Пластина бесконечная — Колебани

Пластина бесконечная Колебания [c.346]

Используя очевидные условия сопряжения звуковых полей на границах частичных областей, условия сопряжения колебательных скоростей на поверхностях пластин, дифференциальные уравнения колебаний пластин, а также свойства полноты и ортогональности волновых функций, зависящих от координаты у, стандартным способом можно получить бесконечную систему линейных алгебраических уравнений второго рода, являющуюся исходной для определения неизвестных в выражениях (6.4). Опуская подробности получения этой системы, обратимся к результатам расчета, полученным на ее основе. Расчеты выполнены для следующих параметров [c.215]

Оценка звукоизолирующей способности, которую производили, пользуясь законом массы, не. дает точного представления о происходящем в действительности. Первые теоретические соображения по поводу оценки изгибных колебаний пластин, тонких по сравнению с длинами звуковых волн, были высказаны Л. Кремером в 1950 г. Теория Кремера рассматривает колеблющуюся под влиянием падающих на нее под разными углами звуковых волн пластинку бесконечной протяженности. [c.82]

Рассмотрим плоскую задачу о колебании двух бесконечно длинных тонких вязкоупругих пластин, пространство между которыми заполнено вязкоупругой средой толщиной h. Контакт между пластинками и вязкоупругой средой не нарушается в любой момент времени, а трение между средой и пластинками отсутствует. [c.188]

Рассмотрим задачу о вынужденных колебаниях двух бесконечно длинных упругих пластин толщиной hi и Лг, скрепленных между собой жесткими стенками, отстоящими друг от друга на равном расстоянии 21. Части пластинок, заключенные между стенками, имеют форму пологой цилиндрической оболочки радиуса R для верхней и радиуса R2 для нижней. Пространство между пластинка ми и стенками заполнено упругой средой толщиной h. Пологие ци линдрические оболочки жестко соединены с жесткими стенками В некоторый момент времени >0 на всю поверхность верхней пла СТИНЫ воздействует акустическая волна сжатия, интенсивности /(/) Предполагается, что контакт между воздушной средой и пологой пластиной не нарушается, а между наполнителем и упругими пологими пластинами в любой момент времени полное прилипание. Трение между стенкой и наполнителем отсутствует (рис. 39). [c.213]

Рассмотрим задачу о вынужденных колебаниях двух бесконечно длинных вязкоупругих пластин толщиной hi и /гг, скрепленных между собой жесткими стенками, отстоящими друг от друга на равных расстояниях 21. Части пластинок, заключенные между стенками, имеют форму пологой цилиндрической оболочки радиуса для верхней и радиуса R2 для нижней. Пространство между пластинка- [c.220]

Случайные колебания бесконечной пластины с сосредоточенной массой. При действии на пластину, выполненную из линейного вязкоупругого материала и несущую в точке хо сосредоточенную массу М. случайных внешних сил можно записать уравнение колебаний [c.315]

Рассмотрим свободные колебания бесконечно длинной в направлении 0-2 пластины (Ь Предельный переход в соотношениях (3.72) приводит к формуле для безразмерного частотного параметра [c.68]

В книге изложены результаты исследования закономерностей распространения волн и стационарных волновых процессов в упругих телах. Основное внимание уделено освещению тех свойств таких процессов, которые вследствие особенностей отражения упругих волн от границы не имеют аналогов в акустике и электродинамике. С этой точки зрения проведен количественный и качественный анализ волновых полей в полупространстве, составном пространстве, бесконечных слое и цилиндре. Детально исследованы особенности частотных спектров и собственных форм колебаний конечных пластин, в частности раскрыта природа краевого и толщинного резонансов. Показана возможность существования изолированных резонансов в областях типа полуполосы. [c.2]

Второй аналитический подход к построению точных решений граничных задач (1.1) — (1.3), называемый далее методом суперпозиции, основывается на несколько ином способе использования частотных решений уравнений движения. Идейную основу метода можно найти в работе Ламе [209]. Первое применение такого подхода в задачах об установившихся колебаниях прямоугольных пластин описано в работе 1184]. В последующем метод суперпозиции использовался в работах [22, 31, 1981. Возможности метода значительно расширились в связи с исследованием свойств бесконечных систем, возникающих при его применении [38, 48]. [c.162]

