Ритца процесс

Метод Ритца требует от аппроксимирующих функций лишь выполнения кинематических условий на поверхности тела (сходимость процесса в общем случае не выяснена). Если же аппроксимирующие функции выбрать так, чтобы они удовлетворяли не только кинематическим, но и статическим (а в общем случае также и динамическим) условиягл на поверхности тела, то поверхностные интегралы в уравнениях (3.6.1), (3.7.1), (3.7.3) исчезают и соответствующие системы уравнений упрощаются. Для этого метода—метода Бубнова — Галёркина, решается положительно вопрос о сходимости процесса, т. е. с увеличением числа [c.74]

Условие равенства нулю производных, вообще говоря, есть лишь условие экстремальности, однако из-за положительной определенности оператора А следует, что здесь имеет место минимум. Очевидно, что с ростом числа членов ряда (12.45) погрешность решения (в смысле энергетической нормы) не увеличивается, но имеет место, конечно, гораздо более сильный результат погрешность стремится к нулю, поскольку процесс Ритца является процессом построения минимизирующей последовательности. [c.147]

Проблема сходимости приближенных решений, построенных по методу Бубнова — Галеркина, к точному решению в том случае, когда оператор — положительно определенный, эквивалентна аналогичной проблеме для процесса Ритца, и поэтому нет нужды в ее самостоятельном рассмотрении. Для других случаев такие исследования выполнены. Рассматривался, например [178], вопрос о решении интегральных уравнений Фредгольма второго рода и было показано, что решение по методу Бубнова — Галеркина совпадает с решением, получаемым при замене ядра на вырожденное при разложении его в ряд по произведениям координатных функций. [c.154]

Так же как в процессе применения метода Ритца при реализации метода Бубнова — Галеркина, возникают трудности, связанные с погрешностью вычислений (увеличивающиеся с ростом числа удерживаемых координатных функций). Проиллюстрируем сказанное на одном примере. Пусть требуется найти решение уравнения [c.156]

Вариациопные принципы и основанные на них вариационные методы играют важную роль в механике деформируемого твердого тела как в части получения дифференциальных уравнений задач, так и в части построения приближенных решений. К методам получения прнближеш1ых решений относятся методы Ритца — Тимошенко, Канторовича — Крылова, Бубнова — Галеркина и др. В основе всех этих методов лежат излагаемые ниже вариационные принципы в той или иной их комбинации. Хотя получение приближенных решений на основе этих методов при наличии мощных ЭВМ постепенно отходят на второй план, они все еще находят применение. В процессе применения ЭВМ на подготовительном этапе есть необходимость задачу интегрирования систем дифференциальных уравнений свести к задаче решения систем алгебраических уравнений. В этой части вариационные методы завоевывают все более и [c.186]

И, наконец, возможно применение прямых методов типа Ритца и Бубнова—Галеркина. Системы координатных функций, удовлетворяющие граничным условиям, а также обеспечивающие устойчивость вычислительного процесса, в рассматриваемой задаче могут быть таковы [c.82]

Метод Стодолы. Идея сведения вариационной задачи к задаче отыскания минимума функции нескольких переменных, являющаяся основной в методе Ритца, используется и в методе Стодолы. Отличие заключается лишь в том, что вместо процесса минимизации по обобщенным координатам (коэффициентам при координатных функциях) в методе Стодолы рассматривают минимизацию по некоторым параметрам, входящим в выражения для форм собственных колебаний (в аппроксимирующие функции). [c.184]

Различные методы решения нелинейных з ч теории пологих оболочек. обсуждаются в работе [172] применительно к нелинейным алгебраическим уравнениям метода Ритца. Наряду с методом продолжения решения в форме Давиденко и с использованием явных схем для интегрирования задачи Коши по параметру (непрерывное продолжение), рассматривается также модифицированный процесс Лазя (дискретное продолжение), причем для получения начального приближения предлагается квадратичная экстраполяция [199]. [c.188]

Теорема IV.3. Для того чтобы процесс Ритца был., устойчив, необходимо и достаточно, чтобы координИатная система была сильно минимальна в соответствуюш,ем пространстве. [c.164]

Применим полученные результаты к задаче IV. 1. Использованная в первом варианте решения ортонормированная тригонометрическая система сильно минимальна в что обеспечивает устойчивость процесса Ритца. [c.164]

