Форма квадратичная, знакоопределенна

Помимо условий (5), коэффициенты уравнений (6) должны удовлетворять еще некоторым неравенствам, вытекающим из свойства положительной знакоопределенности квадратичных форм (2) и (4). Чтобы найти эти неравенства, заметим, что квадратичную форму двух переменных [c.549]

Функция Ляпунова (4.4.5) будет положительно-определенной, если она не будет содержать членов первого порядка, а квадратичная форма, образуемая членами второго порядка, — положительно-определенная. Члены третьего и более высоких порядков не влияют на знакоопределенность L. Так как [c.159]

Если определитель (9) отличен от нуля, то в положении равновесия = р = 0 ось стержня остается прямолинейной. Значениям параметра v2, обращающим трехчлен A(v2) в нуль, соответствуют угловые скорости, называемые критическими. При критических угловых скоростях система уравнений (8) имеет решения, определяемые с точностью до произвольного множителя. Тогда существует серия форм равновесия, близких к прямолинейным. Критерии Сильвестра, гарантирующие положительную знакоопределенность квадратичной формы [c.443]

Таковы необходимые и достаточные критерии положительной знакоопределенности квадратичной формы 9, выраженные через коэффициенты этой формы. [c.774]

Однородный многочлен второй степени (квадратичная форма) будет знакоопределенным, если он сохраняет постоянный знук при веществспны.ч значениях аргументов, обращаясь в нуль только при обращении в нуль всех аргументов. Если же этот многочлен, сохраняя знак, может обращаться в нуль при значениях аргументов, не равных одновременно иулю, то он называется знакопостоянным. Так, квадратичная форма [c.340]

Как узнать, будет функция V знакоопределенной или нет Если V представляет собой квадратичную форму, то знакоопределенность ее [c.516]

Напомним, что матрица называется положительной, если образуемая 110 ней квадратичная форма qrsXaXr — знакоопределенная положительная (обращается в нуль только тогда, когда все Хг = 0), [c.49]

Нетрудно проверить, что эти квадратичные формы — положительные знакоопределенные. Поэтому из уравнения энергии (2.8), которое в нашем случае имеет вид [c.309]

Докажем, что квадратичная форма Гг — знакоопределенная положительная (определенно положительная), т. е. что Тг обращается в нуль тогда и только тогда, когда все равны нулю. Если же хоть одна из обобщенных скоростей отлична от нуля, то Та положительна. Для доказательства запишем Т в виде [c.217]

Таким образом, для определения устойчивости положения равновесия необходимо знать условия знакоопределенности квадратичных форм. Они даются критерием Сильвестра, который излагается в 4. Там же приведены тексты программ на языках BASI и REDU E и на примерах показан порядок работы с ними. [c.87]

Процедура SiLVSTR, написанная на языке REDU E, позволяет получить уаювия знакоопределенности квадратичной формы (2.58) в аналитическом виде. При значении параметра MODE = Ф находятся условия (2.61). При любом другом значении параметра вычисляются неравенства (2.62) [c.110]

Постоянные aik и ik называются соответственно инерцион-ными и квазиупругими коэффициентами. Напомним, что функция, обращающаяся в нуль только и том случае, когда все независимые переменные равны нулю, и сохраняющая знак при любых вещественных значениях переменных, заключенных в некоторой области, называется знакоопределенной. Кинетическая энергия представляет пример знакоопределенной положительной однородной квадратичной формы обобщенных скоростей. Точно так же в области минимума, которому, согласно теореме Лагранжа ( 147), соответствует положение устойчивого равновесия, потенциальная энергия представляет знакоопределенную положительную функцию обобщенных координат в случае малых движений она аппроксимируется квадратичной формой (4). [c.548]

Понятию о главных координата.х. можно дать гео.метрическое истолкование. Для этого за.метим, что одна квадратичная форма всегда может быть при надлежащем линейном преобразовании приведена, и не единственным образом, к виду, в котором не содержится произведение переменных, причем для этого не требуется решения никаких уравнений. Рассматривая, в частности, знакоопределенную положительную форму, можно написать [c.565]

Рассмотрим равновесие системы, на которую действуют как потенциальные силы, так и другие заданные силы F, F ,. .., Fn. Ограничиваясь случаем системы с двумя степенями свободы со стационарными связями, будем определять ее положение независимыми обобщенными координатами q и q , отсчет этих координат производится от состояния устойчивого равновесия, в котором система находилась бы при действии только потенциальных сил. Потенциальная энергия Xl(qi,q2) в этом положении имеет минимум, равный нулю, а при вызванном действием сил Fs малом отклонении от него в новое положение равновесия выражается знакоопределенной положительной квадратичной формой вида (4). [c.572]

Чтобы определить условия, при которых рассматриваемая квадратичная форма является определенно положительной, воспользуемся критерием Сильвестра о знакоопределенности квадратичной формы для того чтобы квадратичная форма была определенно положительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее дискриминанта были положительны, т. е. выполнялись следуюицие условиям [c.16]

Так как Т, П и Ф (25.1) являются положительными и знакоопределенными квадратичными формами (см. 6), то их коэффициенты удовлетворяют следующим неравенствам [c.119]

Знакоопределенной называется функция, сохраняющая знак при любых значениях аргументов и равная нулю лишь при одновременном равенстве нулю всех аргументов. Функции (17.81), являющиеся так называемыми квадратичными формами, в общем виде могут быть представлены матричной формулой следующего вида [c.82]