Рассмотрим задачу об изгибных колебаниях бесконечной однородной пластины с равномерно движущимся по ней закреплением, обладающим упруго-инерционными свойствами (рис. 5.4). [c.203]

Отметим, что в работе [110] решены задачи дифракции гармонических изгибных волн, возбуждаемых точечным источником вблизи кругового отверстия в пластине, а в работе [129] рассмотрена задача изгибных колебаний бесконечной пластины с круговым отверстием, на участках края которого заданы динамические нагрузки, изменяющиеся по синусоидальному закону. [c.230]

Ограниченные среды (отрезок стержня с закрепленными или свободными концами, струна, пластина и т. д.) представляют собой колебательные системы с распределенными параметрами (бесконечным числом степеней свободы). Собственные колебания таких систем связаны с образованием в них стоячих волн, форма которых зависит от условий отражения на границах среды. Возбудить систему можно кратковременным воздействием на какую-либо ее часть (например, ударом, щипком и т. д.). В результате кратковременного воздействия образуется волновой импульс, который побежит от места своего [c.382]

Представим граничные условия на внешнем крае пластины как шпангоут нулевой жесткости для случая шарнирного опирания и как шпангоут бесконечной жесткости — для защемления. Аналогично нулевой параметр массы и нулевая жесткость на внутренней границе означают свободный край, а бесконечная жесткость с конечной массой соответствует жесткому включению. Собственные частоты колебаний для таких предельных случаев граничных условий на краях кольцевых пластинок определяются аналогичным образом из уравнения (27). Результаты, полученные авторами при различных значениях отношения Ь/а, согласуются с результатами работ [6—8]. [c.27]

Т. А. Миндлина и Н. Л. Оболочкова [77] рассмотрели упругие установившиеся колебания возникающие в бесконечной пластине, ослабленной циклически симметричной системой криволинейных отверстий, под действием пульсирующей нагрузки, заданной на контурах отверстий и удовлетворяющей условию циклической симметрии. Форма отверстий задается функцией г = + еД . Решение задачи строится в виде ряда по малому параметру е. Получаемая при этом в каждом Приближении задача для пластинки с циклически симметричной системой круглых отверстий решается с помощью итерационного процесса. В работе приводятся описание и текст программы на языке АЛ ГО Л-60, а также результаты контрольного счета. [c.301]

В предыдущем разделе была рассмотрена дискретная система (система с конечным числом степеней свободы). Такие системы являются удобными моделями, позволяющими наиболее просто исследовать их динамику. Любая упругая система (стержни, пластинки, оболочки и их сочетание) является системой с бесконечно большим числом степеней свободы (системы с распределенными параметрами) и ее движение описывается уравнениями в частных производных, что несколько затрудняет их исследование. Собственно, если решение ищется в виде разложения по главным формам колебаний, то все осложнения заключаются в определении форм собственных колебаний и если частоты собственных колебаний близки между собой, а для упругих систем типа пластин и оболочек они могут оказаться близкими в учете взаимной корреляции между формами колебаний. [c.79]

Рис. 10.2. Две параллельные пластины, которые имеют площадь и разделены расстоянием а, притягивают друг друга из-за разницы бесконечных энергий нулевых колебаний внутри резонатора и в свободном пространстве

Это весьма удивительный результат разность бесконечных энергий нулевых колебаний при наличии и в отсутствие пластин конденсатора приводит к силе притяжения между этими пластинами. Эта сила возрастает с уменьшением расстояния, а именно, обратно пропорционально четвёртой степени расстояния. Кроме того, мы видим, что сила имеет чисто квантовое происхождение, так как она пропорциональна постоянной Планка h. И ещё, скорость света входит посредством частоты и модовой структуры поля. Интересно отметить, что величина а/с представляет собой время, которое нужно свету, чтобы пройти расстояние между двумя пластинами, то есть, чтобы прозондировать их присутствие. [c.313]

