6-Функция представление в виде интеграла

Представление функции в виде интеграла Фурье имеет большое значение для тех диференциальных уравнений физики и техники, где ищется решение в бесконечном промежутке (например теплопроводность неограниченной среды). [c.461]

Ключом для решения уравнения (4.1), (4.2) является представление гипергеометрической функции в виде интеграла [8] [c.70]

Последнее выражение является представлением дельта-функции в виде интеграла Фурье. [c.66]

Задача разложения в спектр непериодической функции F(t) математически решается представлением ее в виде интеграла Фурье, что законно при выполнении некоторых условий, которые были сформулированы ранее. Физически эта операция получения непрерывной суммы бесконечно большого числа синусоидальных компонент сводится к регистрации спектральным прибором сплошного спектра. [c.70]

Задание случайной функции X (t) через белый шум в виде интеграла (6.57) - называется интегральным каноническим представлением случайной функции, а задание корреляционной функции в форме интеграла (6.59) называется интегральным каноническим разложением корреляционной функции случайной функции X (t). [c.209]

Наиболее эффективные методы расчета решеток основаны на использовании методов теории функций комплексного переменного и, в частности, на применении основных представлений этих функций в виде интегралов и в виде рядов, являющихся, соответственно, обобщениями на решетчатые области интеграла Коши и ряда Лорана. [c.34]

Предположим, что несущая частота воздействия со является фиксированной. Функция q (t) допускает представление в виде интеграла Фурье ее спектральная плотность выражается через б-функцию Дирака [c.81]

Применяя подстановку tg = и используя известное представление бета-функции в виде несобственного интеграла [c.184]

Представление любой исходной функции р(г) в виде интеграла Фурье (37а,б) по экспоненциальной функции ехр 2я1(8г) с непрерывно изменяющимся коэффициентом F S) является обобщением представления в виде ряда Фурье [c.23]

Область V ограничена поверхностью 5. Внутри 5 и и V непрерывны и содержится точка Гь В конкретных задачах 5 должно содержать поверхность металлических тел и внешнюю поверхность, которую в некоторых случаях мы будем устремлять в бесконечность. Эта формула — основная в дальнейших построениях параграфа. В обоих интегралах справа Г1 является параметром, который входит в О дифференцирование и интегрирование производят по г. Применение функции Грина обычно приводит к представлению решения в виде интеграла, зависящего от параметра. [c.107]

В общем случае будем считать функцию (г) такой, что она допускает разложение в ряды по функциям Бесселя или представление в виде интеграла Фурье-Бесселя. В этом случае решение рассматриваемой задачи получится в виде комбинации частных решений, найденных [c.653]

Полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби можно найти в некоторых случаях для функции Гамильтона специального вида, допускающего разделение переменных, т. е. представление полного интеграла как суммы функций, зависящих каждая лишь от одной из обобщенных координат. [c.541]

Заметим, что возможность представления функции В (г) в виде интеграла Фурье (5.40) вытекает уже из условия (5.37), а спектральное разложение (5.36) здесь нужно лишь для доказательства [c.218]

А.2.1. Представление волновой функции в виде контурного интеграла. Используя известное интегральное представление полиномов Эрмита, можно представить волновую функцию гармонического осциллятора в виде контурного интеграла [c.664]

Предположим, что функция /1(2) произвольна, а /2(2) линейна, т. е. может быть записана в виде /2 (г) — кг + Ь (известное вз курса математики уравнение прямой линии, где к — угловой коэффициент прямой, Ь — отрезок, отсекаемый ею на оси ординат). Пусть графики этих функций имеют вид, представленный на рис. 7.59. Ддя вычисления интеграла [c.214]

Решение задачи можно получить по методу Фурье, но при этом на функцию f(x) накладываются определенные ограничения, связанные с возможностями представления функции /(х) в виде интеграла Фурье. Для этого достаточно потребовать, чтобы существовал интеграл [c.71]