Общих критериев знакоопределенности и знакопеременности не существует. Однако в задачах устойчивости часто встречаются квадратичные формы переменных Х], Хз.....Xj, знакоопределенность или знакопеременность которых устанавливают с помощью критерия Сильвестра. [c.36]

Ясно, что если хотя бы одна из зтих квадратичных форм является знако-определеннсш, то особая точка будет изолированной, поосольку в таком случае система уравнений (2.43) не имеет действительных решений кроме тривиального оГ = 0. Но изолированная осо я точка не может быть достиг-iQnra в процессе корректного продолжения решения по параметру. Знакоопределенность хотя бы одной из квадратичных форм (2.7.3) свидетельствует обычно о слишком большом шаге при движении по кривой решений К. [c.77]

Вследствие того что Т, U и W выражают положительными и знакоопределенными квадратичными формами, параметры системы удовлетворяют следующим неравенствам [c.42]

По определению, живая сила Т отлична от нуля, если хотя бы эдна точка системы не находится в покое, поэтому Т и Т2 являют- я знакоопределенными квадратичными формами, так как система эудет двигаться только тогда, когда отлична от нуля хотя бы одна яз обобщенных скоростей системы. [c.445]

Функцию I можно представить в виде Ь= ]/Л-хю, где V—квадратичная форма, а содержит члены выше второго порядка малости. Функция L знакоопределенна, если знакоопределенна квадратичная форма К [c.387]

Свойством упругого тела является положительность работы сил упругих реакций при восстановлении натуральной конфигурации, т. е. положительность потенциальной энергии во всякой конфигурации, отличной от натуральной. Поэтому квадратичная форма (10) знакопостоянна и положительна. Но говорить, что она является знакоопределенной функцией обобщенных координат системы, допустимо лишь при надлежащих оговорках — см. (п. 1.3). Прежде всего следует условиться, что под д .....д в формулах (10) и предшествующих подразумеваются не все независимые параметры, определяющие конфигурацию системы, а лишь те, которые входят в эти формулы. И эти последние должны быть выбраны так, чтобы натуральной конфигурации упругих тел, входящих в систему, соответствовало обращение в нуль каждой из координат. На рис. 39 представлен иллюстрирующий это условие пример. Твердая пластинка 5 соединена шарниром О с концом упругого стержня, другой конец [c.213]

В дальнейшем предполагается, что П—положительная знакоопределенная квадратичная форма обобщенных координат, входящих в ее состав. Тогда элементы матрицы жесткостей будут удовлетворять неравенствам Сильвестра (П. 1.3.25), одно из них — положительность дискриминанта с квадратичной формы — гарантирует существование обратной матрицы [c.214]

Потенциальная энергия представляется однородной квадратичной формой, входяидей в состав выражения (12). Эта форма может и не быть знакоопределенной. Это объясняется тем, что отсчет потен- [c.220]

Он представляет квадратичную форму величин Сс поскольку 4 3 — 3 > О, эта квадратичная форма — знакоопределенная, обращающаяся в нуль лишь при Сс — 2 — з Корни трехчлена Д(v2) всегда вещественные только один из них v будет положительным, если [c.443]

Замечание. Из приведенного вывода легко заметить, что в случае знакоопределенной отрицательной квадратичной формы [c.774]

Как указывалось в П. 2.11, отличительным признаком евклидова пространства является возможность отнесения всех точек его к единой (декартовой или косоугольной) системе осей неизменного направления, в которой выражение основной квадратичной формы имеет постоянные коэффициенты (в частности, в декартовой системе представляется суммой квадратов). Но тогда все символы Кристоффеля обращаются в нуль, а вместе с ними и все составляющие тензора Римана — Кристоффеля. Свойство тензора не может быть связано с выбором системы координат естественно, что может быть доказано обратное предположение если тензор Римана — Кристоффеля тождественно обращается в нуль, то многообразие является евклидовым иными словами, в нем могут быть введены такие координаты д ,. . ., д , что выраженная в них квадратичная форма ( 8 будет иметь постоянные коэффициенты. Необращение в нуль тен-зора Римана — Кристоффеля свидетельствует о том, что рассматриваемое многообразие — не евклидово. Если — положительная знакоопределенная форма дифференциалов йд , то оно — риманово многообразие [c.819]

Распространение теоремы Рауса на случай стационарных течений идеальной жидкости дано В. И. Арнольдом (1965). Он доказал, что стационарное течение со скоростью и (х) идеальной жидкости, целиком заполняющей объем V, ограниченный неподвижной поверхностью, имеет экстремальную кинетическую энергию Е по сравнению со всеми близкими равнозавихренными течениями. Если квадратичная форма д Е знакоопределенна, то течение V (х) устойчиво относительно малых конечных возмущений, т. е. малое изменение начального поля скоростей мало меняет поле скоростей во все моменты времени. [c.34]

Смотреть страницы где упоминается термин Форма квадратичная, знакоопределенна : [c.824] [c.384] [c.771] [c.119] [c.109] [c.111] [c.116] [c.340] [c.49] [c.428] [c.75] [c.558] [c.576] [c.587] [c.75] [c.214] [c.272] [c.353] [c.750] [c.809] [c.63] [c.200]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...