В каком смысле можно говорить об устойчивости или неустойчивости процесса Ритца [c.165]

Как формулируется необходимое и достаточное условие устойчивости процесса Ритца [c.165]

В настоящее время имеется уже значительное число внублико-ванных работ [1—8, 24—32], в которых граничные интегральные соотношения выводятся из энергетических соображений при этом, в частности, используются метод моментов, метод Галёркина или метод Релея — Ритца. Хотя каждый из этих методов позволяет получать симметричные матрицы линейных систем, с инженерной точки зрения более предпочтительным, вероятно, является подход, основанный на минимизации суммы взвешенных невязок, так как он приводит к более глубокому пониманию физической сущности изучаемых процессов. [c.389]

Полиамидные смолы можно диспергировать в органиче ских растворителях, получая коллоидные системы, содержащие полиамид в виде взвешенных мелких твердых частиц, набухших в растворителе, но не растворившихся в нем. Сначала при помощи дробящего или измельчающего устройства смолу измельчают в тонкий порошок. Для измельчения версамида 900 (температура размягчения 180°) вполне пригоден дезинтегратор Ритца. Измельченные в порошок твердые частицы смешивают с растворителем, состоящим из смеси около 90% алифатического углеводорода и 10% бутилового спирта или целлозольва. Растворитель с порошкообразной смолой вносят в шаровую мельницу и перетирают в течение 8—16 час. Добавка небольшого количества смачивающего вещества, например лецитина, облегчает перетир. В процессе перетира размер частиц еще больше уменьшается и они набухают в растворителе. В результате получается однородная тиксотропная дисперсия мельчайших частиц, набух ших в растворителе мало текучая в состоянии покоя, но легкоподвижная при перемешивании. С увеличением скорости перемешивания текучесть суспензии увеличивается. [c.165]

Легко проверить, что из-за наличия интегралов по 51 и 5г функционал (21.3) не будет положительно определенным. Сходимость метода Ритца следует контролировать численным способом. Сравнение результатов, полученных при разном количестве базисных функций, показывает, что наименьшее по модулю собственное значение б1 вычисляется с погрешностью примерно 1% при общем числе базисных функций (в У+ и ]/ ), равном 6—7. Существенного улучшения точности с увеличением числа базисных функций достичь не удается без специальных мер, повышающих устойчивость вычислительного процесса. Тем не менее увеличение числа функций существенно повышает (примерно до того же уровня 1—5%) точность вычисления высших собственных значений. [c.229]

Исходным положением нри определении нестационарных процессов деформации с помощью вариационных методов является принцип Гамильтона для упругих систем. Однако этот принцип применяется для вывода уравнений движения, но не для непосредственного построения прибли женного решения но методу Ритца, так как обобщенные координаты системы неизвестны в конечный момент интервала времени, в течение которого изучение процесса представляет интерес. Для того чтобы использовать метод Ритца, нужно к энергетическому функционалу прибавить некоторые дополнительные члены, описывающие состояние системы в конечный момент времени, но в итоге полученный функционал не обладает уже потенциалом. [c.236]

Для приближенного решения операторных уравнений с положительно определенными операторами можно использовать метод (процесс) Ритца (см. приложение). В методе Ритца используется эквивалентность задачи решения операторного уравнения с положительно определенным оператором и задачи минимизации определенного квадратичного функционала, для которого строится минимизирующая последовательность, сходящаяся к решению операторного уравнения. Применительно к уравнению вида (49) таким функционалом является функционал, для которого это уравнение относительно Ki (t) является необходимым и достаточным условием минимума. [c.88]

Заметим, что процесс Ритца может оказаться неустойчивым. Погрешности, которые возникают при формировании систем Ритца, существенным образом могут отразиться на точности вычисления коэффициентов в выражении вида (П. 5). [c.107]

Устойчивость процесса Ритца обеспечивается специальным выбором координатных систем. Ясно, что свойство устойчивости определяется также и тем, каков оператор А. Как показано в данной статье и ее приложении, при использовании принципа сложности возникают параметрические функционалы и параметрические положительно определенные операторы (зависят от параметров 6 ). При решении этих задач методом Ритца свойство устойчивости процесса зависит как от используемой координатной системы, так и от параметров 0 . Нецелесообразно выбирать параметры 0,- слишком малыми. [c.108]

