33 — Уравнения основные прогибы

В отличие от этого критерия в ряде работ исследуется возможность бифуркации основного моментного состояния с мгновенным упругим переходом в соседнюю близкую равновесную форму. Момент бифуркации определяется как критический. Возможность бифуркации объясняется интенсивным развитием сжимающих усилий в срединной поверхности оболочки вследствие ее деформирования при ползучести. Такой подход близок к эйлерову. При этом кроме уравнений основного состояния необходимы уравнения устойчивости в малом . Существование нетривиальных вещественных решений этих уравнений для некоторого момента времени свидетельствует о возможности бифуркации. Это значение времени может быть меньшим значения, соответствующего выпучиванию оболочки в большом . Подобная методика использована, например, в работах [18, 20, 21, 71, 84, 91], причем для замкнутых круговых цилиндрических оболочек вводятся осесимметричные начальные прогибы и основное состояние рассматривается как осесимметричное, а близкие формы равновесия — как неосесимметричные. В работе [91] предпринята попытка исследовать устойчивость смежной несимметричной формы равновесия на основе изучения закритического поведения оболочки. [c.6]

Согласно сказанному в 495, это условие должно выполняться, когда w является любой функцией, удовлетворяющей граничным условиям. Очевидно, что какова бы ни была форма этих условий, функцию w всегда можно взять так, что она будет принимать любое значение в любой точке внутри контура. Поэтому поверхностный и криволинейный интегралы в условии (53) каждый по отдельности должны обращаться в нуль. Далее, поверхностный интеграл может обращаться в нуль при любой функции w только тогда, когда величина в квадратных скобках равна нулю во всех точках внутри контура. Таким образом, получаем основное уравнение для прогиба w, а именно [c.604]

Другое направление в исследовании устойчивости, свободное от необходимости введения в расчет детерминированных возмущений, основано на использовании закона ползучести в виде уравнения состояния с упрочнением. Эти постановки берут свое начало от работ Ю. Н. Работнова. При малых прогибах напряжения и деформации по сечению искривленного стержня, пластинки или оболочки мало отличаются от напряжений и деформаций основного состояния (прямолинейное состояние стержня, безмоментное состояние оболочки), что позволяет провести линеаризацию уравнений ползучести относительно этих малых величин и использовать варьированное уравнение состояния. На этой основе линейные уравнения для прогибов стержней и пластин были получены в работе Ю. Н. Работнова и С. А. Шестерикова [139, 286]. [c.257]

Панели, обтекаемые потоком газа криволинейные — Уравнения основные 502 — Флаттер 489, 490 — Флаттер — Указания библиографические 501 -плоские—Флаттер—сн. Флаттер панелей плоских Панели пологие квадратные в плане — Нагрузки — Зависимость от прогибов 189—191 [c.558]

Основная идея метода состоит в замене дифференциального уравнения линии прогибов его конечно-разностным уравнением, полученным для нескольких точек по длине балки. При составлении и решении уравнений ось х графика (рис. 6.6, б) характеризующего изменение функции Y = f х) делится на ряд интервалов длиной h, кг, hi,..., hi, равных между собой, т.е. Н = Ьг = Ы =. .. = hj = h. [c.369]

С учетом зависимостей (2.33)—(2.35) получим уравнение относительно прогиба основной плоскости пластинки [c.349]

Рассмотрим несколько примеров определения деформаций балок методом непосредственного интегрирования основного дифференциального уравнения (10.44), а затем установим правила построения эпюр углов поворота и прогибов, которые необходимы при исследовании деформированного состояния балок при сложной системе нагрузок. [c.273]

Полное перемещение точки В основной системы (от заданной нагрузки и лишнего неизвестного усилия) по направлению Xi, т. е. по направлению удаленной связи (рис. 398, б), должно быть равно пулю, так как в точке В исходная балка не имеет прогиба. Таким образом, дополнительное уравнение перемещений имеет вид [c.397]

Подстановка в (10.133), (10.134) выражений (10.116), (10.117), (10.121) приводит к основным уравнениям теории пологих оболочек с начальным прогибом [c.246]

