76, 77 - Решение в полярных координатах

Методы решения разностных уравнений. При вычислении собственных частот разностными методами используют стандартные процедуры отыскания собственных значений матриц. Для построения форм собственных колебаний системы разностных уравнений наиболее часто решают методом прогонки в различных модификациях, в частности, методом матричной прогонки [30, 95]. В случае периодических решений (полярные координаты) применяют метод циклической прогонки [30, 95]. [c.187]

Ограничим решение задачи Ньютона нахождением уравнения траектории движения точки в полярных координатах [c.547]

Решение. Под действием центральной силы материальная точка движется в плоскости, проходящей через центр О (см. 54). Выберем за обобщенные координаты полярные координаты / и ф, приняв за начало отсчета г центр О. [c.376]

Пример 93. Материальная точка массой т движется под действием силы притяжения к некоторому центру О. Зная, что силовая функция поля равна U (г), где /- — расстояние от точки до центра О, найти канонические уравнения и уравнения ее движения, применив метод интегрирования Остроградского—Якоби, Решение. Выберем за обобщенные координаты материальной точки ее полярные координаты г и ф. Так как составляющие скорости точки, выраженные н полярных координатах, определяются по формулам [c.387]

Решение. Задачу об ускорении небесного тела в кеплеровом движении будем решать в полярных координатах. Полярную ось на- [c.352]

Решение. Так как начальная скорость г ,, и сила земного притяжения Р лежат в одной плоскости, то траектория спутника является плоской кривой. Поэтому выберем систему полярных координат с полюсом О в центре Земли (рис. а). Радиус-вектор ОМ соединяет полюс О с промежуточным положением М движущегося спутника. Вдоль ОМ проводим ось г, а перпендикулярно к ней через точку М — ось (р. Мо — начальное положение спутника на орбите. [c.67]

Так как решение уравнения (5.30) мы искали в виде Ф = а os т + Ь sin т, то особая точка на плоскости ху соответствует предельному циклу для исходной динамической системы. Предельные циклы на плоскости ху соответствуют для исходной системы режимам биений. Для удобства исследования системы (5.31) перейдем к полярным координатам [c.136]

Решение, Исключая из уравнений движения параметр I, получим следующее уравнение траектории в полярных координатах [c.118]

В разделе II (главы 6—8) рассматриваются общие вопросы классической теории упругости обобщенный закон Гука, постановка и методы решения задач теории упругости, вариационные принципы и методы, плоская задача теории упругости в декартовых и полярных координатах, кручение стержней. [c.4]

В случае плоской задачи координата хз не участвует в решении, и компоненты напряжений, деформаций и перемещений являются функциями только г и 0. В этом случае удобнее пользоваться полярными координатами. [c.149]

Частные решения плоской задачи в полярных координатах [c.153]

Для некоторых классов плоских задач теории упругости в полярных координатах можно указать их частные решения. Тривиальное решение [c.153]

Для решения этой задачи обычно используют законы сохранения энергии и момента импульса. В полярных координатах р, ф из этих законов следует [c.239]

Чтобы упростить решение задачи, ограничимся рассмотрением проекции траектории апекса на плоскость Оху, используя полярные координаты (р, х)- Имеем [c.435]

Умножение на скаляр. Пусть А — вектор длиной 2,0 см, направленный под углом 70° к востоку от северного направления, а В — вектор длиной 3,5 см, направленный под углом 130° к востоку от северного направления. При решении пользуйтесь транспортиром или специальной бумагой, разграфленной в полярных координат X. [c.63]

Решение. Выбираем полярные координаты г, 0 в плоскости поперечного сечения, перпендикулярной к линии пересечения плоскостей, с началом в вершине угла. Угол 0 отсчитывается от одной из прямых, образующих сечение угла. Пусть а есть величина обтекаемого угла при а < л течение происходит внутри угла, при а > л — вне его. Граничное условие исчезновения нормальной составляющей скорости гласит rfq>/d0 = О при 0 = О и а. Удовлетворяющее этому условию решение уравнения Лапласа пишем в виде ) [c.45]