Как уже отмечалось, при продольных колебаниях стержня скорость звука в соответствии с выражением (4-1-4)-равна Е/р. Однако в случае бесконечно широкого упругого тела скорость звука отличается от этого значения. Возьмем для упрощения упругое тело в форме пластины. Пусть давление Г, приложенное в направлении X, приводит к сжатию, а давление Т, приложенное в перпендикулярном х направлении, не вызывает смещения в этом направлении. Деформацию в направлении X находим с помощью выражения (4-2-2) [c.246]

Известно, что при распространении изгибных колебаний в пластине излучение в воду имеет место в том случае, когда длина изгибной волны на пластине больше длины волны в воде. Для бесконечной стальной пластины толщиной 8 мм это происходит на частотах колебаний свыше 25 кгц. [c.397]

Изучим спектр частот собственных колебаний опертой при Л 2 = О, 02 бесконечно пролетной пластины, опирающейся на периодически расположенные жесткие опоры. Сходные задачи рассматривались рядом авторов [1, 2, 6]. Период примем равным двум пролетам. Условия на стыке двух соседних пролетов имеют вид [c.365]

Естественно, что если имеются внешние нагрузки, вращающиеся по периферии пластины со скоростью, близкой к скорости распространения собственных колебаний со, то такие нагрузки вызовут большие резонансные колебания пластины, так же как это имеет место при движении нагрузки по бесконечной балке на упругом основании (см. 5 главы УГ). [c.469]

Уточненными будем называть теории, которые отличаются от обычных классических наличием в дифференциальных уравнениях дополнительных членов, расширяющих в некотором смысле области применения классических теории. Классические теории стержней основаны на гипотезе плоских сечений, пластин — на гипотезах Кирхгофа и оболочек — на гипотезах Кирхгофа—Лява. По существу, в этих теориях применяются простейшие — линейные по поперечной координате аппроксимации и не учитываются упругие поперечные взаимодействия. Классическая теория продольных колебании стержней и теория обобщенного плоского напряженного состояния пластин также являются простейшими аппроксимациями, основанными на предположениях о постоянстве характерных функций по сечению (толщине) и малости поперечных эффектов. Появление уточненных теорий обусловлено тем, что классические теории при решении ряда задач современной техники приводили к заметным погрешностям. Можно сказать, что это является следствием физического и математического несовершенства классических динамических теорий. Эти теории предсказывают, например, бесконечные скорости распространения фронтов возмущений и не улавливают элементарных упругих толщинных эффектов. [c.5]

Это выражение совпадает с результатом, который следует из рассмотрения одномерных изгибных колебаний бесконечной пластины, описываемых уравнением [c.29]

Рассмотрим работу преобразователя на простом примере включения пьезопластины в электрический контур генератора (рис. 1.38, й). Считая пластину бесконечно протяженной в направлении, перпендикулярном х, тем самым не будем учитывать ее колебаний в поперечном направлении (одномерное приближение). Поверхности пластины нагружены средами с входными акустическими импедансами в направлении объекта контроля и Zft в противоположном направлении (там располагают демпфер). Здесь под входным импедансом понимается выражение, учитывающее активное и реактивное сопротивления границы колебаниям пьезопластины по толщине. Формулы для входного импеданса приведены в подразд. 1.4. Они учитывают наличие промежуточных слоев между пластиной и протяженной средой, удовлетворяющей условию (1.57). Такой средой являются расположенный с одной стороны пьезопластины демпфер, а с другой — изделие или акустическая задержка. [c.63]

II двух ему подобных. Решения этих ур-ий для специальных случаев м. б. получены по способу Римана или Пуассона 1г Кирхгофа, также по принципу наложения колебаний Релея. а) Ур-ия (47) проинтегрированы для колебаний в бесконечной упругой среде, для упругих поверхностных колебаний, д.тя колебаний неограниченных пластин, бесконечно длинных цилиндров и струн. Рассмотрены случаи свободных колебаний (без участия внешних воз-бунсд ющих сил) и вынужденных (с участием внешних возбуждающих сил). Для плоских колебаний, в к-рых нет объемных сил (упругое тело не имеет веса), ур-ие (47) получает вид [c.216]

