Сплайны кубические (эрмитовы)

Определение. Кубическим интерполяционным сплайном дефекта 2 (эрмитовым кубическим сплайном) называется функция 5з,2(/ х) 8з,2(х), удовлетворяющая условиям ". [c.180]

Задача У.б. Интерполяция эрмитовым кубическим сплайном. [c.187]

Рис. 39. Интерполяция эрмитовым кубическим сплайном

Рассмотрим еще один важный случай пространства кубических элементов, образованного функциями, у которых даже вторая производная непрерывна в узлах. Кусочно кубические функции с непрерывными вторыми производными называются кубическими сплайнами. Это пространство кубических сплайнов представляет собой подпространство эрмитовых кубических функций с новым ограничением в каждом из Л —1 внутренних узлов. Поэтому размерность подпространства сплайнов равна ЗЫ — 2(Л —]) = Л - -2. Это означает, что каждому узлу соответствует одно неизвестное, включая крайние точки Хо = О (где Уо = О, а наклон Vg можно считать свободным параметром) и л у+1 = л + /г (можно в качестве последнего параметра взять Во внутренних точках сетки неизвестными являются перемещения и , и уравнения метода конечных элементов будут опять выглядеть в точности как уравнения в конечных разностях. [c.77]

Оценка (44) имеет смысл, если известно, что u обладает s производными, Тч е. кусочно полиномиальная функция принадлежит Поэтому S О в неравенстве (44) q — 1 для непрерывных квадратичных и кубических элементов, принадлежащих q = 2 для эрмитовых кубических элементов и q=3 для сплайнов. При S > <7 оценку еще можно получать между узлами, а в узлах появляются 6-функции. [c.79]

В двумерном случае также были проведены эксперименты со сплайнами, уменьшение числа М здесь еще значительнее, а выбор границы почти вынужден для обеспечения ее регулярности, сопоставимой с простотой узлового метода. Уменьшение ширины ленты матрицы жесткости К, разумеется, не следует из понижения числа М у кубических сплайнов одной переменной в каждой строке матрицы К по семь ненулевых элементов, так как В-сплайн Ф1 распространяется на четыре интервала. Фактически та же ширина ленты в случае эрмитовых полиномов, когда обычное упорядочение неизвестных дает матрицу вида [c.127]

Построение г з для кубических функций не так тривиально. Для эрмитовых кубических функций в разд. 1.7 были описаны вместе с 5-сплайном Ф1 две порождающие функции. Ни одна из [c.168]

Какой сплайн называется эрмитовым Каков дефект эрмитова кубического сплайна [c.195]

Сплайны 169, 171, 173, 330 В-снлайны 173, 175, 176, 177 Сплайны двумерные кубические 195 дифференцирование 200 интерполяционные 178, 179 интегрирование 201 кубические (эрмитовы) 180, 197 [c.350]

Кроме линейной и полиномиальной аппроксимации можно выбрать сплайн-аппроксимацию - когда на каждом интервале приближения используется кубический полином с новыми коэффициентами. В этом случае нельзя получить выражение для аппроксимирующей функции, т.е. такая аппроксимация является неполной. Аналогичными свойствами обладает и Эрмитовая аппроксимация. Она имеет только графическую интерпретацию. [c.266]

ЭРМИТОВЫ КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ. Пусть в узлах сетки А а = х0<х <...<х = ь заданы значения некоторой функции f(x) и ее производной/ (. ) [c.180]

Задача V.3. Построение эрмитова кубического сплайна. [c.181]

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЭРМИТОВЫМИ СПЛАЙНАМИ. Для построения эрмитова кубического сплайна необходимо за-, дать в узлах сетки Д значения интерполируемой функции fi и ее производных ft. Однако в практических задачах часто известны лишь узловые значения ft. Наиболее прортым выходом из этой ситуации является использование вместо [c.187]

ЭРМИТОВЫ КУБИЧЕСКИЕ. СПЛАЙНЫ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. В прямоугольной области 2= [а, Ь]Х[с, d] введем сетку.A=A.xXAi/, где Ах. a=Xo<....[c.197]

Определение. Интерполяционным эрмитовым кубическим сплайном двух переменных назовем функцию з,з(х, У)=5з,з(/ X, у), которая в каждом из прямоугольников Q,j= [Xi, X +i]X[y>-, г/i+i] t MeeT вид [c.197]

