245 — Определение 305, 306 — Условия линейных систем

Будем считать вектор-функцию / t) периодической с периодом Т и компонентами, являющимися кусочно-непрерывными ограниченными функциями времени с конечным числом точек разрыва в пределах периода. Указанное необходимо для существования при определенных условиях у системы периодического решения (п. 6.4). Система п линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами имеет решение у t), единственным образом определяемое начальными данными [c.173]

Формула (88) или соответственно формула (89) сводит задачу определения движения стационарной системы, возникающего вблизи положения устойчивого равновесия под действием внешней силы, начинающей действовать с момента t = 0 при нулевых начальных условиях, к одной квадратуре в действительной области. Зная действующую силу Qf t), можно вычислить комплексный спектр ее и координаты q и затем выделить действительную часть спектра д,. Полученная таким образом действительная функция действительного аргумента P(Q) называется действительной частотной характеристикой возмущения, и зная ее, можно без особого труда любым приближенным способом подсчитать интеграл (88) или (89). Самый простой способ для этого — представить кривую Р Q) кусочно-линейной функцией и провести интегрирование по отрезкам прямых. [c.256]

К линейным динамическим системам с постоянными коэффициентами сводятся также малые колебания динамических систем. В рамках механики это такие распространенные в технике явления, как колебательные движения механизмов с малыми амплитудами и скоростями, важная роль изучения которых определяется тем, что в определенных условиях они могут вызывать разрушение систем. [c.200]

Рассмотрим произвольную конфигурацию упругой системы с сосредоточенными грузами, имеющей п степеней свободы. Эта конфигурация может соответствовать деформированному состоянию от действия произвольной системы внешних сил, может быть некоторой мгновенной конфигурацией, принимаемой системой в процессе движения, вызванного любыми силами при произвольных начальных условиях. Задать такую конфигурацию — это значит задать п перемещений Дц Яг,. .., Яп- Эти величины мы будем называть координатами системы. По определению п координат системы произвольны и независимы между собой. Но для того чтобы задать положение системы, существуют и другие возможности, любые п чисел, однозначно определяющих конфигурацию, могут быть приняты за координаты. В частности, за координаты можно принять произвольные линейные комбинации из величин а , лишь бы они были независимы. Предположим, что собственные формы колебаний системы известны. Введем координаты U , соответствующие данной конфигурации, следующим образом [c.182]

Так как L (го) — теперь известная функция координат и (при наличии закона Гука) линейная функция а,, то равенства (9.16) представляют собой систему алгебраических уравнений для определения и, может быть, некоторых параметров из условия разрешимости системы (9.16). Определим теперь а, так, чтобы система (9.16) удовлетворялась. [c.396]

Эти формулы раз навсегда определяют отношения частот друг к другу, и эти отношения нельзя изменить никаким выбором начальных условий. Тем самым устанавливается определенная степень вырождения системы. В частном случае, когда отношение двух любых коэффициентов к есть число рациональное, движение всегда является периодическим при этом между коэффициентами к существуют п — i линейных соотношений [c.342]

Если внешнее воздействие F (/) является периодической функцией периода Т, т. е. F t Т) = F (t), то при определенных условиях система уравнений движения машинного агрегата (16. 21) имеет периодическое решение у (t). Подставив это решение в матрицы В (7), С (у) и вектор-функцию 5 (у) системы уравнений (16. 21), получим линейную систему дифференциальных уравнений (18. 7) с периодическими кусочно-постоянными коэффициентами. [c.124]

Предварительные замечания. В своей практической деятельности инженеру часто приходится сталкиваться с резонансом силового происхождения, который в линейных системах имеет место при совпадении какой-либо гармоники возмущающей силы с одной из собственных частот. Параметрический резонанс, возникающий при определенной пульсации параметров системы (например, приведенной массы или жесткости), требует достаточно тонкой частотной настройки и встречается значительно реже, поэтому нередко расценивается как несущественное и маловероятное побочное явление. Между тем, практика эксплуатации многих машин свидетельствует о том, что параметрический резонанс в ряде случаев не только является источником нарушений нормального функционирования механизмов, но может также приводить и к серьезным авариям, угрожающим безопасности обслуживающего персонала. В п. 16 мы уже упоминали об этом явлении, связанном с нарушениями условий динамической устойчивости. [c.245]

Необходимость изменения верхнего предела интеграла в уравнении (6.19а) вызвана тем, что в данном случае при Л оо он расходится, между тем как практический интерес представляют значения амплитуды А И2. Если нелинейная инерционность отсутствует (масса М = О, вынужденные колебания линейной системы), то /j = О и равенство (6.34) дает распределение Релея при определении постоянной с из условий нормировки (6.19 а), [c.243]