Решение. Система один раз статически неопределимая, так как число неизвестных опорных реакций равно четырем, а число возможных уравнений статики для данной системы равно трем. Для решения задачи необходимо составить одно дополнительное уравнение совместности перемещений. Один из вариантов основной системы показан на рис. б. В этом случае уравнение совместности перемещений выражает равенство нулю прогиба точки В от совместного действия нагрузки q и неизвестного усилия X и может быть представлено в виде [c.168]

Решая задачу аналитическим методом, углы поворота 0 (д ) и прогибы W (х) вычисляют последовательным интегрированием основного дифференциального уравнения (10.44). Проинтегрировав уравнение первый раз, получим выражение для угла поворота х) [c.292]

На рис. 404, б показана основная система, полученная в предположении, что в качестве лишней неизвестной принята реакция. Такое устройство опоры препятствует повороту и горизонтальному перемещению, но допускает вертикальное перемещение. В этом случае уравнение перемещений (14.2) выражает равенство нулю в основной системе вертикального перемещения (прогиба) точки А. [c.421]

В общем случае изгиба прямоугольных пластинок дело обстоит значительно сложнее. Внутренние силовые факторы и прогибы являются функциями двух независимых переменных х н у в прямоугольной системе координат. Совместное рассмотрение уравнений статики, геометрических и физических зависимостей позволяет выразить все внутренние силовые факторы через функцию прогиба W (х, у). Отыскание этой функции сводится к интегрированию дифференциального уравнения четвертого порядка в частных производных с постоянными коэффициентами. Это основное дифференциальное уравнение технической теории изгиба пластинок имеет следующий вид [c.508]

В последнем случае можно предположить, что пластинка свободно колеблется с частотой основного тона со как система с одной степенью свободы и ее состояние определяется одной обобщенной координатой q r), а прогиб определяют уравнением [c.118]

Уравнения (6.118) выведены в предположении, что оболочка до потери устойчивости получает малые перемещения, поэтому для основного состояния принимают линейную теорию пологих оболочек, а в критическом состоянии прогибы становятся большими, сравнимыми с толщиной оболочки, и используют нелинейную моментную теорию. [c.181]

Формулы (7.34)—(7.38) представляют собой основные уравнения изгиба пластинок в полярной системе координат. Уравнение (7.34) служит для определения функции прогибов срединной плоскости пластинки, а остальные—для составления граничных условий и определения внутренних усилий. [c.147]

Для, приведения основного дифференциального уравнения изгиба пластинки (7.17) к системе линейных алгебраических уравнений приближенное значение функции прогибов ш[х,у) можно выбирать в виде ряда с конечным числом членов [c.153]

Уравнение (7.63) называется основным дифференциальным уравнением изогнутой оси балки. Оно является приближенным, так как при его выводе точное выражение кривизны оси заменено приближенным. Кроме того, не учтены деформации сдвига, связанные с наличием поперечных сил. Определение прогибов и углов поворота поперечных сечений балок, выполненное с учетом влияния поперечных сил, показывает, что в подавляющем большинстве случаев это влияние несущественно и нм можно пренебречь. Порядок определения перемещений поперечных сечений балок с помощью уравнения (7.63) рассмотрим на примере балки, изображенной на рис. 7.56. Балка имеет два участка. [c.291]

Как из основного (приближенного) дифференциального уравнения изогнутой оси балки получаются выражения углов поворота и прогибов ее сечений [c.339]

Отметим, что если задача решается в перемещениях (т. е отыскиваются функции и, V, ю), то в применении уравнения совместности деформаций нет необходимости. В дальнейшем рассматривается смешанная форма решения, согласно которой в качестве основных неизвестных принимаются нормальный прогиб IV и функция напряжений вводимая следующим образом [c.177]

Смешанная форма решения, согласно которой в качестве основных неизвестных вводятся функции прогиба и напряжений [150], предусматривает удовлетворение уравнения совместности деформаций, которое следует из равенств (75) и заменяет соответствующее линейное уравнение (44), [c.189]

Иногда для понижения порядка основного уравнения в качестве искомой неизвестной целесообразно рассматривать не поперечный прогиб, а угол поворота = (х). Тогда заменив в уравнении (3.4) v на и проинтегрировав один раз, получим ЕМ У — No = Ai- Если на одном из торцов стержня (например, при X = 0) поперечные смещения не стеснены, то одним из граничных условий будет — Nq = 0. Следовательно, [c.86]

