционалов теории оболочек при разрывных перемещениях, деформациях, усилиях и функциях напряжений. [c.131]

Излагаемые ниже экстремальные принципы относятся к предельному состоянию (в момент возникновения пластического течения). При этом в теле, вообще говоря, будут как пластические, так и жесткие области. Последние испытывают лишь жесткие перемещения и в них скорость деформации равна нулю. Вследствие этого энергетические уравнения, аналогичные приведенным в предыдущих параграфах, можно писать по отношению ко всему телу (включая жесткие области). В самом деле, пусть тело содержит пластическую (Vn) и жесткую (VhO области, разграниченные поверхностью i , на которой предполагаем непрерывными скорости и компоненты напряжения (разрывные решения см. ниже). Для пластической части (это уравнение выводится аналогично уравнению (20.7)) [c.86]

Иначе, если виртуальное векторное поле Ь совпадает с действительным векторным полем, то функционал (2.1.7) Ж Лагранжа принимает экстремальное значение. Кроме того, в соответствии с вариационным принципом Ж.Лагранжа среди множества КВ-полей Перемещений (скоростей) Р-поля при условии [c.181]

Формулировки экстремальных принципов для упруго-пластической среды, следующей уравнениям теории течения (при идеальной пластичности и при наличии упрочнения), приводятся в заключительной части главы ( 69). Эти принципы в отличие от предшествующих определяют экстремальные свойства приращений (или скоростей) смещений и приращений напряжений, отвечающих малым приращениям внешних сил или заданных перемещений. Естественно, что такие локальные свойства, связанные с дифференциальным характером уравнений теории пластического течения, труднее использовать для эффективного построения решения, и они интересны прежде всего в принципиальном отношении. [c.285]

По существу говоря, вариационные принципы не являются ни первыми, ни единственными в отношении выделения осуществляющихся в природе движений из всех возможных движений. Уравнения движения Ньютона также выделяют из всех возможных движений — точнее говоря, из всех мыслимых движений — естественные движения, удовлетворяющие аксиомам механики Ньютона, среди которых первая аксиома является частным случаем обобщенного принципа прямейшего пути Герца. Различие в характере выделения группы естественных движений с помощью уравнений Ньютона от выделения их с помощью вариационных принципов состоит в том, что в первом случае условием является только соответствие аксиомам механики, а во втором это соответствие выражено через экстремальное условие, для применения которого небходимо сравнение возможных движений между собой. Нечто аналогичное уже имело место и в принципе возможных перемещений. [c.869]

Ньютона, свое завершение получила одновременно с динамикой в трудах Вариньона (1725 г.) и Пуансо (1834 г.) и далее развивалась относительно самостоятельно как статика сооружений и статика сплошной среды. Как известно, И. Ньютон был твердо убежден в независимости и самостоятельности статики и той механики, которую он изложил в Началах . Спустя несколько десятилетий Л. Эйлер продолжал отстаивать мысль о независимости статики и динамики. Я Герман сделал даже попытку ввести для динамики новый термин — фрономия . Эти взгляды вскоре уступили место убеждению в обнхности статики и динамики, как только появились лервые работы оо аналитической механике и в -первую очёредь — принцип Даламбера, принцип возможных перемещений и экстремально-вариационные принципы механики. Статика стала неотъемлемой частью динамики. Под общим флагом принципа Даламбера эти два раздела классической механики объединились в общем учении — кинетике. [c.91]

Один из этих принципов впервые ввел в теорию упругости выдающийся физик Густав Кирхгоф в одной из своих фундаментальных работ, опубликованной в 1850 г. ). Стремясь в этой замечательной статье развить теорию изгиба тонкой плоской упругой пластинки, он сразу же успешно вывел из экстремального условия для потенциальной энергии линейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка для малых прогибов упругой пластинки (уравнение Лагранжа) и дифференциальные выражения для полной системы двух граничных условий, необходимых для определения формы изогнутой срединной поверхности пластинки. Таким образом, он впервые установил корректные выражения для этих двух граничных условий после многочисленных безуспешных попыток, предпринимавшихся в течение первой половины девятнадцатого столетия математиками французской школы (в том числе Пуассоном). Они утверждали, что поверхность слегка изогнутой упругой пластинки и решение указанного дифференциального уравнения четвертого порядка для прогибов пластинки должны удовлетворять трем независимым граничным условиям, тогда как Кирхгоф установил, что достаточно всего двух ). Он достиг этого применением принципа возможных перемещений, приравняв нулю первую. вариацию определенного интеграла, выражающего полную потенциальную энергию изогнутой пластинки как сумму энергии упругой деформации, вызванной внутренними напряжениями, деформирующими пластинку при изгибе, и потенциальной энергии системы внешних сил (нагрузок), изгибающих пластинку. Внеся вариацию под знак интеграла и применив ее к подинте-гральному выражению, он нашел дифференциальное уравнение [c.142]

Действие. Принцип Гамильтона. Уравнения Лагранжа были получены ранее из уравнений Ньютона для системы связанных материальных точек с помощью принципа виртуальных перемещений и принципа Даламбера — Лагранжа. Однако уравнения Лагранжа можно получить из общего теоретического принципа, носящего название вариационного принципа экстремального (иногда стационарного) действия. (Он же называется принципом Остроград-ского — Гамильтона.) Принцип экстремального действия распространяется не только на механические, но и на квантово-механические системы, поля, поэтому он имеет важнейшее теоретическое значение. [c.207]

Еще более важно, что влияние геометрических изменений на микро- или миниуровне в виде устойчивого и неустойчивого роста трещин, проявляющееся как нелинейность диаграмм а(е) или нагрузка — перемещение при нагружении, для последующей разгрузки или пренебрежимо мало, или такого типа [И], при котором сохраняется как выпуклость, так и нормальность в пространствах нагрузок и перемещений. Экстремальные принципы для приращения нагрузки или [c.24]

Устанавливаемое В. н. м. свойство движения сводится во многих случаях (но не всегда) к тому, что для истинного движения системы нек-рая физ. величина, являющаяся ф-цией кинематич. и динамич. характеристик зтой системы, имеет экстремум (минимум или максимум). При этом В. II. м, могут отличаться друг от друга видом той физ. величины (той ф-]1ии), к-рая для истинного движения является экстремальной, а также особенностями механич. систем и классами тех движений. для к-рых это экстремальное свойство имеет место. По форме В. н, м. можно разделить на дифференциальные, устанавливающие, чем истинное движение системы отличается от кинематически возможных в каждый данны) момент времени, и интегральные, устанавливающие это различие для перемещений, совершаемых системой за конечный промежуток времени. В рамках механики дифференц. принципы имеют более общий характер, т. к. они приложимы к системам с любыми голономными и неголономными связями (см. Голочом-пая система Пеголопомная система). Интегральные принципы в их наиб, компактной форме приложимы только к голономным и даже только к консервативным системам. Однако выражение их через энергию и инвариантность по отношению к преобразованиям координат системы делает ати принципы приложимыми далеко за пределами классич. механики. [c.246]

Принципы Ху — Васидзу и Рейснера — Хелингера являются смешанными принципами и утверждают стационарность, а не экстремальность значений функционала для реальных состояний. Несмотря на это, в приближенных методах (например, в методе конечных элементов), основанных на смешанных вариационных принципах, достигается примерно одинаковая точность таких величин, как перемещения и напряжения, тогда как при использовании принципа минимума энергии хорошая точность может быть получена либо для перемещений, либо для напряжений, но не для обоих одновременно. [c.42]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...