Основная идея развития метода состоит в том, что при условии наложения определенных ограничений по запасам устойчивости на линейную часть системы высокочастотные составляющие (вторая и выше) переходного процесса за интервалы времени между переключениями реле будут успевать приходить к своим установившимся значениям, будут успевать затухать. Переходные процессы высокочастотных составляющих в таких системах можно рассматривать как процессы самостоятельные, возникающие в линейной системе при скачкообразных изменениях входного сигнала (переключениях реле), и для их исследования можно применять алгоритмы метода эффективных полюсов и нулей. Переходные процессы первой составляющей (основной тон) необходимо рассматривать с учетом взаимного влияния линейной части и реле. [c.226]

Таким образом, для определения условий упругого крепления в рассматриваемой системе должны быть заданы в общем шесть податливостей, по три в каждой плоскости. Для различения их в дальнейшем изложении будем обозначать податливости крепления в вертикальной плоскости буквой d, а в горизонтальной — буквой б с соответствующим индексом, определяющим вид податливости. Например, — линейная податливость в вертикальной плоскости, 622 — поворотная податливость в горизонтальной плоскости. [c.239]

Измерительную информацию несет закон изменения уровня электрической величины. Хотя такой преобразователь принципиально должен быть нелинейной системой, в определенных условиях его выходной сигнал может считаться линейно связанным со входным и даже прослеживается аналогия с генераторными МЭП. Например, в простейшем случае преобразователь, имеющий электрический импеданс 2о, включен последовательно с нагрузкой г/ и питается от источника с ЭДС е и внутренним сопротивлением R,. Внешнее воздействие изменяет импеданс преобразователя на Дго, вследствие чего ток в цепи изменяется на величину г. Отсюда имеем [c.196]

Определение всех коэффициентов а,- из линейной системы (182), а затем предельный переход в (181) при п оо редко осуществимы, поэтому обычно ограничиваются лишь конечным (небольшим) числом п, при этом условие полноты координатных функций отпадает. [c.118]

Твердое тело, находящееся в потенциальном поле сил, давно служит в качестве динамической модели или расчетной схемы при изучении динамики самых разнообразных объектов техники (спутников, гироскопических систем, систем виброзащиты, управления и т. д.). На начальном этапе многие задачи о колебаниях тел рассматривались на базе хорошо разработанного аппарата теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Однако представления линейной теории о колебаниях твердых тел не всегда могут соответствовать действительности, поскольку колебания твердых тел в пространстве описываются системой дифференциальных уравнений, которые содержат различные нелинейные связи между обобщенными координатами системы, отражающие действие сил различной природы, например инерционных, потенциальных, диссипативных и т. д. Наличие таких нелинейных связей при выполнении определенных условий создает предпосылки для радикального перераспределения энергии колебаний между обобщенными координатами механической системы. В этом случае динамическое поведение твердых тел может резко отличаться от того, которое ожидается согласно известным линейным представлениям, т. е. колебания тел могут иметь совершенно разные качественные и количественные закономерности в зависимости от того, имеется ли существенное перераспределение энергии или нет. Оказывается, что для указанного перераспределения необходимо наличие в системе определенных нелинейных резонансных условий [3, 4, 14]. [c.264]

Скорости и ускорения звеньев структурной группы могут быть найдены после решения задачи о положениях ее звеньев при условии, что известны скорости и ускорения внешних пар группы. В данном случае при определении как скоростей, так и ускорений, тоже получается линейная система уравнений, определителем которой является якобиан D исходной системы уравнений анализа группы. [c.405]

Второй закон термодинамики связан с первым условием в системах, способных к формированию структур, он не нарушается, а лишь проявляется в более общем виде. Второе и третье условия указывают, что нужно отойти от привычных линейных физических представлений и вступить в нелинейную область, где при определенных условиях упорядочение может произойти самопроизвольно [51 ]. Четвертое условие отражает причинность образования процессов, идущих на микроскопическом уровне, при наличии особых связей, которые ведут к спонтанному возникновению структур. [c.270]

Если напряженное состояние задано и выбран определенный базис, то система уравнений (11.25) будет представлять собой систему трех совместных линейных и однородных уравнений для трех неизвестных Необходимое и достаточное условие существования решения, когда не все /, равны нулю, состоит в равенстве нулю определителя, составленного из коэффициентов системы (11.25), т. е. [c.352]

Каждое из этих решений в отдельности в силу линейности системы уравнений (1.12), (1.17) должно удовлетворять условиям совместности деформаций (1.17). Подставляя первое решение в соотношения (1.17), придем, к системе уравнений для определения функций Фу [c.17]