В 2.06 были приведены основные уравнения проекций кривой прогибов на две взаимно- перпендикулярные плоскости. В проекциях крутильные колебания представлены в форме поперечных колебаний. Если не учитывать влияния гироскопического эффекта, то теряется связь между дифференциальными уравнениями проекций кривой прогибов. Критическую или, лучше сказать, собственную частоту можно при этом вычислить при помощи любого уравнения. Ввиду того что <как замеры, так и расчет поперечных колебаний могут быть в некоторых случаях более простыми, чем замеры и расчет крутильных колебаний, можно практически исполь- 7 Колебания- [c.69]

Все приближенные методы решения, основанные на вычислении кинетической и потенциальной энергии колеблющегося стержня, имеют один общий недостаток. Он заключается в том, что при вычислении потенциальной энергии оперируют со второй производной предполагаемой кривой прогибов. Последнее часто приводит к грубым отклонениям от точных значений собственной частоты. Это неудобство можно устранить тем, что, кроме граничных условий, используют также и основные дифференциальные уравнения задачи. [c.85]

Техническая теория гибких упругопластических оболочек развита в работах [24, 26] техническая теория ползучести тонких оболочек при малых прогибах с использованием деформационной теории и гипотезы старения — в работах [8, 9]. Дифференциальные уравнения ползучести гибких пологих оболочек с физическими соотношениями, линеаризованными относительно основного безмоментного состояния, приведены в работе [18]. [c.16]

Однако оболочка при потере устойчивости может также перейти в новое, достаточно удаленное от основного состояние (хлопок). Критерием такого перехода является стремление скорости изменения прогиба по параметру воздействия к бесконечности при стремлении самого параметра к критическому значению. Это значение определяется при решении нелинейной задачи, сформулированной, например, уравнениями (11.20), (11.21). Такой подход к исследованию устойчивости гибких оболочек при ползучести принят, в частности, в работах [14,82]. Отметим, что закритическое поведение оболочек не исследуется и динамические явления, связанные с нагружением и потерей устойчивости, не рассматриваются. [c.28]

Для реализации первого критерия потери устойчивости используем уравнения устойчивости в малом . Полагаем, что переход оболочки в близкое к основному равновесное состояние происходит при неизменном значении параметра воздействия. При этом прогиб и функцию усилий в срединной поверхности можно представить в виде [c.28]

В случае использования динамических коэффициентов влияния для прогибов при условии, что количество определяемых эксцентриситетов или корректирующих грузов равно количеству плоскостей измерения или коррекции, основное уравнение имеет вид [c.61]

Условие (2.123) является основным соотношением для приближенного решения задачи о равновесии стержней. Как для линейных уравнений равновесия, так и для нелинейных уравнений равновесия представим прогиб у в виде ряда [c.58]

Таким образом, основное уравнение для прогибов ш дилатирую-щего слоя определяется выражениями (8) и (9). [c.31]

Устойчивость оболочек при ползучести исследуем на каждом шаге по времени с использованием двух критериев потери устойчивости. Первый связан с интенсивным ростом скорости изменения прогиба оболочки в период времени, близкий к критическому. Удовлетворение его проверяется на основе решения вариационного уравнения термоползучести (уравнение основного состояния). Второй критерий связан с мгновенной бифуркацией форм равновесия оболочки при ползучести в критический момент времени. Удовлетворение его проверяется на основе анализа вариационного уравнения устойчивости технической теории гибких оболочек, содержащего функции основного состояния. Независимому варьированию подвергаются малые добавки прогиба и функции усилий, связанные с переходом оболочки в соседнее равновесное состояние. Эти критерии являются результатом обобщения критериев потери устойчивости при мгновенном деформировании на случай ползучести. [c.13]

