Теоряя возмущений зависящих от времени

Два последних уравнения можно рассматривать как результат расчета по теории возмущений, зависящих от времени, с Н в качестве возмущающего члена. После [c.87]

Функция распределения по частотам определяется из вероятности конечного состояния в момент времени т. е. величиной < Г 1 5( )>о 2= сц(<) . Имея в виду связь с эмпирическими данными, будем интересоваться в особенности результатами для больших /, а именно для I /4ш. Поэтому теория возмущений, зависящих от времени (см. разд. В2.21), неприменима для решения поставленной проблемы. Согласно уравнению (В2.21-6), зависимость от времени функции состояния 5(0)о может быть точно определена из системы уравнений [c.271]

Сначала рассмотрим вероятность перехода атомной системы ( атома ) из основного состояния (1> в возбужденное состояние 2> в результате одновременного поглощения нескольких (п) фотонов. Существенные результаты могут быть продемонстрированы уже на примере двухфотонного поглощения, и они легко обобщаются на случай п > 2. Применяя теорию возмущений, зависящих от времени (см. разд. В.2.21), получаем [c.462]

Как следует из результатов гл. 3, типичные процессы взаимодействия излучения с атомными системами могут описываться с достаточной точностью при помощи методов теории возмущений, зависящих от времени. При этом последовательные приближения, приводящие к уравнениям (В2.21-11) и (В2.21-12), после некоторого конечного числа щагов обрываются. Такая возможность описания основана как на структуре важнейших характеристических соотношений между величинами, доступными измерению, так и на количественных результатах. Благодаря зависимости оператора взаимодействия от операторов рождения и уничтожения фотонов и от напряженности электрического поля применяемая методика позволяет также осуществить классификацию процессов по числу фотонов, участвующих в элементарном акте или по порядку величины определяющих компонент поляризации. Однако из разд. В2.21 следует, что результаты приближенного расчета такого рода могут быть поставлены под сомнение при сильных взаимодействиях, т. е. при высоких интенсивностях излучения, а также при больших длительностях взаимодействия. [c.480]

Используя, как обычно, первое приближение теории возмущений, зависящих от времени [1]- вероятность перехода из состояния в состояние Р/ под влиянием возмущения (2.12) можно записать в виде [c.10]

Те же выражения можно получить для уравнения с псевдопотенциалом, исходя и из теории возмущений, зависящих от времени. Эта процедура более обычная, и здесь мы будем следовать именно ей. В ее рамках нам удастся более ясно разделить влияние примесей и периодического потенциала. Оказывается удобным вновь вернуться к кристаллу с периодическими граничными условиями. [c.220]

Предположим, что неточности изготовления системы не изменяются со временем. Введение изменяющихся со временем неточностей было бы эквивалентно введению возмущений, зависящих от времени, однако их необходимо исключить. Постоянно действующее возмущение может приводить к неограниченным перемещениям даже в элементах, о которых нужно сказать, что они устойчивы (например, в растягиваемом стержне в линейной теории упругости). Проанализируем далее краевую задачу (9.28). [c.63]

В самом деле, если известно, например, что производная гпг отрицательна и что, следовательно, центр давления расположен за центром масс, то можно сделать вывод лишь о продольной статической устойчивости. Но нельзя сказать, например, какова будет амплитуда колебаний угла атаки при том или ином значении параметра начального возмущения и каким образом по времени будет происходить ее изменение. На все эти и другие вопросы отвечает теория динамической устойчивости летательного аппарата или устойчивости его движения. Эта теория позволяет, естественно, исследовать не только колебания летательного аппарата, но и общий случай движения аппарата на траектории и устойчивость этого движения. Теория динамической устойчивости использует результаты аэродинамических исследований, полученных на режимах неустановившегося обтекания, при котором на тело будут действовать в отличие от статических условий дополнительные аэродинамические нагрузки, зависящие от времени. [c.37]

