Нолла точка

Гидромеханика относится в основном к кругу инженерных наук. Уникальная черта инженерной дисциплины состоит в том, что последняя не определяет свою позицию по вопросу о современном (а возможно, и вечном) размежевании науки на аксиоматическую и естественную, но черпает результаты из достижений обеих наук и применяет их для решения встающих перед нею задач. На классический вопрос о роли математики — создает она что-либо или только открывает — инженер отвечает, что это не имеет реального значения, важно, что она работает при этом он не будет вдаваться в дискуссию о том, каким должно быть определение понятия работа применительно к математике. В частности, в области неньютоновской гидромеханики основные результаты, касающиеся общих принципов, были получены именно математиками, и, более того, в рамках аксиоматического подхода к науке. Многие из этих результатов приведены в трудно доступной для инженера специальной литературе, и то лишь в фрагментарной форме. Даже прекрасная книга Основы нелинейной теории поля Трусделла и Нолла, которым мы выражаем глубокую признательность, очень трудна для изучения инженеру, интересующемуся гидромеханикой, поскольку посвящена гораздо более широкому предмету и потребует усердного штудирования для извлечения нужной информации. Мы попытались представить результаты современной нелинейной теории сплошных сред в виде, легко досту- [c.7]

Более тонкое, но в той же степени фундаментальное требование инвариантности уравнений состояния состоит в том, что они должны оставаться неизд1ененными при изменении системы отсчета, даже зависящей от времени системы отсчета. Это можно либо принять как постулат, либо признать интуитивно. Хороший пример интуитивного принятия этого принципа объективности поведения материала указан Трусделлом и Ноллом [1] [c.58]

Теперь мы в состоянии строго формализовать исследование течений с предысторией постоянной деформации. Следуя Колема-ну [4] и Ноллу [5], примем такое определение Говорят, что течение является течением с предысторией постоянной деформации, если в уравнении (3-5.19) (или, что то же самое, в уравнении (3-5.20)) в качестве Р (() используется любая гладкая ортогональная тензорная функция, для которой Р (0) = 1 . [c.119]

Работа Колемана и Нолла по простым жидкостям... основывается на противоположной предпосылке, которую труднее принять с физической точки зрения из-за природы доступных нам экспериментальных методик. Постулируется..., что напряженное состояние элемента... должно полностью определяться предысторией деформирования... Не представляется самоочевидным, что этот постулат справедлив для всех реальных жидкостей. Например, может [c.242]

В качестве первого примера, несколько видоизменяя построения Нолла (Noll [1978]), рассмотрим задачу с граничными условиями на напряжения, которая соответствует следующему легко осуществимому опыту. Разрежем теннисный мяч над экватором, как указано на рис. 5.8-1 (а). Взяв из двух получившихся частей большую и достаточно сильно надавив на неё снизу около точки Ь, обнаружим, что она придёт в вывернутое состояние (рис. 5.8-1 (Ь)), которому, очевидно, соответствует деформация, отличная от исходной. Напряжённое состояние также будет иным, поскольку, если сделать небольшой надрез вблизи точки а =ф1(а), его края будут прижаты друг к другу, тогда как края того же надреза вблизи точки ф2(а) разойдутся. [c.272]

Считая механику сплошной среды разделом математики, К. Трусделл использует те и только те понятия, которые -допу-скают формализацию. При этом он опирается, главным образом, на аксиоматику Нолла. Характерным для книги является углубленный интерес к первичным элементам механики (телам, силам, движениям), описываемым с помощью формальных структур. Подробно обсуждаются такие понятия, как система отсчета и конфигурация, а также принцип независимости от системы отсчета, или принцип материальной объективности. Приводятся формулировки основных законов механики. Все это относится в одинаковой степени ко всем материалам, будь то жидкость, газ или твердое тело. Различие между материалами устанавливается теорией определяющих уравнений, изложение которой является одним из наиболее интересных моментов в книге. Важно подчеркнуть, что теория определяющих уравнений — это сводка необходимых ограничений и выяснение структуры оп- [c.5]

