Сомильяны упругая

Принятие этой зависимости аналогично принятию основной гипотезы Герца в теории удара, однако, как отмечает Н. А. Кильчевский, относительная погрешность, связанная с использованием равенства (2.2.86) для изображений, меньше, чем погрешность, которая возникает при введении соотношения (2.2.83) в пространстве оригиналов (равенства (2.2.86) и (2.2.82) не эквивалентны). Кильчевский оценил погрешность такого квазистатического решения, сравнивая его с точным решением задачи, основанным на использовании метода Сомилья-на интегрирования динамических уравнений упругости. В результате установлено, что погрешность не превышает 20%, следовательно, при вычислении давления и скорости можно ограничиться квазистатиче-ским решением. [c.133]

Остановимся еще на вопросе о применении в теории упругости матрицы (тензора) Грина. Определяется она следующим образом. Пусть р — некоторая точка области О и Г(р,д) — соответствующее ей решение Кельвина — Сомильяны. Пусть /(р, (/)—некоторая матрица, каждый столбец которой удовлетворяет уравнениям Ламе (по координатам точки р), а точка р присутствует в элементах этой матрицы как параметр. Тогда можно показать (повторяя фактически все рассуждения, [c.569]

Метод потенциалов может быть использован для решения пространственных задач теории упругости в случае анизотропии общего вида. Для построения соответствующих интегральных уравнений необходимо (как и в случае изотропной среды) располагать рещением Кельвина — Сомильяны. [c.662]

При известных значениях F и p уравнение (2.3.31) представляет собой неоднородное уравнение Навье-Ляме теории упругости, которому соответствует следующее интегральное уравнение (тождество Кельвина-Сомильяны [38]) [c.102]

В котором тензор влияния 0 М, Q) для неограниченной упругой среды — тензор Кельвина — Сомильяна — представляется по [c.175]

Силовые точечные особенности. Перемещение точки наблюдения М в неограниченной упругой среде под действием сосредоточенной в точке истока Q силы Р определяется с помощью тензора Кельвина — Сомильяна формулой (3.5.9) гл. IV [c.207]

Известно несколько приемов решения этой рассмотренной Буссинеком и Черрути классической задачи. В частной задаче Буссинека, когда qi — q2 = О и рассматривается нагружение сосредоточенной силой Q, нормальной к границе полупространства, решение легко получить наложением напряженного состояния (1.4.6), создаваемого особой линией центров сжатия, на напряженное состояние в неограниченной упругой среде от сосредоточенной силы (решение Кельвина — Сомильяна, п. 3.5 гл. IV). Переход к общему случаю нормального нагружения р х,у) после этого, очевидно, прост. Другой прием состоит в применении решения Папковича — Нейбера (п. 1.4 гл. IV) он распространяется и на общую задачу Буссинека — Черрути, то есть на случай нагружения (2.1.2). [c.224]

К п. 2.5. На плодотворность применения метода изображений в задачах теории упругости указал Сомильяна [c.915]

Уравнения (3.17) можно рассматривать как уравнения краевой задачи теории упругости для однородного тела с тензором модулей упругости ijmn) И перемещениями uj (r), обусловленными действием случайных объемных сил Пу (г). Бели размеры тела V неограниченно велики по сравнению с размерами элементов структуры, то решение краевой задачи (3.17), (3.18) не зависит от формы границы S. Поэтому всюду внутри тела V, кроме малой окрестности, прилегающей к границе 5, решение задачи (3.17), (3.18) можно представить с помощью тензора Кельвина-Сомильяны Gy однородной среды, упругие свойства которой определяются тензором ijmn) [62, 296]. Тензор G вместе со своими производными обращается на бесконечности в нуль и удовлетворяет уравнению [c.44]

Интегралы одинакового типа в формулах (3.30) и (3.31), содержащие тензор Кельвина-Сомильяны, можно рассматривать как несобственные, так как размер тела V неограниченно больше размера злементов структуры. Интегрирование по объему всего тела в зтих формулах можно заменить интегрированием по области статистической зависимости случайного поля структурных модулей упругости — области, в которой значения локальной функции (г, г") отличны от нуля. [c.46]

Если теперь заполнить образовавшуюся щель (в промежутке AD) материалом, из области перекрытия (в промежутке DB) лишний материал удалить, мысленно склеить берега разреза и предоставить материалу способность упруго срелаксировать, то получится источник напряжений, известный в механике сплошной среды как дислокация. Ее принято называть дислокацией Сомилиа- [c.167]