Обсудим теперь процедуру идентификации для динамической модели (6.33) с переменными параметрами — функциями времени. Как показано в п. 6.2.2, формулы теории возмущений для функционалов выходной характеристики такой модели даются соотношениями (6.51) и (6.53). При этом целесообразно представить возмущенные параметры в виде двух компонент постоянной а.о, известной априорно и не зависящей от времени, и переменной (т) — функции времени, допускающей аппроксимацию вида (6.48) [c.191]

При исследовании устойчивости механических систем, описываемых каноническими уравнениями движения (в частности с гамильтонианом, периоди-134 чески зависящим от времени), существенную роль играет орбитальная устойчивость Применение предложенного А. Н. Колмогоровым метода теории возмущений позволило получить ряд результатов относительно устойчивости и неустойчивости консервативных систем, близких к интегрируемым для бесконечного промежутка времени. При этом выяснилось существенное отличие систем с числом степеней свободы ге 3 от систем с одной или двумя степенями свободы. Так называемые условно-периодические движения, соответствующие интегрируемым системам с п степенями свободы, образуют п-мерные инвариантные многообразия типа тора. Методом Колмогорова доказывается грубость таких торов — они мало видоизменяются, т. е. устойчивы при достаточно малых возмущениях. При и = 1 или п = 2 в фазовом пространстве 2п измерений устойчивые торы лежат в многообразиях 2п — 1 измерений, которые выделяются требованием постоянства энергии, как соосные торы (и = 2) или концентрические кривые п = 1). Поэтому не только траектории, первоначально лежащие на инвариантных торах, но и траектории, находящиеся между ними, остаются между этими торами. В этом случае существование торов гарантирует устойчивость системы. При га >> 3 гг-мерные торы вложены в пространство 2п — 1 измерений, которое они делить уже не могут, т. е. щели между торами сообщаются друг с другом. Поэтому траектория, начинающаяся между торами, несмотря на их устойчивость по отношению к возмущениям, может, извиваясь между торами, уйти на любое расстояние от них, т,. е. оказаться неустойчивой. Примеры, иллюстрирующие эти общие положения, приведены в докладе [c.134]

Предположим, что отдельный ионный центр рассеивает электрон из состояния к в состояние р. Будем рассматривать только такой случай, когда рассеяние упругое, т.е. электроны могут переходить из одного состояния в другое только с одной и той же энергией. Расчеты выполняем довольно просто при помощи нестационарной теории возмущения Дирака. Таким образом, напишем зависящее от времени уравнение Шредингера [c.57]

Для обширного класса задач теории упругой устойчивости уравнения возмущенного движения содержат коэффициенты, периодически зависящие от времени. Таковы задачи об устойчивости установившихся вынужденных колебаний упругих систем прямолинейного упругого стержня, сжатого периодической продольной силой, упругой пластины или оболочки, совершающей периодические колебания в условиях безмоментной деформации, и т. д. К этому классу примыкают также некоторые задачи теории упругих колебаний для систем, параметры которых периодически изменяются во времени. Явления неустойчивости в таких системах называются параметрическим резонансом. [c.353]

Если первый метод основан на теории возмущений, то второй подход является точным. Спрашивается, зачем думать о расчётах по теории возмущений, если есть точный метод Для точного подхода существенно, что взаимодействие между полем и атомами не зависит явно от времени. Поскольку поле находится в точном резонансе с атомами, такое условие выполняется. Однако для нерезонансного взаимодействия, в которое из-за отстройки входят зависящие от времени фазовые множители, такой метод, вероятно, применить нельзя. [c.579]

В заключение коротко остановимся на способе интерпретации основополагающего уравнения (1.11-16) с точки зрения квантовой физики. Вещество во введенном выше объеме V следует описать обычным квантовомеханическим способом (квантование при фиксированном числе частиц). Поле излучения описывается классически, что соответствует приближению квантовой теории поля при большом числе фотонов. Энергетическая связь материальной системы с полем излучения осуществляется через (( ) Для рассмотрения возникающей диссипации энергии материальная система, рассматриваемая как динамическая, связывается с диссипативной системой. В принципе можно приписать поляризации вещества в объеме V некоторое доступное измерению математическое ожидание (вероятное значение). Применяя зависящую от времени теорию возмущений Дирака, легко показать, что это изменяющееся во времени вероятное значение так же зависит от Е. 1), как и классическая величина Р. (<) в уравнении (1.11-16). Это справедливо при сделанных выше предположениях, соответствующих дипольному приближению. Функции. ..... [c.41]