Методы теории вычетов могут быть использованы и для задач, в каком-то смысле обратных рассмотренным выше. Часто оказывается полезным выразить какую-либо функцию через контурный интеграл. При этом интегральное представление сложной функции может оказаться удобным для исследования, если подынтегральное выражение в контурном интеграле имеет простой вид и содержит элементарные функции. Кроме того, деформируя контур в соответствии с теоремой Коши, можно получить различные приближенные оценки для интегралов, например их асимптотические оценки. В частности, если функция задана рядом, то представление суммы ряда через контурный интеграл позволяет в некоторых случаях найти сумму ряда в конечном виде. [c.550]

Вопрос о возможности представления в виде интеграла (42.11) всякой обобщенной аналитической функции, регулярной в D, решается положительно. [c.407]

Впервые на возможность использования представления поля ф(г) в виде интеграла Гюйгенса—Кирхгофа (2.50) при расчетах функций когерентности второго и четвертого порядка в случайных средах было указано в работе [64]. В ней получены интегральные представления для Т2 х, рг) и на основе (2.50) [c.30]

Если изменения функции (х) таковы, что полином степени т—1 недостаточен и для адекватного описания (х) требуется полином более высокой степени, то погрешность (11.11), вообще говоря, отлична от нуля. Возникает вопрос, можно ли даже и в этом случае устранить погрешность, выбрав точки х/ не произвольно, а некоторым надлежащим образом Это достигается с помощью описанной ниже квадратурной формулы . Такая формула дает значение интеграла от функции, представленной, в виде полинома степени 2т— 1, согласно (11.10), с нулевой погрешностью. Для получения этой формулы запишем (х) в виде следующего полинома степени 2т — 1 [c.229]

В п. 6.3 мы впервые встретились с представлением функции времени г (/) в виде интеграла Фурье. Здесь. мы покажем, как найти непрерывный частотный спектр для любого разумного импульса, а также приведем несколько примеров, представляющих большой интерес для различных областей физики. [c.270]

Заметим, что сама возможность представления функции В (г) в виде интеграла Фурье (11.46) вытекает уже из условия (11.41), а спектральное разложение (11.40) здесь нужно лишь для доказательства того, что функция F k)— lim Z(Aft)p/Aft должна быть неотрицательной. [c.21]

Выражение (6.25) есть представление функции s t), ограниченной во времени, в виде интеграла Фурье. Оно может быть записано в более компактной форме, если определить [c.141]

Общее представление звукового поля внутри области г Я, г Го должно содержать еще выражения, позволяющие удовлетворять условия сопряжения на границе г = Го, г Я. Соответствующий набор частных решений будем строить, по сути, из решений, вошедших в представление (2.123), но теперь определяющими будут условия на цилиндрической поверхности. Для их удовлетворения надо иметь соответствующий набор тригонометрических функций. Поскольку интервал, на котором необходимо удовлетворить условия, бесконечен, такой набор вместо ряда должен представляться интегралом. С учетом этих соображений вторую составляющую выражения для давления в области / представим в виде интеграла Фурье [c.97]

Разложение волн с любой зависимостью от времени на гармонические волны разных частот — это пример так называемого спектрального разложения-, представления данной функции в виде линейной суперпозиции (ряда или интеграла) стандартного набора функций с более простыми свойствами. Если эти вспомогательные функции изучены, то исследование других функций сводится к определению коэффициентов в спектральном разложении. В акустике (и в других волновых науках) в качестве такого стандартного набора удобно пользоваться гармоническими функциями времени, представляя заданную волну в виде интерференционной картины гармонических волн разных частот. Спектральный подход освобождает нас от необходимости исследовать каждую волну со своей зависимостью от времени в отдельности каждая звуковая волна оказывается представленной в виде суперпозиции гармонических функций, и рассмотрение временной зависимости оказывается упрощенным до предела. [c.72]