Метод расчета неоднородного поля индуктивных скоростей винта вертолета и высших гармоник нагрузок развит в работах Миллера [М.123, М.124] ). При постоянной или линейно изменяющейся по радиусу винта скорости протекания расчетные гармоники аэродинамических нагрузок убывают как ц" (где п — номер гармоники), тогда как по результатам измерений в определенных условиях полета (переходные режимы, посадка с подрывом) доминируют пятая и шестая гармоники нагрузки. Такие гармоники вызывают увеличение шума винта и вибраций вертолета. Основной причиной их, возникновения являются скорости, индуцируемые системой вихрей несущего винта. По- [c.663]

Такое применение точного решения задачи, полученного при определенных условиях на контуре для приблизительной оценки напряжений при несколько измененных условиях, производится на основании принципа, впервые ясно сформулированного Сен-Венаном. Согласно этому принципу система взаимно уравновешивающих сил, распределенных на малой части поверхности деформируемого тела, вызывает напряжения, быстро убывающие по мере удаления от места приложения сил, В точках, удаленных от места приложения указанной выше системы сил на большие расстояния (подразумеваются расстояния, большие по сравнению с линейными размерами той части поверхности, по которой распределены силы), соответствующие напряжения можно считать малыми. [c.83]

Была выполнена экспериментальная проверка возможности рассмотрения струйного элемента, показанного на рис. 76, при определенных условиях в качестве линейного элемента [116]. На исследуемый усилитель подавался периодический управляющий сигнал (Ару) и определялся сигнал на выходе. Во входном и выходном сигналах выделялись основная, вторая и третья гармоники. Известно, что если система линейная, то при прохождении через усилитель каждая из гармоник преобразуется в соответствии с одной и той же передаточной функцией. [c.202]

Желая, однако, получить метод исследования сходимости процессов, описываемых линейными дифференциальными уравнениями высоких порядков, наиболее точно отображающих специфику работы исследуемых систем, А. Стодола обратился к математику Цюрихского политехникума А. Гурвицу с просьбой найти необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять коэффициенты линейного уравнения п-го порядка в том случае, если процессы, описываемые этим уравнением, являются сходящимися (а система, следовательно, устойчивой). Таким образом, задача сводилась к определению условий, при которых все действительные корни или действительные части комплексных корней характеристического уравнения имели бы отрицательную величину. В 1893 г. [c.12]

Следует отметить, что в общем случае метод построения ц-системы позволяет получить лишь достаточные условия частичной устойчивости и проблема конструктивного определения условий частичной устойчивости (асимптотической устойчивости) линейных систем продолжает оставаться открытой. [c.99]

Переход в колеблющуюся систему координат. Ранее мы рассматривали квантовую задачу о движении электрона в поле атомного остова и внешнем электромагнитном поле в лабораторной системе координат. При определенных условиях на частоту и напряженность электромагнитного поля, которые будут указаны ниже, иногда бывает удобнее приближенно решать эту задачу в неинерциальной системе координат, в которой электрон в поле электромагнитной волны покоится (эта система координат называется системой Крамерса). Если взять для определенности линейно поляризованное монохроматическое электромагнитное поле, то координата свободного электрона в этом поле осциллирует со временем по закону [c.50]

Локально при заданном начальном условии ( о) = (( о X) всегда существует однозначно определенное голоморфное решение системы (5.3). Его можно продолжать вдоль любой кривой на X, однако это продолжение в общем случае уже не будет однозначной функцией. Пусть 7 —ориентированный замкнутый путь, начинающийся и заканчивающийся в точке X. Система (5,3) линейна, поэтому любое решение ( ) (определенное вначале лишь в малой окрестности точки о) можно аналитически продолжить вдоль 7. В результате в той же окрестности точки о получим функцию dt), которая также удовлетворяет (5,3), Ввиду линейности системы (5,3) найдется такая комплексная пх г-матрица что ( ) = = Ту ( ). Если Ту не совпадает с единичной матрицей, то система [c.358]

Краевые условия тривиальные. Система (4.50) линейна, но неоднородна, и при фиксированном значении произвольной постоянной в нетривиальном решении системы (4.48) решение системы (4.50) вполне определенно. Таким образом, по крайней мере в окрестности точки = О, задача о сильном взаимодействии имеет однопараметрическое семейство решений, отличных от автомодельного. Нахождение этих решений проведено ниже путем численного интегрирования. [c.147]