Предшествующие алгоритмы можно достаточно легко ввести в вычислительную программу для прямого метода граничных интегралов TWOBI. Смещения и напряжения во внутренних точках обеих подобластей Ri и можно получить, используя формулы Сомильяны (6.7.3) и (6.7.8) с упругими постоянными, соответствующими рассматриваемой подобласти. [c.177]

Введенные выше потенциалы простого слоя, двойного слоя и их производные, как показано в 1, удовлетворяют тождественно дифференциальным уравнениям теории упругости внутри тела при отсутствии объемных сил. Частное решение, соответствующее действию объемных сил, выражается объемным потенциалом с плотностью, равной объемной силе. В связи с этим решение тон или иной краевой задачи теории упругости можно попытаться искать в виде суммы одного или нескольких граничных потенциалов и объемного потенциала. Плотности граничных потенциалов должны содержать достаточно неизвестных, чтобы можно было удовлетворить граничные условия. Для нахождения этих неизвестных строятся интегральные уравнения на границе тела —граничные интегральные уравнения (ГИУ). Если при заданных краевых условиях доказано существование решения построенного интегрального уравнения, то тем самым обоснована использованная формула представления решения. Вопрос обоснования формулы представления решения не возникает, если в качестве ее используется формула Сомильяны, справедливая дл любого регулярного, т. е. принадлежащего классу ( (Q) n (Q)) , поля перемещений, а также для более общих классов перемещений, для которых имеет место формула Бетти. Поскольку плотности потенциалов простого и двойного слоя, входящих в формулу Сомильяны, имеют прямой физический смысл, то соответствующую формулировку метода граничных элементов (МГЭ) называют прямой формулировкой МГЭ. В противоположность этому формулировку МГЭ, использующую другие формулы представления, называют непрямой формулировкой МГЭ. [c.62]

Существует несколько возможных подходов, позволяющих получить интегральные уравнения. Их можно вывести формально, используя тождества линейной теории упругости [12— 14]. При таком подходе окончательное граничное интегральное уравнение (векторное уравнение) можно отождествить с интегралом Сомильяна, вычисленным по поверхности тела. В работе [15] был предложен метод для решения граничных задач теории упругости при заданных нагрузках, согласно ко торому действительное тело погружается в последовательность фиктивных полуплоскостей, поочередно касающихся действительной границы тела, В каждой точке касания вводится неизвестная фиктивная , нагрузка, распределенная вдоль линии. Если потребовать, чтобы фиктивные нагрузки удовлетворяли граничным условиям для напряжений, то в результате получается векторное граничное интегральное уравнение. [c.153]

Установить аналогию можно следующим образом (см., например, [7]). Запишем уравнения теории упругости в перемещениях, введя в них гидростатическую составляющую тензора напряжений Р — —ke (где k = = Я + VsM — модуль объемного сжатия, е = -и — объемное расширение). Имеем [гДи — /з(1-t-v) VP == 0. Перейдем к случаю несжимаемой упругой среды, устремляя v->0,5 так, чтобы (х и Р оставались конечными (при этом k-yoo, е-кО). В результате получим уравнения, совпадающие-с (1.1), (1.2). Поэтому решения многих задач теории упругости непосредственно приводят к решениям задач о медленных течениях вязкой жидкости. Так, тензор Сомильяна (см. примечание на стр. 53) после предельного перехода дает известное решение задачи о течении, возникающем под действием сосредоточенной силы (стокслета) в произвольной точке жидкости. Менее тривиальный пример рассмотрен в [7], где на основе [c.185]

Решение уравнений теории )шругости (1.7) может быть выражено через интегралы от значений напряжений и смещений на поверхности тела. Такое интегральное представление есть не что иное, как аналог третьей формулы Грина ([82]), но для уравнений теории упругости. Можно показать [17, 96, 98], что компоненты вектора смещений в произвольной точке у = (Уь 72, 7з) тела выражаются следующей формулой (формулой Сомилианы), приводимой ниже для простоты в случае, когда объемные силы отсутствуют [c.86]

Формула Сомилианы (4.1) и следующая из нее формула (4.4) имеют разнообразные применения при исследовании и решении задач теории упругости. Формулу (4.1) используют для вывода граничных интегральных уравнений (ГИУ) задач теории упругости. С помощью (4.1) и [c.87]