Обратимся теперь к спектру частот осесимметричной системы (5 л = оо). Пусть это касается изгибных колебаний круглой пластины, принадлежащих к любой строке п (см. рис. 1.3), при рассмотрении этой пластины как системы, имеющей- ограниченный порядок симметрии S. В этом случае частотная функция рп=рп (ига) пластины представится в виде двух спиральных кривых, имеющих общее начало и общую горизонтальную касательную на образующей ти=0, которые накручены на цилиндрическую поверхность зеркально-симметрично в протнвополоншых направлениях-и уходят в бесконечность. При таком представлении спектра пластины на образуюпщх цилиндрической поверхности та=0 и /па=л разместится бесчисленное множество точек самопересечения рассмат- [c.13]

В экранир. волноводных системах (металлич. радиоволноводы, акустич. трубы, упругие пластины, звуковые каналы в водоёмах с твёрдым дном и т. д.) существует бесконечное счётное множество мод, ноля к-рых локализованы в поперечных сечениях отражающими границами (экранами). Структура мод определяется рмой поперечных двумерных нормальных колебаний к = О, д дг = 0), а критич. частоты мод — собств. частотами этих колебаний л = 1, 2,. .. [c.361]

Анализ закритического поведения аэроуп-ругих систем важен, так как во многих случаях превышение критической скорости флаттера не вызывает мгновенного разрушения конструкции, а приводит к установившимся колебаниям. Характеристики этих колебаний (амплитуды, и частоты) используют для оценки времени функционирования конструкции до разрушения. Необходимо рассматривать конечные деформации и геометрическую нелинейность. Наряду с геометрическими нелинейностями для расчета критических параметров потери устойчивости и поведения конструкции при флаттере в ряде случаев важен учет неупругих свойств материалов и аэродинамических нелинейностей. Учет нелинейных факторов позволяет, в частности, обнаружить статические и динамические формы потери устойчивости при немалых возмущениях, которые могут реализоваться при меньших значениях сжимающих нагрузок и скоростей потока, чем те, которые получаются на основе линейной теории. В тонкостенных конструкциях конечные прогибы вызывают растягивающие усилия в срединной плоскости. Так, рассматривая в качестве модели обшивки бесконечно длинную пластину, лежащую на упругом основании и обтекаемую газом, приходим к уравнению [c.523]

Второй путь построения приближенных теорий заключался в введении гипотез физической природы относительно характера распределения смещений и напряжений. Использование вариационных принципов приводило к искомым уравнениям движения и граничным условиям. Таким образом были построены уточненные уравнения продольных и поперечных колебаний, учитывающие влияние инерции поперечного движения (Рэлей (1878)), теория изгибных колебаний круглой пластины (Кирхгоф (1852)), различные варианты теории цилиндрических и сферических оболочек [123]. С. П. Тимошенко (1921) показал, что учет деформации сдвига в поперечном сечении также важен при поиске адекватных моделей поперечных колебаний стержней. Отметим, что поправки на скорость распространения волн в бесконечном цилиндре, получаемые из уточненных теорий колебаний стержней, совпадали с несколькими первыми членами разложения точных решений Похгаммера — Кри. [c.14]

Механические резонаторы в виде тонких круглых дисков часто используются при возбуждении осесимметричных колебаний в окрестности основной частоты толщинного резонанса. Уже первые опыты применения таких резонаторов показали необоснованность надежд на то, что в случае малой относительной толщины главная толщинная форма колебаний будет иметь близкое к поршневому движение плоских поверхностей диска [75, 264]. Кроме усложнения форм колебаний, значительные трудности встретились при объяснении структуры спектра собственных частот. Как отмечается в работе [121, с. 164], ... хотя при конструировании пьезоэлектрических резонаторов возникает много сложностей, ни одна из них не оказывается столь трудно преодолимой, как определение многочисленных мод колебаний в кристаллических пластинах. Первые опыты практического применения высокочастотных резонаторов с колебаниями по толщине были почти безуспешными вследствие казавшегося бесконечным ряда нежелательных сигналов вблизи основной модЫ колебаний . Наличие цилиндрических граничных поверхностей, особенности волноводного распространения в упругом слое, специфика отражения упругих волн от свободной границы обусловливают появление большого числа резонансов, сосредоточенных вблизи основного толщинного. Отмеченные обстоятельства явились стимулом к проведению многочисленных исследований, целью которых было получение данных для лучшего понимания природы толшин-ного резонанса в диске. [c.211]