Теорема (Нолл). Если система сил во вселенной аналитической динамики сбалансирована, то соответствующая система моментов сбалансирована тогда и только тогда, когда силы взаимодействия центральны. [c.43]

Общее значение этих двух функций isr и V в точке х есть тогда функция одного лишь п, это значение можно будет обозначить через t(x, п), и теорема Нолла будет доказана. [c.135]

Упражнение III.2.2. Завершить доказательство теоремы Нолла, рассмотрев случай, когда х —седловая точка нлн обеих поверхностей. [c.136]

Определение (Нолл). Пусть — реакция простого материала по отношению к отсчетной конфигурации х. Тела-точки X, и Х2 [c.182]

Группа равноправности в заданной материальной точке, равно как и реакция 65 рассматриваемого материала, зависят от выбора отсчетной конфигурации х. Поскольку реакция определяет реакцию для всех хз, то же самое должно быть справедливо и относительно и Так это и есть, и каждая из групп определяет другую по правилу, установленному Ноллом [c.188]

По правилу Нолла (IV. 13-1) существует такое X х->х, что =РоР где Р = УХ. Если мы сможем найти такой ортогональный тензор Н, что = то мы докажем теорему, поскольку единственной ортогонально сопряженной к о группой является сама группа о. То, что такое Н существует, вытекает из более общего результата, сформулированного в следующем упражнении. [c.192]

Вновь возвращаясь к рассмотрению твердых тел в общем случае, отметим прежде всего, что лишь отдельные специальные конфигурации являются неискаженными. Действительно, если конфигурация и неискаженная, то, полагая Р = УХ, где А мы имеем по правилу Нолла [c.193]

Доказательство теоремы Нолла. Поскольку жидкость изотропна и любая ее конфигурация является неискаженной, мы можем воспользоваться соотношением (IV. 14-2) при любой отсчетной конфигурации х. Так как для жидкости тензор Т не может измениться при статической деформации из одной конфигурации в другую с той же плотностью, то зависимость от В( ) в соотношении (IV. 14-2) должна сводиться к зависимости от е1В(0, или, что равнозначно, к зависимости от р. Тем самым установлена необходимость соотношения (3). Далее, реакция должна удовлетворять соотношению (IV. 14-3), которое теперь свелось к (4). Для частного случая предыстории покоя t==l так что (4) дает [c.198]

Если М = 0, то форма, предписыБаемая теоремой Нолла, тривиальным образом имеет место при М= =0 она получится, если положить [c.202]

Теорема Нолла, очевидно, никак не связана с размерностью пространства, в то время как б следствии Вана сущестБенно используется трехмерность. [c.206]

То, что мы доказали, можно схематически представить в виде следующей теоремы Нолла и Трусделла сТупина [c.320]

Доказательство ) (Нолл, Ван). Прежде всего заметим, что если как поле и, так и его градиент Н обращаются в нуль на д л Щ, то и, рассматриваемое как дополнительно наложенное бесконечно малое смещение, совместимо с любыми данными граничными условиями для перемещений и усилий, которым удовлетворяет конфигурация к( ), устойчивость которой ис> следуется. Поэтому условие, выведенное из (XII. 2-3) для любого конкретного и этого типа, будет необходимым условием для устойчивости по Адамару по отношению к бесконечно малым деформациям. В связи с этим рассмотрим бесконечно малые смещения вида [c.356]

Упражнение XII. 6.2 (Нолл). Доказать, что если а не зависит от системы отсчета, то тензор Т, определяемый согласно (1), симметричен. Доказать, что если Т симметричен и определяется согласно (1), то Т (и, следовательно, также а) ие зависит от системы отсчета. Дать интерпретацию этого результата, показывающего, что для гиперупругих материалов следующие три требования эквивалентны [c.362]

Т. е. если импульс деформации произошел достаточно давно, то напряжения должны быть близки к статическим напряжениям. Этот факт, впервые установленный Ривлиным при помощи более сложных рассуждений, мы здесь получаем как результат простейшего применения теории затухающей памяти в смысле Колемана — Нолла. [c.385]

