Дирихле принцип

Задача Дирихле. Принцип экстремума показывает, что гармоническая /в области О и непрерывно продолжающаяся в замыкание О функция полностью определяется своими значениями на границе. Действительно, пусть существуют две такие функции 1 и 2 с одинаковыми граничными значениями. Тогда их разность М] — 2 будет гармонической в О и непрерывной в Б функцией, равной нулю всюду на границе. По свойствам непрерывных функций Ы — Нг должна достигать и максимума и минимума где-то в О, а по принципу экстремума это должно происходить на границе. Но там 1 — 2 = 0, следовательно, и максимум и минимум 1 — 2 в О оба равны нулю. Таким образом, ] — 2 = = О, т. е. 1 = 2 всюду в О. [c.81]

Если заданными силами, действующими на систему с идеальными связями, будут только силы тяжести, то из теоремы Лагранжа — Дирихле следует если центр тяжести системы занимает наинизшее положение, то это положение будет устойчивым положением равновесия (принцип Торичелли). [c.42]

Уравнение (6.44) выражает собой так называемый принцип потенциальной энергии при заданных внешних силах и граничных условиях действительные перемещения ui таковы, что для любых возможных перемещений первая вариация полной потенциальной энергии равна нулю, т. е. полная потенциальная энергия П имеет стационарное значение. Можно показать (теорема Лагранжа—Дирихле), что в положении устойчивого равновесия полная потенциальная энергия системы имеет минимальное значение, т. е. вторая вариация д П>0. [c.123]

Прежде всего отметим, что сформулированные ранее вариационные принципы в данном случае не работают, так как рассматриваемые здесь поля перемещений не являются кинематически допустимыми, поля напряжений— статически допустимыми. Поэтому первая проблема здесь — построить надлежащие обобщения классических вариационных принципов. Идею таких обобщений поясним сначала на примере классической задачи Дирихле для [c.208]

Теорема Лагранжа — Дирихле приводит в этом случае к следующему положению если центр масс системы тяжелых точек занимает наинизилее из возможных смежных положений, то это положение равновесия системы будет устойчивым. Торричелли (1608—1647) в исследованиях по статике твердых и жидких тел считал этот принцип основным и самоочевидным. Лагранж в Аналитической механике использовал принцип Торричелли для доказательства принципа возможных перемещений. Не останавливаясь на подробном изложении этого классического доказательства, приведем следующее простое рассуждение. Заменим приложенные к системе силы натяжениями переброщен-ных через идеальные блоки нитей, к концам которых привешены грузы, соответственно равные по величине приложенным к системам силам. Рассматривая полученную таким образом новую систему как эквивалентную предыдущей и принимая [c.341]

Принцип Дирихле. Существует одна однозначная, гармоническая, конечная функция с такими же частными производными до второго порядка включительно в области V и принимающая на ограничивающей поверхности S заданные наперед и непрерывные значения. [c.269]

В курсе теоретической механики доказывается теорема Лагранжа—Дирихле, на основании которой можно сформулировать следующий принцип минимума потенциальной энергии из всех мыслимых перемещений упругого тела перемещения, удовлетворяющие условиям устойчивого равновесия, сообщают потенциальной энергии системы минимальное значение. Таким образом, потенциальная энергия системы (8.2) [c.156]

Хотя предложенный метод является приближенным для N < оо, в принципе погрешность можно сделать сколь угоднО малой при достаточно большом числе N и достаточно близких друг к другу значениях Хг. Это следует из свойства полноты системы интегрируемых с квадратом функций, в рядах Дирихле [87]. На практике, однако, точность обращения ограничивается гладкостью изображений по Лапласу. Ошибки за счет округления, неизбежные при любых численных представлениях, и погрешности при интерполяции, например при 1юлучении ассоциированного упругого решения методами конечных разностей или конечных элементов, определяют нижнюю границу погрешности для квадратичного отклонения [19, 84, 87]. Оказывается, что для принятых численных значений изображений Лапласа при сближении Хг квадратичная ошибка сначала уменьшается, а затем увеличивается. Этот рост отражает перемену знака возрастающих членов в функции Д/с(0- [c.146]