Задача о колебаниях произвольной решетки, как уже указывалось, решается проще всего (квадратурой) в квазистационарной постановке т. е. без учета вихревых следов в потоке за профилями. Вычисления, выполненные для решетки пластин, показали, что такое рассмотрение практически допустимо (вихревые следы мало влияют) в решетках большой густоты а также при малых частотах, если сдвиг фаз а О (С. М. Белоцерковский и др., 1961 Г. С. Самойлович, 1962 Д. Н. Горелов, 1964). Аналогично можно решить эту задачу, еслц принять другую модель вихревого следа за профилями в виде бесконечного разреза известной формы (Г. Ю. Степанов, 1962), стационарного или деформирующегося в соответствии с колебанием профиля. [c.140]

Числа Бехмана для ТТ -волн. Рассмотрим бесконечную пластину толщиной 2 Нс полосой электрода вдоль оси (рис. 3). Ширина электрода 2а, толщина. При выполнении условия захвата энергии под электродом возбуждается стоячая акустическая волна, вне электрода колебания экспоненциально затухают. В связи с вгим выражения для смещений частиц на соответствующих участках пластины таковы [c.97]

Суп1 ествуют также ячейки с бесконечным числом полюсов, наир, пластины или мембраны, сонрикасаю-ншеся с соседними но всей плоскости, отрезки трубы (рис. 2, и), а также рупоры, ответвители (рис. 2,к, м), объемные резонаторы с отверстиями для соединений с соседними резонаторами и т. н. Колебания на выходах и входах таких ячеек задаются ф-циями Фвх( У> /) и Фв 1х( У< / )> где ф(х, у, I = сош 1) — формы колебаний ячеек на входах и выходах. Н. в. в таких цепочках имеют вид [c.436]

В данной работе развивается метод расчета многопролетных конструкций регулярной структуры, родственный по идее известному методу начальных параметров [3]. Метод основан на орто-гонализации систем уравнений в конечных разностях. Развитый метод применяется для решения задач о собственных колебаниях неразрезных многопролетных пластин на равноотстоящих или периодически расположенных опорах. Показано, что сложность вычислений не увеличивается с ростом числа опор. Обсуждаются свойства спектра частот бесконечно пролетной пластины на периодической системе опор. [c.360]

При каждом фиксированном значении /с,/ , т. е. при заданных частоте и радиусе R цилиндра, уравнение (1.135) имеет конечное число вещественных корней --ч Рп-Каждый корень соответствует распространяющейся нормальной волне определенного номера. На рис. 1.27 приведены зависимости безразмерной фазовой скорости d t = = ktRIp от kiR для первых четырех нормальных волн, а на рис. 1.28 — распределения смещений с глубиной в первых трех волнах при 113. Как видно из рисунков, дисперсионные кривые похожи на соответствующие кривые для поперечных нормальных волн в пластинах [86], а смещения во всех волнах имеют поверхностный характер. Точки пересечения дисперсионных кривых с лучами р = 1,2,3... соответствуют собственным колебаниям цилиндра, когда по его окружности укладывается целое число длин волн. Отметим, что вопрос о физическом смысле решения (1.134) при О < р < 1 (область дисперсионных кривых выше луча /) = 1) требует дополнительного исследования, поскольку в этой области напряжения в нормальных волнах при г = О обращаются в бесконечность. [c.83]