Для того чтобы определить положение полюсов на комплексной плоскости 1>, необходимо вычислять цилиндрические функции комплексного индекса. Это можно сделать, использовав представление функции Ханкеля в виде интеграла Зоммерфельда. Для функции в случае тонкой оболочки можно взять выражение, определяющее механический импеданс тонкой цилиндрической оболочки [63] (с поправкой, указанной выше). Уравнение (5.33) решается подбором значений корней методом перевала. Вычисленные в работе [32] значения корней приведены в табл. 5.1. [c.229]

МЫ видим, что она является регулярной в полуплоскости Кер>1 (область, в которой функция F (р) может иметь особенности, на рис. 144 заштрихована) и убывающей при р оо. Чтобы построить обратное преобразование, представим функцию f t) в виде интеграла по переменной t от произведения конечной при всех t функции /(f) ехр — оО. тае о>Я, и б-функции 6(i—f), для которой затем воспользуемся известным интегральным представлением [c.359]

Для широкого класса сигналов, которые не являются ни периодическими, ни переходными, производить классическое разложение в ряд Фурье невозможно. Нельзя также использовать представление в виде интеграла Фурье. Часто причины этих флуктуаций не совсем ясны. Такие функции называются случайными функциями или случайными процессами. Анализ этих случайных сигналов основан на том, что их можно рассматрпвать статистически и, следовательно, описывать в соответствии с положениями теории вероятностей. С помощью обобщенного гармонического анализа статистическое описание случайного процесса можно связать с его спектром. [c.12]

Асимптотику плоского течения можно получить как из теории аналитических функций, так и независимо от нее, используя представление скорости в виде интеграла Пуассона. Эта асимптотика имеет вид [c.64]

В этой главе рассмотрены методы, основанные на представлении искомого поля в виде интеграла Фурье. После того как формальное решение в этом виде получено, его исследование производится путем деформации контура интегрирования в пло-СК0СТР1 комплексной переменной. Подробно рассмотрены математические приемы, связанные с такой деформацией, в частности — выделение однозначной ветви многозначной функции путем проведения разрезов и др. Основным результатом являются приближенные формулы для поля на большом расстоянии от источника и для амплитуд поверхностных волн. Метод применяется к телам бесконечным ( 16, 17) и полубесконечным ( 18). Для бесконечных тел решение в виде интеграла Фурье находится легко, центральной задачей исследования является получение приближенных выражений. [c.154]

Настоящий параграф будет посвящен важному вопросу о приложении к случайным процессам и полям методов гармонического анализа, т. е. о разложениях Фурье таких случайных функций. Известно, что представление исследуемых функций в виде рядов или интегралов Фурье очень широко (и с большой пользой) используется во многих задачах математической физики. При этом, однако, приходится иметь в виду, что представление в виде ряда Фурье возможно лишь для периодических функций, а в виде интеграла Фурье — лишь для функций, достаточно быстро убывающих на бесконечности. Между тем в приложениях часто встречаются и непериодические незатухающие на бесконечности функции, которые, строго говоря, нельзя разложить ни в ряд, ни в интеграл Фурье. Отметим, что в физической литературе, тем не менее, и для таких функций довольно часто формально выписываются Фурье-представления, использование которых во многих случаях явно приводит к правильным результатам, несмотря на их очевидную математическую нестрогость. Объяснением этого факта может служить то обстоятельство, что в приложениях непериодические и незатухающие на бесконечности нерегулярные функции одной или нескольких переменных очень часто естественно считать реализациями некоторого стационарного случайного процесса или однородного случайного поля (для которых, очевидно, не может быть никакого затухания на бесконечности), а для этих типов случайных функций на самом деле всегда возможно разложение Фурье (иначе — спектральное разложение) специального вида, имеющее простой физический смысл. [c.207]