Относительно простые уравнения, учитывающие геометрическую нелинейность задачи, получаются, если ввести допущение о том, что в процессе ползучести оболочки при возмущенном движении, обусловленном некоторыми отклонениями от идеальной формы, напряжения и деформации в ней мало отличаются от напряжений и деформаций основного безмо-ментйого состояния. Введение этого допущения позволяет привести задачу об определении прогибов и напряжений пологой оболочки в условиях ползучести к системе из двух нелинейных интегродифференциальных уравнений относительно прогиба и функции напряжений, зависящих от координат на срединной поверхности и времени [87], Эти уравнения отличаются от уравнений, которые были получены ранее [83, 77] при исследовании условных критериев устойчивости, только слагаемыми, учитывающими геометрическую нелинейность. Сведение задачи к системе из двух уравнений позволяет использовать для решения задач ползучести оболочек эффективный прием, аналогичный тому приему, который был предложен Карманом и Тзяном при решении нелинейных задач для упругих оболочек. Прием состоит в разыскании функции прогибов в виде ft (О Щ (х, у), где Wi x, у) — задаваемые функции координат. Вид функции напряжений устанавливается с помощью уравнения совместности. Второе уравнение интегрируется по координатам приближенно в смысле Бубнова — Галеркина. Задача сводится к системе нелиь ей-ных интегральных уравнений относительно функций интегрирование которых при заданных начальных условиях [c.273]

См. fl.Il, стр, 25, 30—36, 39-—40 [соответственностр. 37, 43—50, 54 русского перевода], Замечание. Основное ( отношение, связывающеё кривизну с изгибающим моментом, впервые было получено Яковом Бернулли, хотя ему не удалось найти правильное значение п<х тоянной, входящей в это соотношение. Тем не менее его работа должна рассматриваться как первый вклад в решение задач о больших прогибах балок. Следуя совету Даниила Бернулли, Эйлер вновь вывел дифференциальное уравнение линии прогибов и приступил к решению различных задач об эластике см. [1.1J, стр. 27 стр. 39 русского перевода], 1.2], т. 1, ip. 30 и 34, а также 1.3], стр. 3 [стр. 17 русского перевода]. В I6.20] приведена известная статья Эйлера о линиях прогиба. После этого задачей об эластике занимался Жозеф Луи Лагранж (1736—1813), выдающийся итальянский математик ), впервые сформулировавший принцип возможной работы и сделавший весьма существенный вклад в динамику. Он рассмотрел консольную балку с нагрузкой на незакрепленном конце (см. 1.1], стр. 39—40 стр. 54 русского перевода], и [1.2], т. 1, стр. 58—61, а также статью Лагранжа [6.21]) краткая биография Лагранжа приведена в[6.4] на стр. 133 и в 6.5] на стр. 250. К числу первых ученых, занимавшихся теорией упругости, относится и Джиованни Антонио Амадео Плана (1781—1864), племянник Лагранжа, исправивший ошибки в работах Лагранжа по теории упругих кривых (см. [1,2], т. I, стр. 89—90, а также работу Плана [6,22]) биографические сведения о нем можно найти в [6.5]. Макс Борн в своей диссертации 6.23] исследовал эластику при помощи вариационных методов (см. [1.13], стр. 927—928 и 932 [c.553]

Клебш з) заимствовал из теории Геринга-Кирхгофа приближенные выводы относительно напряжений и деформаций в малой части пластинки, ограниченной вертикальными плоскими сечениями, и получил уравнения равновесия пластинки, выраженные в проекциях упругих усилий и моментов. Его уравнения распадаются на две группы одна группа содержит растягивающие и гори, зонтальные перерезывающие упругие усилия, а другая группа — упругие пары и вертикальные упругие усилия. Уравнения второй группы относятся к изгибу пластинки, и их форма такова, что если соотношения, при помощи которых упругие пары выражаются через деформацию срздней поверхности, известны, то можно определить вертикальные перерезывающие силы и получить уравнение для прогиба пластинки. Выражения для упругих пар можно получить из теории Кирхгофа. Клебш нашел решение своего уравнения для случая круглой пластинки, защемленной по краям и нагруженной произвольным образом. Кельвин и Тэт сделали невозможными какие-либо дальнейшие сомнения по поводу теории, относящейся к уравнениям равновесия, выраженным в проекциях упругих усилий и пар. Эти ученые отметили, что в случае чистого изгиба выражения для упругих пар могли бы быть получены из теории изгиба балки Сен-Венана объединение двух граничных условий Пуассона в одном условии Кирхгофа они объяснили с т чки зрения прин ципа упругой равнозначности статически эквивалентных систем нагрузок Позднейшие исследования содействовали устранению последних затруднений, связанных с теорией Кирхгофа - ). Одно из препятствий к дальнейшему прогрессу состояло в отсутствии точных решений задач об изгибе пластинок, аналогичных тем, которые были получены fH-Венаном для балок. Те немногие решения, которые были получены подтверждают основной вывод теории, который не был строго доказан, а именно, вид выражений для упругих пар через кривизну средней поверхности. [c.41]

