Параметр, пространство вырождени

Параметр, пространство вырождения 205 [c.245]

Существующие списки особенностей каустик в пространствах больших размерностей [28] позволяют изучать события большей коразмерности в системах каустик в физическом 2- или 3-пространстве. При малом возмущении системы такие события распадаются на последовательности стандартных перестроек, описанных выше. Однако, если система зависит от параметров, то вырождения более высоких порядков [c.48]

Бифуркационные диаграммы главных семейств (3= ).. Множество особых точек полей любого из семейства (3= ) образует гладкое подмногообразие в произведении фазового-пространства на пространство параметров. Бифуркационная диаграмма для главного семейства (3 ) (множество значений параметра, при которых особые точки семейства сливаются) — это множество коэффициентов многочленов степени р+1, имеющих кратные корни. При р=1 это множество — одна точка, при j, = 2 — полукубическая парабола, при ц = 3 — ласточкин хвост (рис. 5). Деформации векторных полей на прямой с вырожденной особой точкой возникают в теории релаксационных колебаний, как уравнения медленных движений в окрестности точки на складке медленной поверхности ( 2, гл. 4). В п. З.Г указаны только топологические нормальные формы таких деформаций. Для приложений существенны также гладкие нормальные формы они исследуются в 5 главы 2 и оказываются очень похожими на главные семейства (3= ). [c.24]

Требования общности положения. 1. На росток семейства в точке (О, 0) произведения фазового пространства на пространство параметров налагаются те же требования общности положения, что и в п. 2.1, гл. 1.2. На поле Vq налагается следующее нелокальное требование rnW =0. Другими словами, гомоклиническая траектория входит внутрь, а не в. край устойчивого множества. 3. Локальное семейство трансверсально пересекает гиперповерхность векторных полей с вырожденной особой точкой. [c.111]

Фотоны как частицы с целочисленным спином подчиняются статистике Бозе—Эйнштейна. Кроме того, обычные световые источники создают сильно невырожденные пучки света. Вырождение фотонов, характерное для лазерного излучения, приводит к флуктуациям интенсивности, которые превышают теоретические флуктуации, если рассчитывать поток фотонов на основе классической статистики Пуассона [20]. Роль параметра вырождения б (среднее число фотонов светового пучка в одном и том же квантовом состоянии или в одной ячейке фазового пространства) будет очевидна из того, что говорится ниже. [c.464]

ЛИШЬ направление скорости полета и все три градиента корректируемых параметров совпадают. В реальном случае, траектория отличается от параболической и строгого вырождения коррекционных свойств не происходит. Однако влияние импульса, кол линеарного скорости полета, значительно превышает влияние импульса, ортогонального скорости полета. Физически это объясняется тем, что в начале орбиты, вблизи ее перигея, космический аппарат обладает большой скоростью движения и для поворота вектора скорости в пространстве требуется большой боковой импульс. В то же время сравнительно небольшим импульсом, направленным вдоль вектора скорости, можно заметным образом изменить энергию геоцентрического движения, так как изменение энергии пропорционально величине скорости полета. Поэтому воздействие на траекторию с помош ью импульса скорости приводит в основном к изменению тех характеристик движения, которые связаны с энергией геоцентрического движения. Иными словами, вблизи Земли практически возможна коррекция лишь одного параметра траектории — либо отклонения в картинной плоскости вдоль определенного направления либо времени прилета. [c.309]

Ниже приведены нормальные формы для особенностей проектирования тг-мерного лагранжева подмногообразия из 2тг-мерного фазового пространства на тг-мерное конфигурационное пространство для и 5. Этих нормальных форм конечное число, и их классификация связана (довольно загадочным образом) с классификациями простых групп Ли, простейших вырожденных критических точек функций, правильных многогранников и многих других объектов. При тг 6 нормальные формы некоторых особенностей неизбежно должны содержать параметры. [c.418]