Значительное увеличение информативности спектральных систем в настоящее время достигается с помощью использования интегрально-кодовых преобразований. Кодирование исследуемого излучения осуществляется, как правило, путем представления спектра в виде интеграла по системе ортогональных функций. Такими функциями являются Фурье-ряд (Фурье-спек-троскопия), функции Уолша (Адамар-спектроскопия) и др. Спектральные приборы, в которых использован принцип интегрально-кодовых преобразований для получения спектра излучения, относятся к четвертой группе. [c.421]

Асимптотические выражения, рассмотренные выше, становятся сингулярными, когда Л" (5, ) = О или стационарная точка подходит близко к граничной. Для того чтобы избавиться от этих сингулярностей и получить асимптотически правильное представление дифракционного интеграла, мы можем заменить его сравнительным интегралом, который в асимптотическом представлении, приведенном в предыдущем разделе, имеет те же самые сингулярности. Этот интеграл обычно выбирают из класса известных специальных функций, таких, как комплексный интеграл Френеля функция Эйри Ai(л ) или функция параболического цилиндра В окрестности тех значений параметров, для которых обычное разложение расходится, дифракционный интеграл нужно представить в виде произведения сравнительного интеграла на асимптотический ряд, который принимает конечное значение при выполнении условия сингулярности. В большинстве случаев точное вычисление суммы ряда не требуется, так как сравнительный интеграл с достаточной степенью точности равен искомому полю, что, однако, верно лишь до тех пор, пока мы находимся достаточно далеко от критических областей, так что обычные разложения справедливы. Иными словами, выражение, полученное с помощью сравнительных интегралов, постепенно и непрерывно переходит в ряд Лунеберга — Клейна. Поэтому представление, основанное на сравнительных интегралах, называют однородным, а соответствующий подход — однородной асимптотической теорией, В следующих разделах мы рассмотрим наиболее интересные частные случаи. [c.353]

Что касается подбора отобра-X жающих функций вида (3) и (4) для односвязных областей, то здесь целесообразно пользоваться представлением интеграла Кристофеля-Шварца [25] в виде рациональной функции с выделением главной особенности в виде интеграла, Фиг. 5. представляемого быстросходя- [c.138]

Соотношения (4) и (5) непосредственно получаются из формул обращения Мелина, но они могут быть доказаны упрощенным методом, который наглядно иллюстрирует представление функции / (х) в виде интеграла от комплексной переменной. Нил е приводится этот метод в несколько сокращенном виде ). [c.499]

Исходя из области существования функции Pn T, L) t, х), определяемой уравнением(1.93), лг(г, )(- Г/2, со, - L/2, х) = 0. С другой стороны, на основании представления единичной реализации случайного процесса в виде интеграла Римана - Стильтьеса г/2. L/2 [c.35]

В работе Хантера [71] решена двумерная задача о качении жесткого цилиндра с постоянной скоростью по вязкоупругому полупространству, причем рассмотрен случай, когда можно пренебречь инерционными силами. Исследование выполнено в рамках линейной теории, деформации считаются малыми, и граничные условия на поверхности относятся к недеформированному состоянию среды. Подход, примененный в работе, заключался в представлений нормальной составляющей поверхностного смещения в виде интеграла от существующего решения задачи о движении распределенной линейной нагрузки, что привело к сингулярному интегральному уравнению отцосительно искомой функции поверхностного давления (вязкоупругий аналог формулы Буссинеска). Решение задачи осуществлялось путем эквивалентного преобразования интегрального уравнения в уравнение с обычным логарифмическим ядром относительно дифференциального оператора давления. Замкнутый вид решения был получен для материала, физические свойства которого описываются одной функцией ползучести и одним временем ретордации. Однако при обобщении результатов этого исследования и распространении их на более общий случай вязкоупругого тела, у которого ползучесть характеризуется конечным числом времен релаксации, метод при- [c.401]

