Эрмитовы операторы

Классические динамические функции А (q, р) обобщенных координат и импульсов (фазовой точки) сопоставляются в квантовой теории эрмитовым операторам А с непрерывным или, чаще, с дискретным спектром Ai, которые действуют на волновую функцию l)i(q). Скобки Пуассона [А, В динамических функций [c.220]

Функцией называется правило, по которому числу сопоставляется число, а оператором называется правило, по которому функции сопоставляется функция. Собственные значения эрмитовых операторов вещественные числа. [c.107]

Собственные функции эрмитовых операторов. принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг [c.107]

Оператор координаты. Операторы, представляющие динамические переменные, должны быть самосопряженными эрмитовыми операторами. Вы- [c.110]

Пользуясь эрмитовостью оператора Н, второй интеграл в правой части равенства можно преобразовать H V )A >dV= A )H4> dV = [c.123]

Это правило выражает основное свойство (21.25) сопряженных операторов в матричном виде. Свойство (21.27) эрмитовости оператора выражается равенствами = /1, . Единичный оператор представляется матрицей с отличными от нуля диагональными элементами, равными единице. [c.137]

Для каждого невырожденного собственного значения решение системы уравнений (21.55) дает соответствующую собственную функцию. Если все п собственных значений невырожденные, то имеется п различных собственных функций. Важное свойство эрмитовых операторов состоит в том, что их собственные значения вещественны. Для доказательства рассмотрим уравнение (21.53) на собственные значения, которое после умножения слева на <( приводит к равенству [c.137]

Для эрмитовых операторов А = А и это соотношение имеет вид равенства [c.137]

Вырожденные собственные значения унитарных операторов анализируются аналогично вырожденным собственным значениям эрмитовых операторов, как это рассмотрено выше. [c.139]

Оператор D не является эрмитовым оператором, потому что [c.146]

Базис из векторов к генерируется эрмитовым оператором К, матричные элементы которого в этом базисе равны (к К к ) [c.149]

Независимые динамические переменные, соответствующие классическим координате х и импульсу р частицы, представляются эрмитовыми операторами X и Р, матричные элементы которых в собственном базисе оператора Я равны [c.151]

Другие динамические переменные, соответствующие классическим функциям F(x,p), представляются эрмитовыми операторами F(X,P) = = F x X,p P). [c.151]

Для квантования динамической системы необходимо ввести систему линейных операторов, соответствующих динамическим переменным д 1л р и их функциям. Классическим переменным — скоростям и переменным, содержащим т, не могут быть поставлены в соответствие операторы. Операторы действуют на векторы у) в гильбертовом пространстве, причем их представители в любом представлении (волновые функции) задают состояния квантовой системы. Вещественные классические переменные соответствуют эрмитовым операторам. Соответствие между классическими и квантовыми величинами основано на двух принципах, которые, обозначая соответствующие классические и квантовые величины одинаковыми буквами, сформулируем следующим образом [c.719]

Отсюда следует, что разность между Ф и сопряженным эрмитовым оператором Ф+ не обязательно равна нулю [c.149]

Я буду называть А звездно-эрмитовым оператором, связанным с оператором L (знак звездочки всегда означает инверсию L —L). Нз уравнения (48) следует, что для звездно-унитарного преобразования обратное преобразование равно сопряженному с ним звездному эрмитову оператору. [c.150]

Рассмотрим теперь уравнение (42). Используя тот факт, что оператор L, так же как операторы уравнений (48) и (49), являются эрмитовыми операторами, получаем [c.150]

Поэтому, по Дираку, состояние квантовой системы описывается бра-вектором (ifi или сопряженным ему кет-вектором 1113) = = (( ф )" " состояния (с волновой функцией j)(q, /)=) в бесконечномерном гильбертовом (функциенальном) пространстве. В этом линейном пространстве в качестве базиса используются ортонормированные т т ) — 6fnm ) собственные функции il3m = = (q m) (Щт) = т т)) любой физической величины, представляемой эрмитовым оператором M = / i+, при этом Ст(0=( ф)-Условие полноты базиса т) (т-представления) символически можно записать в виде [c.188]