Сначала мы образуем математическое ожидание <М( )>, применяя [ср. уравнение (В2.21-11)] не зависящую от времени теорию возмущений второго порядка [c.97]

Как известно, из общих выражений для функций восприимчивости п-го порядка во временном представлении можно путем преобразования Фурье получить соответствующие величины в частотном представлении мы пойдем, однако, по другому пути и получим эти функции непосредственно из теории возмущений для поляризации, причем мы с самого начала заменим зависящие от времени напряженности поля их фурье-образами. [c.223]

Обратимся опять к энергетическим уровням системы. Можно было бы в качестве альтернативы описывать эти состояния в рамках теории рассеяния электронов. Это, конечно, можно сделать с помощью функций Грина в таком случае мы нашли бы, что вероятность рассеяния пропорциональна мнимой части собственной энергии электрона. Будет, однако, проще опять вернуться к зависящей от времени теории возмущений, которую мы использовали при рассмотрении рассеяния электронов на примесях. [c.253]

Эти матричные элементы определяют не только рассеяние электронов, но и сдвиг энергии электронных состояний. Мы рассмотрим оба эффекта. Сначала изучим рассеяние, пользуясь зависящей от времени теорией возмущений. При использовании метода псевдопотеициала в качестве нулевого приближения для состояний [c.443]

Как обычно принято в теории зависящих от времени возмущений, будем [c.255]

Вероятность того, что за единицу времени нейтрон за счет своего взаимодействия с ионами испытывает рассеяние, отвечающее изменению импульса от р до р, почти всегда рассчитывается с помощью золотого правила , справедливого в низшем порядке зависящей от времени теории возмущений ) [c.382]

Рассматривая в каждый момент времени квазистационарное течение на линии растекания зависящим от времени только как от параметра, характеристики устойчивости, такие, как критическое число Рейнольдса Ке, кривые нейтральной устойчивости и инкременты нарастания неустойчивых возмущений, могут быть найдены с использованием линейной теории устойчивости [3-5] совершенно так же, как и в случае полностью стационарного невозмущенного пограничного слоя. При этом параметры устойчивости будут, естественно, являться функциями времени и для каждого момента времени значения Ке и скоростей нарастания возмущений будут определяться профилями основного пограничного слоя на линии растекания, которые в свою очередь являются функциями температуры поверхности или скорости отсоса в данный момент времени. [c.53]

Хотя это и выходит за рамки предмета данной книги, следует упомянуть, что влияние неравномерности потока на входе в решетку наиболее трудно поддается расчету по теориям нестационарного течения. Описание нелинейных явлений, например, таких, как динамический срыв, его интенсивность и развитие, зависят от совершенства моделирования гистерезиса потерь и неоднородностей во всех трех измерениях. Разработан метод для оценки прохождения зависящего от времени периодического возмущения полного давления через высоконагруженную решетку профилей [8.145]. [c.251]

Теория возмущений, зависящих от времени, применима и для полупроводников, где мы рассмотрим взаимодействие частицы положительной энергии с атомом донора, несмотря на то, что здесь существует связанное состояние. В этих случаях псевдопотенцнал надлежит выбрать таким образом, чтобы он приводил к фазам меньшим п. Такой выбор возможен всегда, когда либо в полупроводнике, либо в простом металле рассеивателем служит атом непереходного элемента. Как мы увидим в следующем параграфе, этот метод годится даже в случае атома переходного металла, если только интересующее нас состояние не слишком близко к резонанс. [c.220]