Выше мы описали только схему сведения задачи газодинамики к линейной системе. В самом деле, при интегрировании систем дифференциальных уравнений (1.2), (3.11), (3.15) необходимо ставить определенные граничные условия. В зависимости от удачной их формулировки будет определяться успех в решении той или иной газодинамической задачи. [c.480]

Уплотнение вала во многом определяет безопасность ГЦН, поскольку в случае отказа уплотнения радиоактивные протечки через него могут быть весьма значительными. С появлением мощных (несколько тысяч киловатт) ГЦН для АЭС возникла потребность в уплотнениях вала, работающих при давлениях 8—18 МПа, температурах уплотняемой среды 260—300 °С, диаметрах вала 200—300 мм и частотах вращения 1000—3000 об/мин (линейные скорости 30—40 м/с). При этом ресурс уплотнения должен составлять не менее 20 000 ч. Создание надежных уплотнений с такими параметрами — технически сложная и ответственная задача. Трудности усугубляются тем, что современные уплотнения валов ГЦН представляют собой сложные динамические системы, в кото-рых при определенных условиях могут возникать самовозбуждаю-щиеся колебания, влияющие на нормальное функционирование уплотнения [23—25]. Имевшие место на ряде зарубежных АЭС аварии с разрушением отдельных элементов первого контура были следствием динамического возмущения именно этой системы [26—30]. Поэтому вопросы динамической устойчивости системы ротор насоса —уплотнение —подшипники не должны упускаться из виду при разработке ГЦН. [c.71]

Одноударные режимы носят резонансный характер Пз], причем частоты, на которых они осуществляются, отличаются от собственных частот линейной системы. По этой причине первый член в правой части (61) существенно меньше второго, и приближенное решение для резонансных виброудариых режимов может отыскиваться в виде X Ц) —/у] Ц). Для определения значения импульса воспользуемся условием удара х = Д при /= О, Используя его, находим = —Д/Хх (0), и, следовательно, [c.29]

Сила резания как функция толщины среза. Для определения пределов стабильности системы станок—инструмент необходимо выявить силовые зависимости процесса резания от динамики станка. Уравнения движения не могут быть решены прямым путем, но их анализ значительно упрощается изучением предельных условий. Одинаковый подход к решению проблемы был предложен Тлустым, а также Тобиасом. Тлустый использовал простейшую линейную зависимость силы резания от толщины среза. Тобиас учитывал взаимосвязь силы от толщины среза, скорости и подачи. [c.255]

Значительно подробнее разработаны численные методы решения задач приспособляемости с помощью, аппарата математического программирования (главным образом, линейного). Для их использования необходимо получение соответствующих дискретных математических моделей, что дбстигается заменой дифференциальных уравнений системой алгебраических уравнений и наложением ограничений на переменные в конечном числе узловых точек. Такой подход реализуется проще всего при расчете стержневых систем (фермы, рамы), при условии что ограничения на величины внутренних усилий имеют вид линейных неравенств, а выражения для определения пластической диссипации соответственно линейны относительно неизвестных скоростей (приращений) деформации. При выполнении расчетов используются различные варианты прямого и двойственного симплекс-методов [70, 71, 74, 95, 152 и др.], методы определения чебышевской точки системы линейных неравенств [37] и другие вычислительные схемы и алгоритмы. [c.38]

Допустим, что система имеет две степени подвижности и в 1 этапе введены два закрепления. Пусть реакции в этих закреплениях по 1 этапу будут R p и силы, соответствующие переме-щенкям по И этапу а) при первом перемещении сила вдоль 1-й отброшенной связи Ru и реакции 2-й связи б) при втором перемещении — реакция 1-й связи кц и сила вдоль 2-й отброшенной связи i 22- Условие для определения указанной линейной комбинации (Т. е. условие обращения в нуль всех реакции добавочных связей) будет [c.167]

Система золото—медь. При определенных условиях наряду с основной фазой твердого раствора может появиться фаза электроотрицательного элемента или же твердый раствор не образуется вовсе. Так, например, во всей области составов электролитически осажденных сплавов Аи—Си, по данным Рауба и Зауттера [27 ], отмечаются постоянные решетки золота и постоянные решеток меди (фиг. 8). Эти значения в значительной мере отличаются от значений постоянных решеток соответствующих литых и рекристаллизованных сплавов. Отсюда можно сделать вывод, что при электрокристаллизации золотомедных сплавов из цианистых электролитов не происходит образования твердых растворов, в отличие от термических сплавов. Этим можно объяснить, что гальванические сплавы Аи—Си, несмотря на высокое содержание золота, имеют сильную склонность к потускнению. Проведенные Раубом исследования показывают, что при некоторых условиях электролиза возможно частичное образование твердых растворов, но оно является неполным, причем процент гетерогеннокристаллизующейся меди линейно растет с ростом общего содержания меди в осадке. [c.14]

