Ритца дискретные

Условие стационарности функционала 65 = О формулирует континуальную вариационную задачу с бесконечным числом компонент перемещений, определяющих разыскиваемые функции-экстремали. Идея метода, предложенного еще в начале века немецким ученым Ритцем, состоит в том, чтобы от континуальной формулировки перейти к дискретной, когда функционал Э = Э и, v, w), заменяется функцией Э = Э а ) (г = 1, 2,. . ., п), зависящей от конечного числа аргументов После этого задача определения экстремалей функционала перейдет в стандартную задачу исследования указанной функции дискретного числа аргументов на экстремум. Другими словами, от континуальной задачи с бесконечным числом степеней свободы в отношении формы деформирования тела мы переходим к задаче для системы с конечным числолг степеней свободы. [c.58]

По выражению (3.37) можно варьировать напряжения в теле с помощью и параметров X, (i = l, 2,. . ., п), т. е., как и в методе Ритца, от континуальной задачи мы перешли к дискретной для системы с п степенями свободы. Вычислив U, получим функцию U = = и (Xi, р) i = i, 2, п). Из вариационного уравнения (3.34) [c.65]

Различные методы решения нелинейных з ч теории пологих оболочек. обсуждаются в работе [172] применительно к нелинейным алгебраическим уравнениям метода Ритца. Наряду с методом продолжения решения в форме Давиденко и с использованием явных схем для интегрирования задачи Коши по параметру (непрерывное продолжение), рассматривается также модифицированный процесс Лазя (дискретное продолжение), причем для получения начального приближения предлагается квадратичная экстраполяция [199]. [c.188]

Из анализа обзора [85] следует, что дискретное продолжение решения геометрически нелинейных задач теории пластин и пологих оболочек впервые применил М. С. Корнишин [148]. Для изучения гибких упругопластических оболочек этот подход реализован в [ПЗ], где в качестве параметра введен прогиб оболочки в центре, что позволило исключить трудности получения решения в окрестности предельных точек. Для-нх прямого определения (без построения траектории состояний равновесия) проведено продолжение решения по геометрическому параметру подъемистости оболочки, система уравнений равновесия дополнена уравнением det /) = О, где J — матрица линеаризованной системы алгебраических уравнений, полученной методом Ритца. [c.25]

Метод конечных элементов можно трактовать как метод аппроксимации непрерывной функции дискретной моделью, представляющей собой множество значений- заданной функции в некотором конечном числе точек области ее оп-редел,ения в совокупности с кусочными аппроксимациями этой функции на некотором конечном числе подобластей. Эти подобласти называются конечными элементами. К основным этапам решения задачи с применением МКЭ относятся 1) дискретизация области 2) локальная аппроксимация на отдельном элементе 3) глобальная аппроксимация кусочно-полиномиальной функцией, определенной на всей области 4) составление системы линейных алгебраических уравнений с применением метода Ритца или метода Галеркина 5) решение указанной системы относительно узловых значений 6) вычисление искомых величин в элементе. . [c.237]

Используя предельно плотную в пространстве Я -(Г) последовательность конечномерных пространств Х т , с базисами, и отыскивая дискретное решение <р/, уравнения (3.18) в виде (3.15), получаем на основании метода Ритца следующее дискретное уравнение [c.236]

Таким образом, перед вычислением решения Ритца для задачи, определяемой уравнением (6,3) и условиями (6,3а), (б.ЗЬ) и (6,3с), необходимо несколько видоизменить метод так, чтобы избежать введения граничного условия (6.3d), Мы не встретимся с этой трудностью, если воспользуемся полу-дискретным методом Канторовича, чтобы получить приближенное решение вида [c.158]

Метод конечных элементов придумали инженеры, и поначалу он не был понят как вариант метода Рэлея — Ритца. Разбиение области на простые части и составление уравнений равновесия и неразрывности для этих частей были выполнены на основе физических соображений. Построение более сложных конечных элементов проводилось так же было замечено, что при возрастании степени полиномов значительно повышается точность, однако неизвестные коэффициенты д,, вычисляемые при дискретной аппроксимации, всегда имели некий физический смысл. По этой причине результат было гораздо легче интерпретировать, чем весовые Коэффициенты в классическом методе. [c.12]

Вся эта процедура стала математически обоснованной, когда неизвестные коэффициенты д, были отождествлены с коэффициентами в аппроксимации Ритца а дискретные уравнения — с условиями минимума потенциальной энергии. Это поняли Аржирис в Германии и Англии, Мартин и Клаф в Америке мы не знаем, кто из них первый. В результате появилась возможность заложить теоретическую основу метода. Процедуры построения более точных конечных элементов уже были разработаны, теория стала вырисовываться. [c.12]