Формула (13.36) определяет (в линейном по электрическому полю приближении) ток, создаваемый полем в отсутствие столкновений, так как можно считать, что предел больших ат соответствует пределу т —оо при фиксированной частоте о). Однако в отсутствие столкновений нетрудно точно квантовомеханически рассчитать изменение блоховских волновых функций, вызываемое электрическим полем в линейном порядке по полю. Зная эти волновыэ функции, можно вычислить среднее значение оператора тока в линейном порядке по полю. В результате мы получим полное квантовомеханическое выражение для о (о)), которое не основывается на приближениях полуклассической модели. Такой расчет является стандартной задачей на применение первого порядка теории возмущений, зависящих от времени. Из-за его громоздкости мы приведем здесь лишь конечный результат ) [c.253]

Соотиошення Эйнштейна справедливы для любой материальной системы. Различия между разными веществами заключаются в вероятности перехода, которая должна быть оценена квантовсмеханическн. В 3 этой главы для определения вероятности перехода используется золотое правило Ферми, пред-. ставляющее собой результат применения теории возмущений, зависящих от времени, к взаимодействию электронов в твердом теле с электромагнитным излучением [3]. В соответствии с этим правилом вероятность перехода можно записать в виде квадрата матричного элемента, в который входят волновые функции начального и конечного состояний для данного перехода. [c.133]

Взаимодействие электронов в полупроводнике с электромаг-1ШТ11ЫН излучением описывается с пом ощью теории возмущений, зависящих от времени [3]. В этом случае сначала определяются характеристики системы в отсутствие излучения, а затем вычисляется их изменение, происходящее вследствие взаимодействия системы с излучением. Если возмущающие воздействия дают сходящийся ряд теории возмущений, то могут быть получены решения для реальной задачи. Вместо того чтобы проводить трудоемкий непосредственный анализ этого вопроса, мы приведем хорошо известное соотношение, получающееся в результате такого анализа и называемое золотым правилом Ферми. Решение уравнения Шредингера с периодическим по времени возмущением [c.145]

Довольно общий приближённый метод К. м.— возмущений теория, применимая в случаях, когда дополннт. взаимодействие, рассматриваемое как возмущение, может считаться малым. При этом постановка задачи различна для возмущений, зависящих и не зависящих от времени. В последнем случае с помощью аппарата т. н. стационарной теории возмущений обычно ищут сдвиги дискретных уровней энергии или их расщепления (когда имеется вырождение) и соответствующие волновые ф-ции. Для возмущений, зависящих от времени, обычно ставится задача определения вероятностей переходов между разл. состояниями системы под влиянием возмущения. Между состояниями, принадлежащими сплошному спектру энергии, подобного рода переходы могут возникать и под действием возмущений, не зависящих от времени. В обоих случаях используется т. в, нестационарная теория возмущений. Одним из распространённых применений этой теории к задачам рассеяния является борновское приближение. [c.292]

В заключение рассмотрим в общих чертах теорию релаксации матрицы плотности при взаимодействиях системы с квантованными случайными полями. Однородное уширение оптических линий часто обусловлено спонтанным излучением фотонов или фононов. Фононное поле можно проквантовать таким же образом, как и электромагнитное поле. Для упрощения вычислений рассмотрим только два энергетических уровня а > и Ь ) гамильтониана Жй материальной системы. Гамильтониан поля (электромагнитного или колебательного) обозначим через Жf. Предположим, что взаимодействие между материальной системой и полем можно представить в виде произведения оператора О, действующего на материальную систему, и оператора Р, действующего на полевые переменные. Стохастическое возмущение, зависящее от времени, равно [c.104]