В этой главе вариационны.м методом получены основные дифференциальные уравнения конечного прогиба тонких упругих пологих трехслойнух оболочек несимметричной структуры, состоящих из изотропных несущих слоев и трансверсально изотропного заполнителя. В дальнейшем на основе нелинейных урав-лений введены линейные уравнения местной потери устойчивости. При построении уравнений для несущих слоев используются гипотезы Кирхгоффа — Лява о прямой нормали, для заполнителя — гипотеза о несжимаемости материала в поперечном направлении, и предполагается, что деформация поперечного сдвига по толщине заполнителя распределена по некоторому известному закону. Кроме того, для всех трех слоев принят общий приведенный коэффициент Пуассона V. Теория, не содержащая последнего допущения, при предпосылках, указанных выше, изложена в работах 112, 13, 14]. [c.49]

Если оболочка имеет начальную прогибь, характеризуемую прогибом Wo, то основные уравнения могут быть получены из формул (10.133), (10.134) [c.327]

Связанная система уравнений (50) и (51) по своей структуре аналогична системе, описывающей большие прогибы однородных пластин (см. работу Тимошенко и Войновского-Кригера [163] с. 418), включающей в отличие от системы (50), (51) нелинейные операторы, а также основным уравнениям линейной теории пологих оболочек ([163 ], с. 559). В нелинейной теории пластин й в теории пологих оболочек связь между уравнениями осуществляется через коэффициенты, зависящие от кривизны, а в рассматриваемом здесь случае слоистых анизотропных пластин эта связь вызвана неоднородностью материала (она осуществляется с помощью оператора включающего элементы матрицы 5 /, которые зависят, в свою очередь, от элементов матрицы Ац и матрицы Вц, входящих в исходные соотношения упругости). Это означает, что при постановке граничных условий на краях слоистой анизотропной пластины необходимо одновременно рассматривать силовые факторы и перемещения, соответствующие как плоскому, так и изгибному состояниям. При этом на каждом краю следует сформулировать по четыре граничных условия. [c.178]

Уравнения (2.119) и (2.121) являются основными уравнениями вадачи о больших прогибах пластин. Эти уравнения, полученные Карманом, образуют нелинейную систему восьмого порядка. [c.116]

При обработке нежестких деталей эквивалентные упругие деформации технологической системы определяются, в основном, податливостью. тетали и в установившихся режимах оп [-сываются для различных технологических систем уравнениями прогиба [1]. В соответствии с указанными уравнениями упругие деформации в радиальном направлеиин gy без ч чета замкнутости объекта управления могут рассматриваться как детерминированная нелинейная функция пара-метров летали, составляющих усилия резаиия, координаты х приложения усилия по длине детали н одного или нескольких регулиру-ю г1их воздействий [c.35]

При использовании бифуркационного критерия потери устойчивости (в условиях мгновенного деформирования или ползучести) на каждом шаге по ведущему параметру решения (прогибу, нагрузке или времени) после определения параметров, описывающих основное состояние оболочки, проверяем возможность перехода оболочки от основной осесимметричной к бесконечно близкой циклически симметричной форме, которой соответствует наличие ненулевых вещественных решений однородного вариационного уравнения (П.58) или системы Ритца (П.38) с коэффициентами (П.63), что имеет место при обращении в нуль определителя системы. Возможность бифуркации и форму потери устойчивости (/) численно фиксируем по перемене знака определителя системы (П.38) на некотором шаге по ведущему параметру для некоторого номера гармоники I, который последовательно выбирается из заранее обусловленного диапазона целых чисел, начиная с нуля. [c.51]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...