Интеграл Дирихле

Можно доказать, что при симметризации Штейнера линий уровня функции Ф не увеличивается интеграл Дирихле функции Ф. Кроме того, сохраняется интеграл от самой функции Ф по области G. Таким образом, при симметризации Штейнера области G (напомним, что мы рассматриваем пока только односвязные области) числитель в правой части неравенства (2.2) не меняется, а знаменатель не увеличивается. Значит при симметризации Штейнера жесткость при кручении стержня не уменьшается. Это означает, что жесткость при кручении стержня G не превосходит жесткости стержня кругового сечения, поскольку путем последовательных симметризаций любую односвязную область G можно перевести в круг [111]. [c.202]

При этом преобразовании (симметризации) сохраняется интеграл Дирихле и для интеграла F (и) от положительной возрастающей функции g (и) [c.206]

С учетом отмеченной трудности в [28] предложено новое преобразование симметризации, позволяющее работать с весовой функцией и. Более того, при симметризации [28] сохраняется весовой интеграл Дирихле, входящий в (3.4), и не уменьшается интеграл от самой функции, это и позволяет доказать изопериметрическое неравенство для жесткости при кручении неоднородных стержней. Доказательство приведено ниже. [c.210]

Последний интеграл напоминает интеграл Дирихле, определяющий функцию от Я, [c.295]

Перейдем теперь к рассмотрению преобразования Меллина. Пусть на луче (О, оо) задана функция f(r), удовлетворяющая условиям Дирихле. Преобразованием Меллина называется интеграл [c.71]

С другой стороны, уже в статике отмечалось (т. I, гл. IX, п. 19), что во всяком положении равновесия точки три частные произвол-ные от и должны обращаться в нуль, так что для всякого положения равновесия потенциал имеет стационарное значение. В частности, потенциал может иметь в этом положении максимум или минимум, но, как известно из анализа, это условие является только необходимым. Если в точке М для функции I/ имеет место действительный максимум, то справедливо известное предложение (теорема Дирихле), для доказательства которого используется только одно следствие уравнений движения, а именно упомянутый выше интеграл живых сил. Теорема эта следующая [c.134]

На основании интеграла живых сил и теоремы Дирихле (отнесенной к параболоиду, т. е. к двум независимым переменным х, у) показать, что равновесие будет устойчивым, если коэффициенты а и Ь положительны. Малые колебания определяются уравнениями [c.170]

Теперь теорема Дирихле, благодаря этим замечаниям, оказывается совершенно наглядной. Действительно, так как имеет место интеграл живых сил, то изображающая точка Р, в каком-нибудь возмущенном движении, уже не будет покидать гиперповерхность (5), на которой она находилась вначале, так что нужно только задать достаточно малым начальное возмущение, т. е. по существу постоянную с, соответствующую начальному состоянию движения Я,, чтобы точка Р бесконечно долго оставалась сколь угодно близкой к М. [c.357]

В тексте мы рассматривали уравнения малых колебаний для голо-номной системы со связями, не зависящими от времени, и находящейся под действием консервативных сил. Если система допускает игнорируемые координаты и вычисляется приведенная функция Лагранжа, то появляются, как мы знаем (гл. V, п. 46), гиростатические члены. В п. 24 мы указали форму (30), которая в этом случае свойственна уравнениям малых колебаний около положения устойчивого равновесия было показано, что гиростатические члены не влияют на интеграл энергии, из рассмотрения которого также и в этом случае становится очевидной устойчивость на основании критерия Дирихле. [c.414]

Это место доказательства требует дальнейшего критического анализа, аналогичного тому классическому, который был установлен по поводу принципа Дирихле. В то время как существование нижнего предела для значений интеграла А в совокупности кривых с несомненно, заранее неизвестно, что этот ни)мий предел действительно может быть достигнут для некоторой кривой с совокупности. [c.459]

Теперь вместо линейных комбинаций двух функций X ж Y имеем заданной на вещественной оси одну функцию — вещественную часть W. Это задача Дирихле для полуплоскости, которая решается с помощью интеграла типа Коши [c.301]

Здесь / (лг) — функция, удовлетворяющая на любом конечном интервале условиям Дирихле (см. стр. 264) и такая, что интеграл [c.172]

Интеграл Фурье. Если /(х) удовлетворяет условиям Дирихле на любом +0° [c.308]

Лагранжа—Дирихле теорема 378 Лапласа интеграл — Вычисление 201 [c.575]

Ограничения, налагаемые на виды функций координат, при использовании выбранных интегральных преобразований, являются довольно жесткими, так как требуется не только выполнение условия Дирихле, но и условия абсолютной сходимости интеграла от преобразуемой функции в соответствующих пределах интегрирования. Однако для задач импульсного лучистого нагрева эти ограничения обычно не вызывают затруднений, поскольку функции координат, которыми приходится пользоваться, как правило, удовлетворяют необходимым условиям. [c.13]

Согласно интегральной теореме Фурье (см. [11], 119), если / (х) определена для всех X, удовлетворяет условиям Дирихле ) в любом конечном интервале и если существует интеграл ) [c.62]

Составляющие тензора присоединенной массы наиболее удовлетворительно определяются посредством интегралов кинетической энергии подобно формулам (2) и (4). Эти интегралы сходятся на бесконечности, так как ( ) /= 0 г ) в пространстве. В случае плоских течений Дирихле интеграл кинетической энергии также сходится на бесконечности и в этом случае интеграл f f (VUVU) dxdy = 0 (J r-4 dr) конечен. [c.208]