Формула Сомилианы, как уже отмечалось, выражает смещение во внутренних точках тела через значения всех компонент смещений и напряжений на границе тела. В корректно поставленных краевых задачах теории упругости на границе тела задается лишь часть из этих величин, остальные могут быть определены только после решения задачи. Поэтому нельзя непосредственно использовать формулу Сомилианы для оценки смещений во внутренних точках тела через заданные на границе краевые условия. [c.87]

Предполагается, что указанные вспомогательные поля построены. Формула Сомилианы (1.7) записьгеается в иной форме (во второй член подынтегрального выражения вместо Р/у вводится сопряженное упругое поле) и в ней выделяются интегралы ио Si и 2, содержапдие неизвестные в исходной постановке краевой задачи величины и и tL. Эти интегралы могут [c.88]

Ясно, что реализуемость и эффективность таких оценок определяется возможностью построить вспомогательные поля смещений и напряжений с требуемыми свойствами. Это весьма сложная задача, в особенности для трехмерных упругих тел. Поэтому описанный способ построения локальных оценок решений дня трехмерных задач теории упругости не получил распространения. Хотя в некоторых случаях для элементов конструкций специального типа (рамы, пластинки и т.п.) его удается применить. Подробное изложение с обоснованием и анализом способа построения локальных оценок на основе формулы Сомилианы дано в [223]. Там же указаны и возможные модификации, восходящие к Синджу [215], однако и они не приводят к коренным упрощениям процедуры. [c.88]

В п. 3.4.2 обсуждалась возможность построения оценок смещений внутри тела с помощью формулы Сомилианы (4.1) во внутренних задачах теории упругости. Для внешних задач формула (4.1) и следующая из нее [c.90]

Неравенства (1.24) позволяют получать локальные оценки решений, действуя аналогично тому, как на основе теоремы взаимности доказьшается формула Сомилианы [98]. Действительно, с — произвольное упругое состояние. Если в качестве с выбрать состояние, для которого упругие поля отличны от нуля лишь в окрестности некоторой точки упругого тела, то ((а, с)) будет интегрально характеризовать решение в выделенной окрестности рассматриваемой точки. [c.99]

Среди частных решений системы уравнений (I) особого внимания заслуживают так называемые фундаментальные решения, отвечающие действию сосредоточенных сил в неограниченном упругом пространстве. При помощи этих фундаментальных решений можно найти решения для ограниченной области, применяя формулы Сомильяны и Грина ( 4.13 и 4.14). [c.180]

Без труда можно перенести результаты 13.10, касающиеся обобщенных формул Сомильяны, на динамические задачи теории несимметричной упругости. [c.822]

В последнее время методы калибровочных полей используются для описания структуры и физических свойств неупорядоченных систем. При этом наряду с изучаемыми в механике сплошных сред физическими полями (поле деформаций) появляются калибровочные поля, описывающие дефекты (дислокации, дисклинации, точечные дефекты), ответственные за неупорядоченность [1—8]. Так, в работах [1—2] в качестве калибровочной группы введена группа СЬ(3), что позволяет описать дислокации Сомилианы [9]. В работе [3] взята группа аффинных преобразований ОЬ(3)[>Т(3), что позволило учесть трансляционный вклад в деформацию. Наконец, в работе [4] калибровочной группой является полупрямое произведение группы вращений 80(3) и группы трансляций Т(3), 80(3)>Т(3). Обобщение нелинейной теории упругости локализаций группы 80(3)[>Т(3) дает возможность построить динамику дислокаций и дисклинаций. [c.20]

В дополнении даны основные уравнения динамической теории упругости, кото]рые использованы в основном тексте монографии. Приведены уравнения движения в перемещениях, сформулированы граничные и начальные условия. Представлено решение в виде скалярного и векторного потенциала. О юрмулирован1 вариационные принципы динамической теории упругости и теорема взаимностн, а также приведена формула Сомилианы. Рассмотрены гармонические колебания [c.7]

Однако эти соображения не снижают ценность классического решения Кельвина-Сомильяны о действии сосредоточенной силы Р в неограниченной упругой среде [53] [c.78]

Чтобы применить теорию интегральных уравненнй к первой краевой задаче (задаче Дирихле), нужно рассмотреть классическую систему дифференциальных уравнений теории упругости как однородную систему с неоднородными граничными условиями и представить решение в виде потенциала двойного слоя, соответствующего фундаментальной матрице решений, которую для этой системы дифференциальвых уравнений построили лорд Кельвин [14] и Сомильяна [40]. [c.143]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...