Если этот метод рассматривать с точки зрения теории аппроксимации функций, нетрудно видеть, что исходным в нем является представление аппроксимируемых функций параметрическими интегралами типа (4.3). Действительно, в нашей задаче аналитическая структура функций р (Я) известна и, следовательно, отсутствует надобность строить и навязывать оптическим характеристикам какие-либо иные аналитические конструкции, подобные, скажем, многочленам, рядам Фурье и т. п. Поэтому метод обратной задачи является численным методом аппроксимации функций, который реализует их главное аналитическое свойство, а именно представимость параметрическими интегралами. Следует заметить, что этб представление может принимать как форму интеграла Римана, так и Стилтьеса. Для обоих вариантов выше изложены соответствующие алгоритмы. [c.230]

Интегральное представление функций Бесселя. Представление фуякци Бесселя первого рода -го порядка в виде интеграла использовалось прн выведении соотношения (6.34а). Этот интеграл можно получить следующим образом. Производящая функция (И.28) для функции Бесселя / ( ) имеет вид [c.355]

Основное место в настоящей главе будет занимать вопрос о при-нении к случайным функциям одного или нескольких переменных е. к случайным процессам и случайным полям) методов гармони-ского анализа. Известно, что гармонический анализ, т. е. пред-1вление исследуемых функций в виде рядов или интегралов Фурье, ень широко используется в математической физике. При этом, нако, приходится иметь в виду, что представление в виде ряда фье возможно лишь для периодических функций, а в виде инте-ала Фурье лишь для функций, достаточно быстро убывающих на сконечности. Между тем в приложениях часто встречаются и периодические, незатухающие на бесконечности функции, которые, эого говоря, нельзя разложить ни в ряд, ни в интеграл Фурье, этой точки зрения случайные функции оказываются даже имеющими ределенные преимущества перед обычными (не случайными) функ-ями. Дело в том, что для любых стационарных случайных оцессов и однородных случайных полей, для которых по саму их определению никакого затухания на бесконечности быть не [c.7]

При изучении идеализированного статистически однородного или локально однородного случайного поля и х) в безграничном пространстве его спектральное описание доставляется случайной функцией Z(Дй) множеств Дй пространства волновых векторов к, определяемых по и (х) с помощью формулы обращения Фурье — Стилтьеса (см., например, формулу (11.45), относящуюся к случаю скалярного однородного поля). При использовании характеристического функционала Ф[0(л ), 1] поля скорости в безграничном пространстве переход к спектральному представлению оказывается более простым поскольку аргумент 0(дс) этого функционала является неслучайной функцией, выбираемой, в известных пределах, по нашему произволу, он, вообще говоря, может быть представлен уже не в виде интеграла Фурье — Стилтьеса, а просто в виде интеграла Фурье [c.621]

При решении линейных дифференциальных уравнений (обыкновенных нлн в частных производных) очень часто используются преобразования Фурье, т. е. решение ищется в виде интеграла Фурье от некоторой новой функции, допускающей уже более простое определение. Аналогичный подход к решению линейных уравнений в вариационных производных должен, по-внднмому, приводить к представлению искомого функционала Ф [6 (Л1)] в внде континуального преобразования Фурье [c.668]

Метод эталонных функций. Высокочастотное волновое поле в произвольной плавно-неоднородной среде может быть представлено в виде интеграла (17.1) методом канонического оператора Члслоъя [189, 192]. Поэтому формула (17.19) п. 17.1, прн вьшоде которой использовано только существование интегрального представления, описывает звуковое поле в окрестности простой каустики не только в слоистой, но и в трехмернонеоднородной среде. [c.369]

Мы могли бы перейти к пределу Г оо и получить также и математическое изображение функции / ( ) в виде сплошного спектра ( непрерывная совокупность линий ). Такое представление называется разложением в интеграл Фурье. С ним one-рируют в курсах, использующ их более сложный математический аппарат. ОднакО оно не дает физически ничего нового по сравнению с приведенным здесь рассмотрением. [c.536]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...