Рассмотрим теперь дальнейшее развитие ударной теории, учитывающее нестационарность процессов столкновений. Как уже отмечалось. и в статистической теории, и в изложенных вариантах ударной теории процесс столкновения рассматривался квазистационарно. Однако, очевидно, при близких столкновениях это условие не будет выполняться. Кроме того, на коротких расстояниях между сталкивающимися атомами поле, создаваемое одним из атомов в месте, где находится второй атом, не может считаться однородным. Оба эти обстоятельства при строгом теоретическом рассмотрении должны учитываться. Попытка такого учета неоднородности поля сделана В. С. Милиянчуком [ 2]. Нестационарность процесса столкновения рассмотрена в работах Л. А. Вайнштейна и И. И. Собельмана [ ], которые решают уравнение Шредингера во втором приближении нестационарной теории возмущения. Воздействие возмущающих частиц на рассматриваемый атом описывается зависящим от времени потенциалом V t). Как и в теории Линдхольма, сдвиг и ширина линии выражаются через два эффективных [c.503]

Применительно к устойчивости равновесия консервативных систем с конечным числом сте,-пеней свободы при случайных возмущениях, не зависящих от времени, перечисленные задачи могут быть решены в рамках теории вероятностей. Это утверждение остается верным и для распределенных систем, если они аппроксимируются системами с конечным числом степеней свободы [5].В общем случае, когда исследуемое движение шш возмущения зависят явно от времени, требуется применение методов теории случайных функций [8]. Многие задачи о нахождении вероятности прибывания системы в заданной области родственны задачам теории надежности [11]. [c.525]

Важным для обоснования универсальности метода функций Ляпунова является вопрос об обратимости основных теорем, лежащих в основе этого метода. Действительно, если вторым методом Ляпунова пользоваться как основным при решении задач устойчивости, то должна быть уверенность, что соответствующие функции в самом деле существуют. Сам А. М. Ляпунов не рассматривал вопроса о существовании в общем случае функций, удовлетворяющих его основным теоремам. Этот вопрос впервые был поставлен Н. Г. Четаевым перед участниками его семинара по устойчивости в Каэаня и к настоящему времени разрешен трудами ряда советских и иностранных ученых. Первой работой в этой области была статья И. Г. Малкина (1930), в которой рассматрива лись автономные системы второго порядка. Было показано, что для устойчивого установившегося невозмущенного движения может не существовать знакоопределенной не зависящей от времени функции, производная которой в силу уравнений возмущенного движения была бы знакопостоянной противоположного знака однако можно найти такую функцию, зависящую явно от времени. [c.18]

Статнстич. оператор р (г) применяется в теории необратимых процессов. Еслп при t — со система с гамильтонианом Я находилась в состоянии статистич. равновесия, а затем адиабатически было включено внешнее возмущение H (напр., электрич. или магнитное ноле), зависящее от времени, то с помощью р (г) можно найти реакцию системы на внешнее возмущение. [c.159]

Таким образом, необходимый для расчета однофононного комбинационного рассеяния света гамильтониан в представлении вторичного квантования описывается формулами (6.84), (6.86), (6.87) и (6.89). Ясно, что нам следует описать процесс, при котором происходит переход из состояния Т,- в состояние через промежуточные состояния Непосредственная проверка совокупностей операторов, входящих в (6.86) и (6.89), показывает, что для интересующего нас процесса требуется, чтобы совокупность операторов ЖеяШеьШек, действуя на давала функцию Тг. Это, очевидно, процесс третьего порядка. Вычисление членов ряда теории возмущений третьего порядка можно выполнить в компактной форме, произведя каноническое преобразование [49]. Рассмотрим для этого не зависящее от времени уравнение Шредингера для полной системы излучение 4- вещество [c.85]

Как обычно принято в теории зависящих от времени возмущений будем считать величину Шар в конце промежутка времени много большей, чем 1/ р. Тогда пределм интегрирования в ( Ш.23) можно заменить на +ОЭ и для вероятности перехода Р ер (впредь черту опускаем) получим выраженже [c.255]