Для построения эрмитова кубического сплайна двух переменных необходимо задать в узлах сетки. А значения интерполируемой функции и ее частных производных. [c.198]

Р е ш е н и е. Результаты расчетов приведены на рис. 41. Анализ И30.ДИНИЙ показывает, что для кубического не-эрмитового сплайна в области больших градиентов функции z(x, у) характерны осцилляции с локальными экстра-мумами (рис. 41,6). Эрмитов сплайн обладает хорошими интерполяционными характеристиками (рис. i, 6,d). [c.200]

При исследовании процесса прессования в сигмоидальную матрицу конформное отображение криволинейной полосы D на прямолинейную полосу Е осуществлялось посредством склейки конформных отображений. На рис. 125 изображены зоны влияния отдельных участков границы и соответствующие им прямоугольники на плоскости W, склеиваемые с применением кубического двухмерного эрмитова интерполяционного сплайна (по X. Акима). Далее, на рис. 126 приводится сопоставление расчетной И- экспериментальной деформированных координатных сеток при прессовании труб ы из алю-миниевобернллиевого сплава в сигмоидальную матрицу. [c.323]

Идею эрмитовой конструкции можно распространить на элементы старшей степени 2q—l. В одномерном случае должно быть q разных функций, соответствующих двум функциям гр и со для кубического полинома все их производные порядка меньше q будут равны нулю в узлах, за исключением р-к функции сор(х), у которой d/dx)p- (up = 1 в начале координат. Это наиболее естественный способ построения базиса для кусочно полиномиальных функций степени 2q— 1 с — 1 непрерывными производными. В двумерном случае нужно рассмотреть все возможные произведения Юр (х) ( /), а это значит, что каждому узлу соответствует q неизвестных. Многие из них будут смешанными производными высокого порядка, так что конструкция слишком неэффективна при q > 3. Как всегда, число неиввестных можно уменьшить, предполагая дополнительную гладкость элементов. Предельный в этом направлении случай дают сплайны, обеспе- [c.110]

Подпространство сплайнов 5 , приемлемое для абстрактного метода конечных элементов, успешно применялось в одномерных приложениях. Построение уравнения /СР = Р и задание границы требуют изменений в технике, стандартной для узлового метода, но основные правила по-прежнему одинаковы для любой формы метода Ритца. Главное преимущество сплайнов в том, что дополнительная непрерывность уменьшает размерность пространства пробных функций без понижения степени аппроксимации. В узловом случае эрмитовы кубические полиномы определяются на каждом подынтервале значенияйи V и V в его концах (это означает, что на каждую точку сетки приходится М = 2 параметров). Порождающие функции Ф1 и Фг изображены на рис. 1.8 (функции яр и и соответственно). [c.127]

НИХ не удовлетворяет условию (5) на г з вплоть до й = 4. Тем не мрнее существует кубический сплайн, удовлетворяющий этому условию и отличающийся от нуля на шести интервалах (рис. 3,2). Это комбинация В-сплайна и двух его соседей, а так как каждый сплайн автоматически является эрмитовой кубической функцией, то г з в таком виде подходит также и для суперфункции в пространстве эрмитовых кубических функций. Обращаем внимание на то, что вовсе не обязательно знать, какова [c.169]

Дюпон [Д12] вычислил соответствующую скорость сходимости для кубических пробных функций, и оказалось, что ожидаемая степень к просто не появляется. Ошибка и — Ф имеет порядок О (/г ), т. е. на порядок больше наилучшего приближения к и с помощью кубических элементов. Расчеты Дюпона, встреченные с удивлением и, возможно, даже с некоторым недоверием, проводились для эрмитовых кубических элементов со значениями ы и ж в каждом узле в качестве неизвестных. Для кубических сплайнов его вычисления показали ошибку 0(/г ). Поэтому скорость сходимости зависит не только от степени конечных элементов. Действительно, более широкое пространство эрмитовых кубических элементов дало худшую аппроксимацию, чем его подпространство кубических сплайнов. Частично это объясняется так. Вычислим ошибку аппроксимации в общем случае, подставляя истинное решение уравнения щ- - Ьи = 0 в уравнение Галёркина u - -QLQФ = 0. В нашем случае Ь = —д дх и Q — проектор на подпространство 5 . Ошибка аппроксимации равна [c.295]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...