Это место доказательства требует дальнейшего критического анализа, аналогичного тому классическому, который был установлен по поводу принципа Дирихле. В то время как существование нижнего предела для значений интеграла А в совокупности кривых с несомненно, заранее неизвестно, что этот ни)мий предел действительно может быть достигнут для некоторой кривой с совокупности. [c.459]

Данный Раусом вывод предложения, что при действительных движениях V всегда будет минимум, поскольку V может постоянно увеличиваться, а Т никогда не может быть отрицательным, содержит ту же ошибку, что и старые доказательства так называемого принципа Дирихле. [c.903]

Теоремы Лагранжа — Дирихле и Ляпунова относятся к силам, имеющим потенциал. Для силы тяжести иллюстрацией может служить тяжелый шарик на поверхности (фиг. 41). Вообще, если при малом отклонении опертого твердого тела или системы от положения равновесия центр тяжести повышается, равновесие устойчиво, если понижается — неустойчиво, наконец, если остается на прежнем уровне — безразлично. В этом заключается так называемый принцип Торричелли. [c.378]

Согласно принципу Дирихле необходимым и достаточным условием того, чтобы система находилась в состоянии равновесия, является наличие экстремума полной потенциальной энергии системы [c.292]

Метод Ритца основан на использовании известной теоремы Дирихле—Лагранжа, на основании которой формулируется следующий принцип потенциальная энергия упругого тела в состоянии устойчивого равновесия имеет минимальное значение. Для использования метода Ритца в задачах расчета пластин необходимо составить выражения для потенциальной энергии деформации пластины U и работы внешних сил А. Полная потенциальная энергия пластины равна их разности [17= U—A). Можно показать, что при задании прогиба в виде (20.67) полная потенциальная энергия является квадратичной функцией параметров а , n=n(ali). [c.450]

Приведенные условия составляют сущность принципа Дирихле, представляющего собой достаточный критерий для оценки состояния равновесия рассматриваемого тела. [c.44]

Рассмотренная задача Дирихле линейна. Поэтому, использовав принцип суперпозиции, можно значительно обобщить ее постановку, считан, что все граничные условия (H.12.3V неоднородны и имеют правые части вида [c.495]

Теорема Бельтрами. Если имеем в пространстве 2 вихревое течение сжимаемой жидкости, то для его определения достаточно знать во всех точках рассматриваемого пространства 2 величины О, В1, о),, на одних граничных поверхностях его — нормальные составляющие скорости, на других — тангенциальные, циркуляции скорости по разомкнутым контурам, соединяющим граничные поверхности, на которых даны тангенциалг.ные скорости, и циркуляции скорости по всем главным контурам. Это вытекает из принципа Дирихле. Вообразив два течения, удовлетворяющие всем вышеупомянутым данным, и составив течение, скоростн которого суть геометрические разности скоростей этих двух течений, мы получим невихревое течение несжимаемой жидкости, в котором одни граничные поверхности суть поверхности тока, другие — поверхности равного потенциала скоростей, циркуляции же по всем главным контурам суть нули. В таком течении все скорости должны быть равны нулю, и, следовательно, оба воображаемых течения будут одинаковы. [c.375]

По принципу Дирихле прн указанных данных может существовать внутри рассматриваемого пространства только одна, совершенно определенная функция U—Р, которая вместе со своими производными конечна и непрерывна в рассматриваемом пространстве. Действительно, если бы существовали две такие функции, то, составляя их разность, мы [c.398]

Из принципа Дирихле явствует, что этими условиями и 6 вполне определяются как функции от и а, а следовательно, по формуле (22) — и как функции от и Примем и 6 за параметры, определяющие искомое нами течение. Для того чтобы найти их по указанным свойствам, положим [c.415]

Этими условиями, как известно из принципа Дирихле, I l вполне определяется. Но удобно поступить иначе не задавая наперед формы сосуда, принять за нее одну из замкнутых линий из семейства линий тока [c.433]

Р. Курант, Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные повер. сности, ИЛ, М., 1953, [c.125]