Анализ распространения по пограничному слою малых двумерных возмущений в ряде случаев сводится к решению одного нелинейного уравнения относительно некоторой функцш , зависящей от времени и продольной координаты [209]. Если амплитуда а и длина волны / возмущений удовлетворяют условиям Ке < а < 1, / = 0(Ке а ), где число Рейнольдса Ке —> определено по характерному размеру обтекаемого тела, то двумерное поле течения в пограничном слое может быть построено в результате решения уравнения Бюргерса [257] при сверхзвуковом режиме обтекания и уравнения Бенджамина-Оно [211, 212] при дозвуковых скоростях набегающего потока. Упомянутые уравнения, выведенные в [209] с помощью асимптотических разложений решений полной системы уравнений Навье-Стокса, рассматриваются в [210] как следствие предельного перехода в теории свободного взаимодействия [78, 79, 81] к высокочастотным крупномасштабным возмущениям. [c.90]

Пусть в отсутствие внегпнего потенциала У электроны описываются полным набором блоховских волновых функций Ф к = к) в состояниях с энергией Е (в схеме расгппреппых зон можно не писать номер зоны, поскольку номера различных зон можно задавать различными векторами обратной регпеткп). Из теории возмущений для потенциала, периодически зависящего от времени волновая функция под действием возмущения принимает вид [c.33]

Анализ переходных режимов наиболее полно разра- ботан в теории автоматического регулирования [Л. 20— 23]. Приведем основные сведения и соотношения по этому вопросу. Допустим, что исследуется некоторая функция у, зависящая от параметра. ) . Теория рггулирозання предполагает, что изменение параметра х (возмущение) происходит скачкообразно в момент времени т = 0. Как показывают многочисленные аналитические и экспериментальные исследования, изменение функции у в общем случае подчиняется закономерности, показанной на рис. 5-1 (кривая 3). В теории регулирования эти кривые именуются разгонными характеристиками. Как видно из графика, протекание исследуемой функции у может быть подразделено на три периода. Первый период то — чистое запаздывание, т. е. время, в течение которого никаких изменений с исследуемой функцией не происходит. Далее следует так называемое емкостное запаздывание Хе, на протяжении которого скорость изменения [c.107]

Однако теория возмущений не всегда применима. В таких случаях пользуются др. методами, в к-рых центр, роль играют рассмотрение М. р. в целом и изучение общих свойств её матричных элементов, прямо описывающих амплитуды процессов рассеяния и рождения. Гейзенберговы локальные операторы могут быть тогда выражены через расширенную за поверхность энергии М. р. и играют важную роль, поскольку через них накладывается центральное в 5-матричном подходе условие причинности Боголюбова. Это условие приводит к обращению в нуль матричных элементов М. р. в определ. пространственно-временных областях. С др. стороны, условие унитарности в комбинации с положительностью масс всех состояний полной системы (условием спектральности) приводит к обращению в нуль фурье-образов тех же матричных элементов в определ. импульсных областях. Из этих двух свойств можно вывести, что для каждого заданного числа и сорта частиц амплитуды всех возможных реакций суть граничные значения одной аналитической функции многих комплексных переменных, фактически зависящей лишь от их лоренц-инвариантных комбинаций. Из этих свойств голоморфности можно вывести ряд непосредственно связывающих опытные факты физ. следствий. Так, в простых случаях двухчастичного рассеяния, напр. для рассеяния пионов на нуклонах, выписываются дисперсионные соотношения, выражающие вещественную часть амплитуды рассеяния через интеграл от её мнимой части (см. Дисперсионных соотношений метод). На этом пути приходят и к др. важным модельно независимым результатам, не опирающимся на конкретную форму взаимодействия, таким, как перекрёстная симметрия, правила сумм, асимптотические теоремы, результаты относительно асимптотич. автоиодельно- [c.72]

Чтобы получить представление о том, как термические возмущения могут быть включены в теорию, рассмотрим систему заряженных частиц, скажем, электроны в плазме или электроны проводимости в кристалле. Тепловое равновесие системы описывается общей температурой Т и равновесным значением химического потенциала /1. Мы предположим, что неравновесное состояние достаточно хорошо описывается величинами T r,t) и /х(г, ), зависящими от координат и времени, т. е. систему можно разделить на малые подсистемы, каждая из которых находится в состоянии, близком к локальному равновесию. В континуальном пределе соответствующий локальноравновесный статистический оператор имеет вид [c.406]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...