Проследим за изменением качественной структуры и бифуркациями при движении точки в пространстве параметров вдоль кривой 1 + + л — Я = 0. Точкам на этой кривой соответствует сложная особая точка, возникшая в результате слияния Оз и О4. Это будет особая точка типа седло-узел для всех точек кривой, за исключением двух точки (ц = 0, Я=1), для которой в фазовом пространстве сливаются три особые точки, и точки В (рис. 167)— вырожденного седло-узла. Качественная картина разбиения фазового пространства на траектории будет определяться наличием или отсутствием предельных циклов, охватывающих фазовый цилиндр, и расположением сепаратрис, ограничивающих узловую область особой точки седло-узел. На рис. 168 изображе- [c.314]

Ударной адиабатой, по аналогии с газовой динамикой, будем называть множество состояний в пространстве щ, в которые можно перейти из фиксированного начального состояния и , используя разрывные решения (скачки) с соблюдением уравнений законов сохранения при подходящем значении . Уравнение ударной адиабаты можно получить путем исключения У из основных соотношений на разрыве, например, из уравнений (1.23). Обычно это однопараметрическое множество - кривая в пространстве Ui. При непрерывных функциях / и р эта кривая проходит через начальную точку щ. Ударную адиабату можно задать параметрически Щ = W (7), Пк = и 1 (7), где а - параметр на ударной адиабате, например, длина дуги. В некоторых вырожденных случаях ударная адиабата может оказаться неодномерной или целому отрезку на ударной адиабате может соответствовать одно значение УУ. [c.42]

Полученные в предыдущем параграфе генераторы в асимптотической области, реализующие произвольное неприводимое представление с весом (р, / соответствующей алгебры, позволяют выполнить эту программу до конца. При этом предельный переход к бесконечно большим значениям некомпактных параметров фактически реализует каноническое преобразование в фазовом пространстве, обеспечивающее выбор наиболее удобной для вычислений системы координат, в которой операторы Казимира и их собственные значения можно довести до конкретных формул. Получаемые результаты справедливы вне зависимости от того, является ли представление вырожденным или невырожденным, конечно- или бесконечномерным. Они справедливы в соответствии с п. 2, П. 1 и для конечномерных унитарных представлений, в том числе вырожденных, компактных групп. [c.85]

Значениям а = О, тг, тг/2, 2тг/3 соответствуют резонансы при потере устойчивости. Такие резонансы являются двукратным вырождением (по модулю и по аргументу), и они должны исследоваться уже в пространстве двух параметров [10] затухания вблизи периодического движения и расстройки частоты от резонанса (в данном случае расстройка — разность между аргументом мультипликатора и резонансным значением аргумента). [c.321]

Поскольку при оптимизации необходимо определить вариации характеристик по отношению к изменению параметров, в настоящее время ведется разработка так называемого символьного дифференциатора. При этом компоненты системы управления, содержащие оптимизируемые параметры, задают только в терминах пространства состояний. Остальные блоки могут быть введены в произвольной форме. С помощью символьного дифференциатора можно определить реакцию системы на полиномиальное, синусоидальное и экспоненциальное входные воздействия. В частотной области этот метод позволяет исследовать вырожденные значения передаточных матриц. [c.134]

Энергия нематика не меняется при одновременном произвольном повороте директора во всех его точках. В этом смысле можно сказать, что состояния нематика вырождены по направлениям директора эти направления играют роль параметра вырождения. Введем понятие о пространстве вырождения — области допускаемого без изменения энергии изменения параметра вырождения. Им является в данном случае поверхность сферы единичного радиуса, каждая точка которой отвечает определенному направлению п. Надо однако учесть еще, что состояния нематика, отличающиеся изменением знака п физически тождественны. Другими словами, диаметрально противоположные точки на сфере физически эквивалентны. Таким образом, пространство вырождения нематика — сфера, на которой каждые две диаметрально противоположные точки считаются эквивалентными ). [c.205]

Во многих случаях для предсказания существования то-10 или иного типа дефекта в образце конденсированной среды достаточно исследовать связность пространства вырождения D — множества всех равновесных состояний образца при фиксиров. темп-ре Т. Согласно теории Ландау фамвых переходов 2-го рода, равновесное состояние образца определяется минимизацией функционала свободной знергии по множеству состояний, характеризуемых конечным числом параметров, называемых параметрами порядка теории. Рассматривая параметры порядка ф(лг) как непрерывные отображения, определённые в области занимаемой образцом, и принимающие значения в пространстве вырождения D [c.136]