Эту задачу мы обсудим в следующей главе, а здесь лишь укажем ее связь с задачей Дирихле. Прежде всего, если для некоторой области О мы умеем решать задачу Римана и, следовательно, знаем ее конформное отображение / на единичный круг А = ге- < 1 , то мы можем решать для этой области и задачу Дирихле. В самом деле, если граница области О является простой непрерывной кривой (что мы и предположим), то, как доказывается в теории конформных отображений, / продолжается до нет рерывного и взаимно однозначного отображения О на А. Поэтому на единичной окружности (о =1 мы можем рассматривать обратную к / функцию и с ее помощью перенести на эту окружность заданные граничные значения /(со) = и[/- (со)]. Теперь по этим значениям мы можем при помощи интеграла Пуассона построить гармоническую в круге [ш < 1 функцию [c.84]

Выходом из положения является приём разбиения рядов на совокупность рядов, медленно сходящихся, и на сравнительно хорошо сходящийся остаток. Дело заключается в том, что эти медленно сходящиеся ряды можно выделить так, чтобы они допускали представление в замкнутом виде. В общем случае это будет представление в форме определённого интеграла, аналогичного интегралу Пуассона, с помощью которого строится решение задачи Дирихле для сферы. Для некоторых же частных загружений суммирование этой медленно сходящейся части оказывается возможным в конечном виде. [c.352]

Поскольку в задаче о потенциале задано его значение на поверхности (граничное условие типа Дирихле), вариация потенциала на поверхности равна нулю и интеграл по поверхности обращается в нуль. Используем также тот факт, что вариация пространственной плотности заряда есть нуль и операции варьирования и интегрирования выполняются независимо. Поэтому вариационный оператор может быть вынесен за знак интеграла. Кроме того, заметим, что [c.156]

Граничные значения этих функций входят в подынтегральные выражения (6.118) их прежде всего и следует найти. При решении задачи в рядах такая операция соответствует определению коэффициентов по формулам Эйлера в рассматриваемом методе для этой цели необходимо воспользоваться формулой Фурье. выражак щей произвольную функцию /(д ) (удовлетворяющую так называемым условиям Дирихле) в форме двойного интеграла, в подынтегральном выражении которого содержится та же функция /(д ). Вывод этой формулы можно найти в курсах интегрального исчисления она имеет вид [c.182]

Классическое преобразование Фурье, которое обсуждалось в предыдущих разделах, может успешно применяться для решения многочисленных задач математической физики. Правда, должно выполняться требование о том, что используемые функции должны быть абсолютно интегрируемыми и удовлетворять условиям Дирихле. Это сильно ограничивает применимость преобразования Фурье, так как можно оперировать только такими функциями, для которых все их производные являются конечными функциями или достаточно быстро стремятся к нулю на бесконечности. Кроме того, имеются различные элементарные функции, например постоянные или произвольные периодические функции, а также степенные функции, полиномы и экспоненциальные функции, которые не обладают трансформантой Фурье в обычном смысле, так как интеграл [c.266]

ФУРЬЕ ИНТЕГРАЛ — формула для разложения непериодических функций на гармонич. компоненты, частоты к-рых пробегают непрерывную совокупность значений. Если функция /(х) удовлетворяет иа каждом конечном отрезке условиям Дирихле (см. Фурье [c.370]

Приведенный вывод является несколько формальным. Для строгого обоснования и выяснения условий существования интеграла Фурье читателя можно отослать к специальным руководствам. Однако необходимо отметить, что функция f (х) должна удовлетворять условиям Дирихле в [c.510]

Изменим в левой части соотношения (4.9) порядок интегрирования, используя формулу Дирихле. Принимая далее в расчет значение интеграла [c.71]

Первая краевая задача (задача Дирихле) состоит в определении гармонической функции ф (х, у, г) (интеграла уравнения Лапласа) регулярной внутри области О ио заданным значениям этой функции на границе 5. [c.19]

Следовательно, (р х, у) является аналогом интеграла дифференциальных уравнений. Аналогично теореме Дирихле можно легко показать, что б всегда будет устойчивым в окрестности начала координат, когда сугцествует сходягцийся степенной ряд по ж и у, инвариантный при б , который имеет в начале координат экстремум в строгом смысле. Конечно, опять-таки сугцествуют примеры эллиптических отображений, сохраняющих объем с Л" 7 1 (гг = 3, 4,. ..), для которых вообще не существует таких инвариантных сходящихся рядов. [c.289]

Подставляя сюда значение 03 из (3.51) и применяя формулу Дирихле для преобразования двойного интеграла, а именно [c.147]

К этой категории относятся все те методы, в которых неоднородное граничное условие Дирихле рассматривается в форме интеграла от граничных значений, добавляемого к соответствующему функционалу, а не в форме наложения некоторого условия на аппроксимирующие функции. Такие методы могут основываться на методе наименьших квадратов или на методе Ритца, или же на сочетании их обоих. Наиболее часто употребляемый подход основывается на методе наименьших квадратов, для которого ошибки уже нельзя естественным образом получить в терминах соболевских норм, и приходится постоянно привлекать теорему о следе для оценки ичтегралов от граничных значений (см., например, гл. 6 в книге Варги, 1971). [c.149]

Уравнение (10) в частных производных может быть приведено к интегро-дифференциальпому уравнению, определяющему тот интеграл уравнения (10), который удовлетворяет поставленным граничным уловиям. Это интегро-дифференциальное уравнение устанавливается введением функции Грина С для задачи Дирихле с нулевыми значениями на окружностях р = Ро и р = 1. [c.736]

После подстановки этого выражения в формулу (3.121) получим два двойных интеграла. Второй из них можно преобразовать, используя формулу Дирихле для изменения порядка интегрирования в двойном интеграле. В результате получим [c.181]

Значение третьего интеграла найдем, применив формулу Дирихле для двойного интеграла [88] [c.79]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...