Рассмотрены вопросы упругой устойчивости иагруженпы.х параболической нагрузкой пологих оболочек на круглом плане, нри прогнба.х, превос.ходящих толщину, но существенно меньших прочих размеров систе,мы. Вариационным методом Ритца задача сведена к системе нелинейных алгебраических уравнений. Изучено влияние различных параметров (геометрического параметра хлопка, коэффициента Пуассона) и граничных условий на процесс потери устойчивости. Показано, что пологие сферические оболочки получают меньше деформации при нагрузках, распределенных по параболическому закону, по сравнению с оболочками, загруженными равномерно распределенны.м давление.ч. Табл, 2, ил. 3, список лит. 3 назв. [c.329]

В связи с этим возникает практическая необходимость в разработке способа расчета частот первых трех-четырех форм изгибных колебаний, сравнимого по точности с методом последовательных приближений и позволяющего в процессе расчета оценивать точность получающихся результатов. Такой способ расчета, основанный на (использовании метода Ритца, и излагается в настоящей статье. [c.271]

Изложенный здесь подход известен как метод перемещений [1. 2]. До сих лор обоснование метода было нестрогим, хотя, в сущности, этот метод эквивалентен минимизации полной потенциальной энергии системы, выраженной через поле перемещений. При подходящем выборе поля перемещений- решение должно сходиться к точному. Этот процесс эквивалентен хорошо известному методу Ритца, что будет показано в одном из последующих разделов этой главы. Там же будут рассмотрены необходимые критерии сходимости. [c.27]

Несложно показать, что 2 — положительно определенный оператор, кроме того, очевидно, что при граничном условии (2.2.2) он самосопряженный. Следовательно, проекционный алгоритм, описанный в данном параграфе, эквитлентен процессу Ритца минимизации функционала и) = d L и, и >/ ы на пробных функциях причем [c.106]

В этом разделе мы укажем последовательность операций, производимых ЭВМ в процессе построения матрицы жесткости /С, т. е. в процессе получения дискретной системы метода конечных элементов KQ = Р. Кроме того, кратко опишем вычисление составляющих вектора нагрузок Р. Мы не собираемся излагать частные детали, которые могут понадобиться программисту, а хотим прояснить решающий фактор успеха метода конечных элементов при практическом применении метода Ритца чрезвычайно удобны полиномиальные элементы, подобные рассмотренным в предыдущем разделе, и, возможно, только они одни. [c.112]

Для применения метода Ритца примем приближенное выражение установившегося процесса вынужденных колебаний в виде ряда [c.163]

Решение вариационного уравнения Лагранжа по способу выбора аппроксимирующих функций может быть выполнено методом Ритца, Галеркина, Треффца и др. Метод Ритца требует от аппроксимирующих функций только лишь выполнения кинематических условий на поверхности тела. Сходимость процесса в общем случае не выяснена. Если же аппроксимирующие функции выбрать так, чтобы они удовлетворяли не только кинематическим, но также и статическим (динамическим) условиям на поверхности тела, то поверхностные интегралы в уравнениях (12), (18), (20) исчезают и соответствующие системы уравнений упрощаются. Этот метод носит название метода Галеркина. Следует отметить, что для метода Галеркина решается положительно вопрос о сходимости процесса, т. е. с увеличением числа аппроксимирующих функций до бесконечности получается точное решение задачи. В методе Треффца аппроксимирующие функции выбираются так, чтобы объемный интеграл в уравнениях (12), (18), (20) тождественно обращался в нуль. Для метода Треффца сходимость процесса доказана. [c.23]

Последняя задача может быть приближенно решена подбором в качестве потенциальной функции линейного сочетания частных функций, которые удовлетворяют граничным условиям, но не удовлетворяют уравнению Лапласа, т. е. методом Ритца, или же удовлетворяют уравнению Лапласа, но не граничным условиям, т. е. методом Трефтца. Подобрав такие ряды частных функций, приводим фактический процесс аналитического решения, необходимого для получения приближенного результата, к решению систем совместных линейных алгебраических уравнений для нахождения постоянных коэфициентов в линейных сочетаниях частных функций. Коэфициенты в этих алгебраических уравнениях представлены интегралами, которые включают частные функции и заранее установленные граничные значения, которые допускаются точным решением на контурах. [c.213]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...