Итак, каждый эрмитов оператор имеет ортонормированный базис собственных векторов. В базисе собственных ортонормированных векторов матрица эрмитова оператора диагональна, причем диагональными элементами матрицы являются вещественные собственные значения эрмитова оператора. [c.138]

Конечно, это условие не всегда выполнимо. Для простых динамических систем, движущихся согласно периодическому закону, ни при их классическом, ни при квантовом рассмотрении функция Ляпунова существовать не может, ибо такие системы через некоторое время возвращаются в исходное состояние. Возможность существования оператора М определяется типом спектра оператора Лиувилля. В рамках классической эргодической теории этот вопрос недавно изучил Мисра [23]. Я постараюсь рассмотреть здесь некоторые следствия возможности существования оператора М уравнения (36), который можно рассматривать как энтропию систем, анализируемых на микроскопическом уровне. Поскольку М — величина положительная, то согласно общей теореме ее можно представить в виде произведения оператора, скажем, и сопряженного эрмитова оператора (Л" )" " (эта операция означает извлечение из положительного оператора квадратного корня) [c.148]

Таким образом, мы приходим к важному выводу новый оператор движения, появляющийся в преобразованном уравнении Лиувилля (уравнение (41)), более не может быть эрмитовым оператором, в отличие от оператора L уравнения Лиувилля. Это значит, что мы должны оставить обычный класс унитарных (или антиунитарных) преобразований и расширить область используемых симметрий квантовомеханических операторов. К счастью, установить класс преобразований, которые мы теперь рассмотрим, не составляет особого труда. Средние величины можно рассчитать как при прежнем, так и при новом способе задания функций. Результаты должны быть получены одни и те же. Иными словами, требуется, чтобы [c.149]

Наиболее интересным из подученных выше результатов является тот факт, что оператор уравнения движения оказался звездным эрмитовым оператором. Звездным эрмитовым оператором может быть либо оператор, четный относительно L-инверсии (это означает, что когда L заменяют на —L, знак оператора не изменяется), либо антиэрмитовый и нечетный (нечетность означает, что при замене L на L знак изменяется). Поэтому выражение для обобщенного звездного эрмитова оператора имеет следующий вид [c.151]

Условие (3.120) известно в функциональном анализе как закон биортогональности элементов дифференциальных операторов в гильбертовом пространстве [80]. Отметим также, что в задаче для твэла с эрмитовыми операторами L и Z , собственные функции которых идентичны [см. (3.103)], обш,ее условие биортогональности (3.120) превраш,ается в обычное условие ортогональности функций г)з (г) и il3+(r) = il) (r) [c.97]

Еще одним примером эрмитова оператора может служить оператор Лапласа, определенный на классе дважды дифференцируемых функций f, удовлетворяющих ограничению вида (1.8) при р=0. [c.213]

Отметим, что в случае эрмитовых операторов L к L+ решения основного и сопряженного уравнений становятся тождественными и условия биортогональности (П. 12) превращаются в обычные условия ортогональности. [c.214]

Если i]) —система собственных функций эрмитова оператора L в пространстве Li и / — любой вектор вида (П. 13), то [c.215]

Для задания произвольного В. с. дипамич, системы используется в качестве ортогонального нормированного (ортоиормировапиого) базиса совокупность В. с., отвечающих полно.чу набору измеряемых физ. величин для данной системы, т. е. если величины F, G,. .., Н составляют полный набор, а I, G,. .., II соответствующие им эрмитовы операторы, то в качестве базиса испо.17ьзуютоя собственные В. с. [c.248]

В квантовой теории физ. величинам соответствуют эрмитовы операторы, а одновременные собств. значения операторов полного набора П наз. квантовыми числами состояния, преобразующегося по данному представлению группы. Напр., у группы вращений. S t>(3) имеется К. о, с собств. значением [c.229]