С точки зрения оценки практического значения уравнения продольных колебаний и уравнений С. П. Тимошенко эта утрата, однако, не очень существенна. Как будет видно из дальнейшего, в задачах о распространении деформаций в пластинах и стержнях интерес представляют не столько истинные фронты, сколько квазифронты, на которых напряжения хотя и не терпят разрыв, но имеют существенно большие градиенты. Энергия волнового пакета, непосредственно следующего за истинным фронтом, на достаточно большом расстоянии от источника возмущения х > 1) относительно мала. Подавляющая же часть энергии следует за квазифронтом. Это в значительной мере снижает интерес к описанию картины движения в окрестности фронта и заставляет проявлять внимание к области, где сосредоточена большая часть энергии движения. Последнее необходимо иметь в виду при оценке возможностей приближенных уравнений динамики пластин и стержней. Более того, заботясь преимущественно о правильной оценке распространения энергии, нельзя безоговорочно отвергнуть даже уравнение Бернулли—Эйлера (35.17) как аппарат для изучения распространения изгибных деформаций вдоль стержней лишь на том основании, что в нем принимается ах = аз = О, т. е. скорости распространения фронтов считаются бесконечно большими. В следующих параграфах приводятся примеры, иллюстрирующие высказанные выше положения и проливающие свет на степень точности и на области применимости различных приближенных вариантов уравнений динамики стержней и пластин. Попутно приводятся и некоторые количественные данные относительно распространения самоуравновешенных возмущений. [c.233]

J. Pres ott [1.283] (1942) рассмотрел также колебания пластины (плоская деформация) и колебания кругового цилиндра на основе уравнений теории упругости и подробно исследовал предельные случаи дисперсионных уравнений с целью сравнения с приближенными теориями. Были рассмотрены также и напряжения. Анализ обнаруживает, что колебания стержней, как поперечные, так и продольные, при коротких длинах волн очень сильно изменяют свой характер и при бесконечно коротких длинах волн вырождаются в поверхностные волны Релея. Установлено, н пр мер, что при малых с [c.32]

Результаты, относящиеся к стержням, обычно легко распространяются на пластины. В статье Я. С. Уфля1нда [2.59] ( 948) выводятся уравнения поперечных колебаний пластин с учетом инерции вращения и сдвига на основе модели Тимошенко. Там же рассмотрены приложения этих уравнений к исследованию реакции бесконечной пластины на ударное сосредоточенное возбуждение. Оказалось, что построенная двухмодовая аппроксимация, так же как и в случае стержней, является гиперболической и олисывает распространение двух разрывов. [c.116]

В работе Н. О. М1п(111п а1И И. Оегез1е у1с2 а [2.157] (1955) в постановке [2.152] исследуются сдвиговые и изгибные колебания бесконечной пластины, прямоугольной свободно опертой и с двумя свободными и двумя опертыми краями. Уравнения для кристаллической пластины моноклинной системы с осью симметрии ох имеют вид [c.126]

И. Т. Селезов и Г. А. Кильчинская [2.53] (1964) методом степенных рядов вывели уточненные уравнения продольных и поперечных колебаний бесконечной термоупругой пластины. Они исходили из уравнений связанной термоупругости для слоя [c.141]

В уточненной теории колебаний анизотропных пластин R. D. Mindlin [2.152] (1952) применил аналогичный подход. Из сравнения решения, описывающего сдвиговые по толщине колебания пластины, с точным решением для бесконечного слоя получена формула для коэффициента сдвига [c.148]

К. К. Зоос1тап 2.97] (1961) рассмотрел колебания бесконечной упругой пластины с учетом реакции окружающей е среды. Он приближенно исследовал отражение от пластины плоской звуковой гармонической волны, падающей под углом 0 на пластину, исходя из метода степенных рядов и следуя работам Р. 5. Ерз1е1п а [3.84] и Е. Н. Кеппагё а [3.118]. Было введено предположение о том, что искомые функции можно разложить в сходящиеся ряды Тейлора. Исходная задача была сведена к решению четырех приближенных уравнений. На границе раздела двух сред удовлетворялись условия равенства нормальных прогибов и нормальных напряжений и условие отсутствия касательных напряжений. Разлагая в точном решении трансцендентные функции в ряды, автор показал, что с точностью до членов первого порядка малости по толщине приближенные и точные решения совпадают. В то же время приближенный подход существенно упрощает решение задачи и поэтому является выгодным в задачах акустики. [c.151]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...