Для анизотропного ферро.магнетика типа лёгкая плоскость вектор п лежит в нек-рой плоскости, и пространством вырождения в этом случае будет D = S (окружность), В таких образцах могут возникать устойчивые линейные дефекты — вихри , т.к. ni(5 )=Z. В полярных координатах (г, <р) на плоскости вне области дефекта параметр 1юрядка можно представить в виде я = /4(г, ф)ехр (0((г, ф) , где o (r, p) — непрерывно меняющаяся фа.эа (угол между направлением и нек-рым фик иpoв направлением в лёгкой плоскости ). Вихрем будет такая особая линия, при обходе к-рой фаза меняется на а(г. 2 ) —а(г, 0) = 2яЛ , где N—топологический инвариант вихря — целое число, показывающее, сколько полных оборотов при этом делает вектор я. На рис. 6, изображён вихрь с iV= 1, на рис. 6.6—с Л = — 1, [c.137]

Ситуация с топологически стабильными дефектами в Не более сложная, т. к. параметром порядка в этом случае является комплексный тензор 2-го ранга Ац,, i, к=, 2, 3. Это, в частности, есть отражение того факта, что в отличие от боэе-жидкости Не, Не является ферми-жидкостью, допускающей существование анизотропных сверхтекучих фаз. Для Й-фазы Не пространство вырождения D топологически эквивалентно 50(3) f/(l). Вычисления гомотопич. групп тс2( >) = 0, 7ti(D) = i [50(3)1-Ья, [f/(])] = Z2 Z указывают на то, что в В-фазе Не отсутствуют топологически стабильные точечные дефекты, а линейные дефекты — вихри — характеризуются набором из двух топологич. чисел. [c.138]

Динамика многомерных Т. с. Топологич. анализ дефектов даёт лишь качественные ответы и необходимые критерии существования стабильных Т. с. типа наличия изоморфизмов = Z для пространств вырождения параметров порядка. При этом в роли параметров порядка могут фигурировать скалярные, комплексные, векторные и в общем случае тензорные поля. Количественное описание Т. с, основывается на построении, как правило, нелинейных дикамич, моделей, обладающих след, свойствами (а) ур-ния Эйлера — Лагранжа модели допускают регулярные локализованные решения с конечными динамич. характеристиками (энергией, импульсом, моментом импульса и т. д.) (б) состояния наделены нетривиальными топологич. характеристиками Q (зарядами, индексами и т. д.) (в) функционал энергии модели оценивается снизу через топологич. инвариант Q < > /(Q), = onst, что обеспечивает динамич. устойчивость Т. с. [c.138]

Разрывные колебания [61, 94, 105, 114, 158, 159]. Весьма интересным, особенно для теории систем с разрывными колебаниями, является тот случай, когда -мерный образ F Р х у) = 0 —- фазовое пространство вырожденной модели системы, построенной при пренебрежении всеми паразитными параметрами, распадается на две части на часть F, в точках котброй условие несущественности тех или иных малых (паразитных) параметров выполняется (все корни характеристического уравнения (10.18) имеют отрицательные действительные части), и на часть F , где это условие не выполнено. Тогда только малая 0( 1.)-окрестность подпространства F (в полном я-мерном фазовом пространстве лг, у) является областью медленных- движений изображающей точки только там скорости изменения состояния системы (т. е. х я у остаются ограниченными в течение конечных иптервалов времени при л. 0. Поэтому, если рассматриваемые паразитные параметры достаточно малы (т. е. если л< 1), мы можем пользоваться для описания медленного движения изображающей точки вблизи приближенными уравнениями медленных движений системы— уравнениями (10.16), совпадающими с уравнениями вырожденной системы, а само движение можем считать происходящим (также приближенно) в пределах этой части F подпространства F х у) = 0. [c.753]

Теорема. В пространстве гладких векторных полей на области евклидова пространства R" (и на любом п-мерном многообразии) для любого m[c.152]