Решение. Выбираем полярные координаты с началом в центре пластинки. Сила, действующая на единицу площади поверхности пластинки, равна Р = ()hg. Уравнение (12,5) приобретает вид [c.67]

Решение. Вводим полярные координаты с углом ф, отсчитываемым от направления действия приложенной силы он пробегает значения от — (я/2 - - а) до я/2 — а, где а — угол между направлением силы и нормалью к краю пластинки (рис. 6). Во всех точках свободной границы, за исключением точки приложения внешней силы (начало координат), должны выполняться условия Офф = о ф = 0. Воспользовавшись выражениями для Офф и о,.ф, полученными в задаче 11 7, найдем, что для этого функция напряжений должна удовлетворять условиям [c.72]

Решение. Имеем Р = р g/г в полярных координатах (14,9) принимает вид [c.79]

Решение. Выбирая начало полярных координат г, ф в- центре окружности, напишем уравнение деформированной линии стержня- в виде г = а + + С (ф), где а — радиус дуги, а С—малые радиальные смещения при изгибе. Воспользовавшись известным выражением для радиуса кривизны в полярных координатах, найдем с точностью до членов первого порядка по [c.118]

Предположим, что удалось найти решение уравнения (40), удовлетворяющее начальным условиям задачи (при 0 = Во v — Vq). Пусть это решение, дающее связь между величиной скорости и углом наклона ее к горизонту, т. е. уравнение годографа скорости в полярных координатах, имеет вид [c.48]

Пусть г(0)=Го, v(0)=Vo. Если ось 2 декартовой системы координат выбрать параллельно вектору Мо = т[го, Vq], то функция г(/)=--0. Далее решение задачи о движении в центрально-симме-тричном поле может быть получено в полярных координатах. [c.27]

Решение в полярных координатах [c.175]

В учебном пособии изложены основные положения курса теории упругости и элементы теории пластичности, приведены примеры решения плоской задачи в прямоугольных и полярных координатах, дан расчет толстостенных труб при внешнем и внутреннем давлении и при насадке, расчет вращающихся дисков, тонких прямоугольных и круглых плит, цилиндрических оболочек, стержней при кручении. Приведены задачи термоупругости и пластичности. [c.2]

Решение. Напишем уравнения движения точки М в полярных координатах (г,<р). По условию задачи скорость движения точки вдоль прямой ОВ пропорциональна расстоянию г точки М отточки О, поэтому [c.284]

Решение. Движение маятника происходит в плоскости, перпендикулярной оси шарнира О. Масса т, как точка, движущаяся в плоскости, обладает двумя степенями свободы п за независимые координаты qj, точки т примем ее полярные координаты полярный радиус т=От и полярный угол ср. Кинетическая энергия Т точки т равна (см. предыдущий пример) [c.335]

Пусть в преграду толщины к по нормали к свободной поверхности ударяется тело длины I и среднего диаметра к = 2г со скоростью Ос- В результате удара образуется отверстие. Экспериментально установлено, что при ударе тела длины /> 2/ о в преграду толщины /г > 2го отверстие имеет цилиндрическую форму [12], [27], поэтому можно пренебречь краевым эффектом и считать, что диаметр отверстия определяется только радиальным расширением. В этом случае расчет радиуса отверстия сводится к решению следующей задачи. В момент времени i = О в срединной поверхности преграды образуется отверстие й = 2го, в котором действует давление р , равное давлению за фронтом ударной волны в момент начала соударения и распространяющееся по срединной поверхности с образованием ударной волны. Требуется найти закон расширения отверстия и его диаметр по окончании процесса соударения, предполагая материал преграды за ударной волной жидким или идеально-пластическим. Плотность среды за ударной волной считается постоянной и определяется из условий, имеющих место на ударной волне в момент взаимодействия. Предполагается, что за время движения среда перед ударной волной находится в покое. Задача обладает цилиндрической симметрией и рассматривается в полярных координатах. Уравнения движения и неразрывности принимают вид [c.193]

Таким образом, задача (4.167) в полярных координатах имеет вид (4.169), (4.170). Предположим, что правая часть / уравнения (4.169) такова, что удалось найти частное решение уравнения (4.169), т. е. удалось найти функцию и (г, д), такую, что Аи = f (частное решение уравнения Пуассона при произвольной гладкой функции / (г, б ) может быть получено с помощью теории потенциала [34]). Тогда подстановка [c.171]