Если принимается, что материал имеет затухающую память 1-го пор51Дка, то (XIII. 5-1) аппроксимирует отклонение от упругих напряжений с помощью ограниченного линейного функционала. Совокупность всех предысторий деформаций с конечным запоминанием образует гильбертово пространство, и по теореме Фреше —Рисса ) каждый ограниченный линейный функционал в гильбертовом пространстве допускает представление в виде скалярного произведения. Чтобы применить эту теорему в нащем случае, мы предполагаем, что рассматривается затухающая память типа Колемана — Нолла, и получаем согласно (XIII. 4-21), что [c.388]

Слово линейный относится здесь к зависимости напряжений от прошедшей предыстории С — относительной деформа- ции. Природа памяти материала линейна в том смысле, что неупругие напряжения, соответствующие предыстории деформации, приводящей к относительному правому тензору Коши — Грина Сг, представляют собой сумму неупругих напряжений, соответствующих любым двум предысториям деформации, сумма относительных правых тензоров Коши — Грина которых равна С . От текущего тензора деформации (i) напряжения могут зависеть произвольным образом. Колеман и Нолл заметили, что выбор в качестве исходной любой другой из бесконечного, множества приведенных форм для общего определяющего соотношения также приводил бы тем же самым способом к линейному результату, но другому. Поскольку теория, которая линейна при одной мере деформации ), например С<, может быть нелинейной при другой мере, например U<, то получаемые таким образом теории конечных деформаций, вообще говоря, отличаются одна от другой, но, разумеется, все они согласуются друг с другом в смысле аппроксимации (1), т. е. напряжения, соответствующие, согласно этим теориям, семейству предысторий градиента такому, что IIF — F (041-> О, асимптотически равны между собой. [c.389]

Теорема Колемана — Нолла о замедлении утверждает, что если исходная предыстория градиента Р имеет конечное запоминание, то для забываюи ей меры типа (XIII. 4-21) остаточный член в (3) имеет произвольно малое запоминание при [c.390]

Согласно замечательной теореме (7), общее определяющее уравнение материала с длительной памятью аппроксимируется в достаточно замедленном движении уравнением для некоторого специального материала с инфинитезимальной памятью. Оглядываясь на VI. 1, мы видим, что вместо того, чтобы рассматривать там жидкости Ривлина — Эриксена, мы могли бы легко задать материал дифференциального типа порядка (или степени) п. Если бы мы так и сделали, то могли бы теперь интерпретировать теорему Колемана — Нолла как утверждение, что определяющее соотношение любого заданного простого ма-. териала можно аппроксимировать определяющим соотношением некоторого материала дифференциального типа степени п с ошибкой порядка о (г") при г— О. Как мы отмечали в 3, материалы дифференциального типа не обладают затухающей памятью, выражаемой через забывающую меру. Теорема Коле мана —Нолла показывает, что, несмотря на это, в смысле за- [c.392]

Следует быть осторожными и не относить к теореме Колемана — Нолла о замедлении результаты более сильные, чем те, которые они сформулировали и доказали. Эта теорема дает приближенные определяющие соотношения, а не приближенные ре шения конкретных граничных задач или задач с начальными условиями. Решение конкретных задач предполагает дифференцирование определяющего соотношения и затем интегрирование получающихся уравнений движения или равновесия -для определения деформации х. соответствующей конкретным силам, приложенным к конкретному телу. Если две функции отличаются на малую величину, то их производные могут отли- [c.393]

Что касается волн ускорения, то Трусделл [13] и, Трусделл и Нолл [14] исследовали самые общие тео- -рии, и свойства распространения волн сформулиро- ваны уже полностью.. Однако в отношении синусоидальных плоских бегущих волн все известные работы [5—8], 13], [14] ограничивались случаем материала, подвергнутого однородной деформации. Здесь мы с помощью акустического эйконала й численной оцен-ки порядка интересующих нас величин рассмотрели распространение инфинитезимальной синусоидальной волны в материале, деформация которого несколько отличается от однородной. [c.162]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...