Чрезвычайно широкое применение получила теорема Римана г . Хотя, согласно этой теореме, требуются всего две граничные точки в плоскости Z, в практических приложениях желательно отображать в единичный круг кривую, содержащую бесконечное число граничных точек. Проблему конформного отображения Ри-ман разработал в своей диссертации (1851 г.), где были представлены все основные понятия, на которых базируются последующие работы в этой области. Однако его доказательство теоремы об отображении было не полным, поскольку оно зиждилось на спорных допущениях, обоснованность которых была доказана лишь в 1900 г. Гильбертом в теореме, известной под названием принцип Дирихле. Доказательства теоремы здесь не дается, однако полезно рассмотреть условия единственности отображения. Два различных единственных отображения односвязной области на внутреннюю область единичного круга дают единственное отображение единичного круга в самого себя как будет показано далее, это преобразование должно быть линейным. Однако линейное преобразование единичного круга в самого себя имеет три степени свободы (см. следующий раздел). Итак, комплексное число /(0) дает два действительных числа само данное и arg/ (0), что достаточно для обеспечения единственности преобразования, [c.154]

Классическое доказательство этого результата, принадлежащее Кельвину, можно найти в книге Ламба ([8], 45). Справедливо и обратное утверждение это утверждение является по существу переформулировкой известного принципа Дирихле для гармонических функций. [c.68]

Принцип Дирихле ). В классе всех безвихревых течений v = grad p в области I) наибольшее значение функционалу [c.68]

Множитель р, фигурирующий в формулах (24.2) и (24.3), представляет собой некоторую заранее заданную постоянную, которую естественно принять за плотность течения, дающего максимум функционалу (24.2). Движения рассматриваемого класса не обязаны удовлетворять условию divv = 0, и их плотности, следовательно, нельзя отождествлять с р. Для доказательства принципа Дирихле обозначим через ср потенциал безвихревого движения, удовлетворяющего условиям (24.3). Ясно, что ср является гармонической функцией и определяется единственным образом с точностью до аддитивной постоянной. Простые преобразования приводят к следующему равенству [c.69]

Очевидно, что рещения двух вариационных задач, сформулированных выше, совпадают. Более того, минимальное значение энергии в принципе Кельвина в точности равно максимуму 3 в принципе Дирихле. Это следует из того, что для течения с экстремальной энергией [c.69]

Согласно принципу Дирихле, это неравенство усиливается, если функцию Уг в левой части неравенства заменить гармонической функцией У , принимающей те же граничные значения [c.226]

В этом случае сформулированные выше теоремы сводятся к общеизвестным принципам Дирихле и Томсона в электростатике [19, 111, 133]. [c.11]

Таким образом, для нахождения (х) получили граничную задачу Дирихле для четверти пространства (Хз 0) П ( з О). Решение этой задачи было получено в п. 6 и дано формулой (4.39 ). Лля построения (х) вслед-ствие нулевых значений на плоскости 5д применим принцип симметрии относительно этой плоскости, тогда будем иметь [c.619]

Если в рассматриваемой области токи отсутствуют, то статические поля описываются скалярным потенциалом, и тогда еобходимо решать уравнение Пуассона (1.18) или уравнение Лапласа (1.23) с потенциалами, заданными на поверхностях электродов, полюсных наконечников, либо постоянных магнитов (граничная задача Дирихле). Если пренебречь влиянием токов, создающих магнитные поля, электрическими и магнитными полями, создаваемыми самими пучками заряженных частиц (см. гл. 12), считать проницаемость магнитного материала бесконечно большой, а эффекты насыщения пренебрежимо малыми, то в принципе нет различия между электростатическими и магнитными полями, так как распределение скалярных потенциалов в обоих случаях определяется уравнением Лапласа и граничными условиями. Большинство методов, представленных в этой главе, пригодны для определения таких потенциальных полей. [c.64]

Можно показать, что в случае устойчивого равновесия экстремальное значение полной потенциальной энергии соответствует минимуму (принцип минимума потенциальной энергии, иногда называемый также принципом Грина— Дирихле). Это легко доказать для линейно-упругой задачи, если сравнить П в состоянии равновесия со значением П в смежном состоянии, характеризуемом величинами м,--1-би,- и е,/+ бе,/. Тогда устанавливается, что всегда П > П. [c.92]

Рассуждение повторяет аналогичное доказательство [56, 96] для решения обобщенной задачи Дирихле в ограниченной области для уравнения Лапласа. Последнее основано на применении принципа максимума с использованием в качестве мажоранты функции [c.92]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...