После этого в (2.1) остаются только слагаемые, пропорциональные Axfo и Atjfo и интегралы от вариаций 6х на г/° и /°/. Интеграл по /°/ есть в (2.1) только тогда, когда исходная образующая имеет торец. При наличии N изопериметрических условий указанные при-защения и вариации не являются независимыми. Их независимость достигается введением на участке г/° образующей тела N компенси-зующих точек и определением постоянных множителей Лагранжа. .., из линейной системы, которая получается, если в точках к положить [c.499]

Нетрудно усмотреть, что знак равенства в последнем соот-погпении возможен только при условии линейной зависимости вектора х с каждым вектором г, системы. Поэтому если материальные точки не лежат па одной прямой, проходящей через начало репера Е, то 7 - положительно-определенная матрица. [c.174]

Бифуркация. Как правило, функции fn xi, Х2) в правой части уравнений (19.1) содержат параметры, описывающие влияние внешних условий на систему. Пусть нам известно решение (19.1) при определенном значении параметра . Найдем такое значение ео, что при малом отклонении от него (е = о + Ае) новедение системы качественно меняется. Если такое значение существует, говорят, что система (19.1) имеет точку бифуркации при е = sq, а изменение фазового портрета называют бифуркацией. В качестве простого примера найдем точку бифуркации линейной системы (19.7), полагая кц = е, ki2 = 21 = О, 22 = —с < 0. Поскольку Sp к = — с, det к = —ес, то при е < О особая точка — устойчивый узел, а для любого > О — седло. Система претерпевает бифуркацию при = 0. [c.172]

Аналогичные соотношения были выведены и для задач об оптимизации систем, описываемых уравнениями с разрывными функциями / и фь. При этом условия Эрдмана — Вейерштрасса дополняются еще соотношениями, связанными с выходом оптимальных движений на поверхности разрыва функций fs и Также были исследованы задачи с ограничениями на фазовые координаты хг ( ), задачи оптимизации функционалов, включающих функции зависящие от промежуточных значений 1 ) фазовых координат, задачи с условиями разрыва этих координат и т. д. Последние задачи отличаются от подробно рассмотренной выше основной задачи оптимизации с ограничениями только на управления тем, что здесь могут иметь место разрывы непрерывности лагранжевых множителей и функции Н. Поэтому при решении таких задач возникает необходимость преодо ления некоторых дополнительных трудносте . Общие уравнения и соотношений были применены к исследованию оптимальных режимов в линейных системах автоматического управления, при решении задач о накоплении возмущений и при определении наихудшего периодического воздействия на колебательную систему и т. д. Общие критерии оптимальности, выведенные для разрывных систем, были использованы для решения задач оптимизации режимов работы вибротранспорта, для задач оптимизации движений многоступенчатых ракет и т. д. [c.191]

Характеристики упругой системы и процесса резания можно вычислять раздельно и затем перемножать для получения амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ) разомкнутой системы. Это позволяет не повторять громоздкий расчет всей системы в случае изменения условий резания. Определение АФЧХ на ЭВМ — разработанная задача, связанная с применением типовых программ расчета вынужденных колебаний в линейной системе. [c.171]

Совокупность налагаемых условий связи на относительное движение соединяемых звеньев может быть выражена системой уравнений аналитической геометрии. В этой системе уравнений, которая описывает условия связи и должна быть использована для определения трех линейных координат какой-либо точки звена и трех угловыг координат его, число уравнений, недостающее до шести, определяет число степеней свободы. [c.40]

Прп определении условия перемешивания (5.8) закон расцепления корреляций не обязательно должен быть экспоненциальным, как в (5.10),, отя последний типичен для задач статистической механики. В случае, например, степенного закона убывания корреляций локальная неустойчивость (5.9), естествепно, отсутствует, и поэтому конечного времени релаксации к равновесию не существует. Интересным, однако, является то, что к такого рода системам относится, например, одномерный газ невзаимодействующих частиц. Действительно, в этом случае расстояние между двумя частицами со скоростями VI и иг растет линейно [c.41]

Главным инструментом этого анализа будет информация относительно асимптотического поведения линейных отображений (1 / )р при п — -Ьсхз или п — —схз, которое в определенном смысле отражает асимптотическое поведение начального условия, бесконечно близкого к р . Мы покажем, что при определенных условиях поведение некоторых орбит нелинейной системы / относительно нашей заранее заданной орбиты имитирует поведение орбит линеаризованной системы. [c.243]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...