Векторы состояния и линейные эрмитовы операторы. Принцип суперпозиции состояний диктует выбор матем. аппарата К. м. Первым осн. понятием К, м. является квантовое состояние. Согласно принципу суперпозиции состояний, суперпозиция любых возможных состояний системы, взятых с произвольными (комплексными) коэф., является также возможным состоянием системы. Т. о., состояния системы образуют линейное векторное пространство. Тем самым принцип суперпозиции состояний вскрывает матем. природу квантового состояния. Он указывает на то, что состояние системы должно описываться нек-рым вектором — вектором состояния, являющимся элементом линейного пространства состояний. Это позволяет использовать матем. аппарат, развитый для линейных (векторных) пространств. Вектор состояния обозначается, по Дираку, символом ij)>. Если система находится в состоянии, в к-ром физ. величина f имеет определ. (собств.) значение /, , вектор состояния системы удобно обозначать символом )/, >. Кроме сложения и умножения на комплексное число, вектор ij)> может подвергаться еще двум операциям. Во-первых, его можно проектировать на др. вектор, т. е. составить скалярное произведение ij3> с любым др. вектором состояния оно обозначается как <г ) t ) и яв- [c.278]

Очень важный для К, м. класс оиераторов составляют линейные эрмитовы операторы, собств. значения [c.278]

Т. о., совокупность собств. состояний физ. величины должна составлять (аналогично совокупности собств. векторов линейного эрмитова оператора) полный базис. [c.279]

Конкретны вид линейных эрмитовых операторов, соответствующих таким физ, величинам, как импульс, угловой (орбитальный) мо.меьт, энергия, постулируется исходя 113 соответствия принципа, требующего, чтобы в пределе А 0 рассматриваемые физ. величины принимали класснч. значения, и согласуется с общими принципами определения этих величин на основе законов сохранения (см. ниже). Вместе с тем в К. м. существуют такие линейные эрмитовы операторы напр., отвечающие преобразованию векторов состояния при отражении осей координат пространственной инверсии), перестановке одинаковых частиц и др.], к-рым соответствуют измеримые физ. величины, не имеющие классич. аналогов, напр, чётность (см. Операторы). [c.279]

М. р. удобно для построения раал. рода унитарных теорий возмущений, т. к. ввиду эрмитовости операторов Ап любой способ обрывания бесконечного ряда в экспоненте (2) не нарушает унитарности оператора эволюции S t,t ). [c.24]

Две физ. величины являются одновременно измеримыми, если существуют состояния, в к-рых обе эти величины с достоверностью принимают одновременно свои собств. значения (т. е. собств. состояния одной из них являются одновременно собств. состояниями другой). Необходимым и достаточным условием этого является условие коммутативности операторов, отвечающих этим величинам. Если две величины А и не измеримы одновременно, то теряет прямой смысл понятие произведения этих величин, т. к. оператор произведения двух некоммутирующих эрмитовых операторов А к В физ. величин не будет эрмитовым (т. е. не может отвечать к.-л. физ. величине) ЛВ) — В А Ф аВ. Однако в этом случае можно определить т. и. стгает-ризов. произведение двух величин как величину, н-рой соответствует эрмитов оператор Ч АВ -Ь В А). [c.235]

Соотношения типа (1) имеют место для любых фпз. величии (/, g), к-рым соответствуют некоммутирующие эрмитовы операторы. Если коммутатор [/, g] = Шс (где с — эрмитов оператор), то Н. с. приобретают вид [c.321]

Нормируя полученную систему ЬД, получим искомую О. с. в. Др. источником О. с. в. являются эрмитовы линейные операторы, т. К. собств. векторы эрмитова оператора, соответствующие разл. собств. значениям, ортогональны. Поэтому для каждого эрмитова оператора существует О. с. в., состоящая из его собств, векторов. [c.474]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...