Это дискретное выражение, подлежащее минимизации в методе Ритца. Сразу видно, что это стандартная вариационная форма минимизирующий вектор Q определяется линейным уравнением [c.46]

Глобальная матрица жесткости К похожа на матрицу метода конечных разностей Ь , вернее на из предыдущего раздела. При постоянных коэффициентах главные. члены у них совпадают, обе пропорциональны вторым разностям с весами —1, 2, —1. Член нулевого порядка ди входит только в диагональные элементы матрицы А вот в матрице К этот член проявляется в связях между соседними неизвестными и сглажен с весами 1, 4, 1, возникающими из формулы Симпсона. Подчеркнем еще раз, что как только выбрано аппроксимирующее подпространство 5 , дискретная форма каждого члена уравнения полностью определена. Метод Ритца действует сразу на все уравнение и не требует от пользователя принятия неза- [c.46]

В этом разделе мы укажем последовательность операций, производимых ЭВМ в процессе построения матрицы жесткости /С, т. е. в процессе получения дискретной системы метода конечных элементов KQ = Р. Кроме того, кратко опишем вычисление составляющих вектора нагрузок Р. Мы не собираемся излагать частные детали, которые могут понадобиться программисту, а хотим прояснить решающий фактор успеха метода конечных элементов при практическом применении метода Ритца чрезвычайно удобны полиномиальные элементы, подобные рассмотренным в предыдущем разделе, и, возможно, только они одни. [c.112]

СТВО сходимости для двух наиболее важных смешанных элементов, в которых моменты соответственно постоянны и линейны в каждом треугольнике. Его доказательство устанавливает после исключения неизвестных перемещений и определения неизвестных моментов как функций, минимизирующих положительно определенное выражение (дополнительную энергию), особое свойство. Это свойство совпадает с известным условием Ритца пробные моменты в дискретном случае содержатся в пространстве допустимых моментов (тех, которые достигают равновесия для предписанной нагрузки) полной непрерывной задачи. Поэтому, как и в методе Ритца, сходимость основана на теории приближений и ее можно доказать. Для других смешанных (и гибридных) элементов естественное доказательство проверяется из согласованности (или аппроксимируемости) и устойчивости. Тогда общая теорема Бабушки [Б5] дает сходимость, Бреззи доказал устойчивость для одного гибридного элемента, и его прием распространяется на общую теорию. [c.151]

В зтом параграфе мы рассмотрим стационарную задачу Стокса движения вязкой несжимаемой жидкости. К настоящему времени наибольшее распространение получили две обобщенные формулировки этой эадачи. Одна из них детально проработана в теоретическом плане O.A. Ладыженской [40], а с точки зрения метода конечных элементов — Р. Темамом [76]. Она дает эллиптическую формулировку как дифференциальной, так и дискретной задачи, но в специальных пространствах функций, удовлетворяющих дополнительным дифференциальным равенствам (соленоидаль-ность). Это приводит к ряду неудобств при выборе пространств метода Ритца. [c.265]

Вторая обобщенная формулировка связана со смешанным методом [22,109] и дает гиперболическую формулировку дискретной задачи. На зтот раз базисные функции не подчинены никаким дифференциальным уравнениям, хотя должны быть выполнены некоторые геометрические условия, вообще говоря, необременительные, но довольно неожиданные. Метод Ритца, естественно, неприменим и использование конечных элементов базируется на методе Бубнова — Галёркина поиска стационарной точки функционалов. [c.265]

Идея представления конструкций в виде набора дискретных элементов восходит к раннему периоду исследования конструкций летательных аппаратов, когда, например, крылья и фюзеляжи рассматривались как совокупности стрингеров, обшивки и работающих на сдвиг панелей. Хренников [1941] ввел метод каркасов — предшественник общих дискретных методов строительной механики — и применил его, представляя плоское упругое тело в виде набора брусьев и балок. Топологические свойства некоторых типов дискретных систем изучались Кроном [1939] ), который разработал универсальные методы анализа сложных электрических цепей и строительных конструкций. Курант [1943] дал приближенное решение задачи кручения Сен-Венана, используя кусочнолинейное представление функции искажения в каждом из треугольных элементов, совокупностью которых заменялось поперечное сечение тела, и формулируя задачу с помощью принципа минимума потенциальной энергии. Пример применения Курантом метода Ритца содержит в себе все основные моменты процедуры, известной теперь как метод конечных элементов. Аналогичные идеи использовал позже Пойа [1952]. Метод гиперокружностей , предложенный в 1947 г. Прагером и Сингом [1947] и подробно исследованный Сингом [1957] ), легко может быть приспособлен для конечноэлементных применений он проливает новый свет на приближенные методы решения некоторых краевых задач математической физики. В 1954 г. Аргирис и его сотрудники ) начали публикацию серии работ, в которых они далеко развили некоторые обобщения линейной теории конструкций и представили методы [c.12]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...