Решение будем осуществлять в полярных координатах г, (р (Ь <. г <. а, 1ф1 /2Фо), перейдя к безразмерным переменным [c.629]

Для решения последней задачи введем полярные координаты г и е с началом координат в точке 0. Отсчет полярного угла будем производить от вертикали вправо. Предполагая поток потенциальным, составляющие скорости Vr и Wj, зависящие только от угла е, можно выразить через потенциал скорости ф [c.195]

Чтобы упростить переход в последнем уравнении к полярным координатам, будем искать решение в виде [c.425]

Иногда такой обратный путь оказывается более эффективным, решение для сосредоточенной силы можно бывает получить независимо, иногда просто путем подбора. Так, напряженное состояние, описываемое простыми формулами (10.9.1), оказывается еще более простым, если преобразовать компоненты тензора Оац к полярным координатам, приняв точку приложения силы за начало. Вместо этого мы сразу выведем соответствующие формулы в [c.351]

Решение однородного уравнения (12.6.1), записанного в полярных координатах, ищется в виде w = г". Полагая ЛАш = 0, получим [c.403]

Решение плоской задачи в полярных координатах в напряжениях заключается в отыскании трех функций 0,.(г, 0), т, (т, 0) и +д(/-, 0) с помощью трех уравнений двух уравнений равновесия (6.1) н уравнения сплошности (6.2), удовлетворяющих условиям на поверхности. [c.98]

Аналогично тому, как это было сделано при решении плоской задачи в декартовых координатах, решение плоской задачи в полярных координатах можно свести к отысканию одной функции [c.98]

При решении двумерных задач в полярных координатах эти уравнения заменяют уравнения (18). Если объемные силы равны нулю, то уравнения (37) можно удовлетворить, полагая [c.83]

Из различных решений этого дифференциального уравнения в частных производных мы можем получить реи]ения двумерных задач в полярных координатах при разных граничных условиях. Несколько примеров таких задач будут рассмотрены в данной главе. [c.85]

Осесимметричное распределение температур возникает при контактной точечной сварке, при дуговой сварке электрозакле-почных соединений, при термической правке. При этом возникает осесимметричное поле напряжений, характеризуемое компонентами Or и Оо плоского напряженного состояния в полярных координатах. Наиболее просто выполняется упругое решение. Для осесимметричного нагрева пластины с произвольным законом изменения температуры в радиальном направлении известно следующее упругое решение [c.430]

Решение. Если движение точки Л1 задагю в полярных координатах, то скорость и ускорение этой точки можно определить по теоремам о сложении скоростей [c.315]

Решение, Уравнение линий тока для двухмерного движения в полярных координатах есть drivr — г Подставляя сюда (109,12—13) [c.577]

Здесь г, 6 — полярные координаты точки /у, ф , Fi, Ф( — комбинации тригонометрических функций. Сопоставление полей перемещений (13.2), (13.3), с перемещениями (13.4) показывает, что при использовашш линейных элементов трудно ожидать быстрой сходимости к точному решению. [c.79]

Решение. За начало координат примем точку пересечения неизогнутой оси вала со срединной плоскостью шкива. Рассматриваемая система имеет три степени свободы, и за независимые координаты выберем полярные координаты г и ф центра тяжест1г S шкива и угол вращения шкива Шкпв совершает плоскопараллельное движение, и его кинетическая энергия Т определится формулой (21.29) [c.407]

Суммируя равенства (9.90) и выражая в них г через модуль и аргумент Z = г ( os 0 + / sin 0), придем к представлению бигармонич-ской функции, которое используется при решении некоторых плоских задач в полярных координатах [c.240]

При решении плоской задачи для тел, имеющих круговое очертание (круговые кольца и кривые брусья узкого прямоугольног о сечения, круглые диски и т. п.), выгодно использовать полярные координаты = г, = Q (см. гл. VI, 2), связанные с декартовыми координатами х , х равенствами (6.35) [c.260]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...