Параметром порядка в нематических жидких кристаллах (или нематиках) служит директор d, указывающий преимущественное направление длинных осей вытянутых молекул нематика при нек-рой Г< (в отличие от вектора , для директора направления da—d физически неразличимы). [Название нематик предложено Ш. Фриделем ( h. Friedel).] Областью вырождения D (областью значений директора d) в трёхмерном нематике является вещественное проективное пространство RP (получаемое из сферы отождествлением диаметрально противоположных. пяточек). Соответственно допустимы стабильные точечные 137 [c.137]

Структура разбиения на полупрямой и = я(Я-—1) + 1>1. При возрастании Л и л от значений Л = л = 1 вдоль полупрямой кусок изоклины на интервале О < ф < я/2 поворачивается вокруг точки ((я — 1)/2, Я ), и отрезок покоя распадается с возникновением трех особых точек Оз(фз, рз)— устойчивый фокус или узел, 0. ((я — 1)/2, я ) — седло с направлениями для сепаратрис, определяемыми уравнением я А + 2я ( 1-Ь л) А -Ь 4 = О, и 02(я/2, 0)— сшитый узел (неустойчивый). Контактная кривая с кривыми вырожденной системы (и = Я, = 1) при изменении параметров вдоль прямой будет р = я и, следовательно, всегда проходит через седло. Векторное поле в области р > 1 поворачивается при возрастании л по часовой стрелке, и поэтому со-сепа-ратриса, идущая в седло по направлению к < —2я не может пересекать интегральную кривую р = я е" вырожденной системы, касающуюся отрезка покоя как раз в той точке, в которой при и > 1 возникает седло, и входящую в седло по направлению к = —2я . Сепаратриса пересекает ось ф = О в точке р > > я е"" > 2 и входит в область выше максимума изоклины горизонтальных наклонов. Предельных циклов, охватывающих цилиндр, нет при любых значениях Я и л на рассматриваемой полупрямой. Структура разбиения фазового пространства для всех точек этой полупрямой будет одинакова и эквивалентна изображенной на рис. 169, S ( 4 гл. 16). [c.435]

Разбиение пространства параметров на области с различными качественными структурами фазового пространства. Проследим за сменой структур и бифуркациями при изменении л для фиксированного Л = Яо из интервала 1 < Л < иь При л = О качественная картина разбиения фазового пространства эквивалентна представленной на рис. 169, 1. Бесконечность устойчива. Для л из интервала О < 1 <Яо качественная картина будет эквивалентна представленной на рис. 169, 2. Бесконечность неустойчива. Из нее появился устойчивый предельный цикл. При Ц, = Яо в точке (О, 1) появляется спгатое вырожденное состояние равновесия (если [X < Ц, ) или сшитый седло-узел с устойчивой узловой областью (если [X > х ). Качественная картина эквивалентна представленной на рис. 168, II—III или 168, III соответственно. При дальнейшем возрастании х сложная сшитая особая точка разделяется на две простые седло 04(94, pi) и устойчивый фокус (узел) Оз(фз, рз). Качественная картина эквивалентна представленной на рис. 169,5. Обе со-сепаратрисы седла Oi идут в точку [c.436]

Число фотонов о определенном квантовом состоянии, испускаемых черным телом. Фотоны в данном квантовом состоянии занимают одну н ту ясе ячейку в фазово.ч пространстве. Числ/> фотонов в данном состоянии равно параметру вырождения б. Для числа фотонов, занимающих одну ячейку в фазовом пространстве, не существует предела, как не существует предела для интенсивности поля а классической теории. Число фотонов в данном состоянии определяется числом квантов, проходящих площадь когерентности за время когерентности т ог (гл. 10 2). Из (10.1) следует, что [c.47]

Впрочем, в данном случае легко и явно предъявить соответствующее семейство функций это квадрат расстояния от гочки пространства до точки подмногообразия (параметр — гочка пространства). Каустика такого семейства функций состоит из точек пространства, квадрат расстояния до которых, как функция на подмногообразии, имеет неморсовскую (вырожденную) критическую точку. Эта каустика и есть фокаль-аое множество подмногообразия (фокальная точка является центром кривизны подмногообразия в вырожденной критической точке квадрата расстояния до фокальной точки). [c.103]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...