Метод наименьших квадратов — Применени

Решение. Сущность метода наименьших квадратов в применении к нашей задаче в кратких чертах заключается в следующем. [c.20]

Применение метода наименьших квадратов становится особенно простым, если искомая эмпирическая формула представляет собой линейную функцию. [c.94]

Покажем на примере, к каким грубым ошибкам может привести недостаточно критичное применение метода наименьших квадратов к быстро меняющимся функциям. Допустим, известно, что искомая зависимость представляется кривой, имеющей один острый максимум и медленно спадающие крылья", как это представлено на рис. 21. Получен ряд экспериментальных точек, измеренных с одинаковой точностью. Очевидно, что небольшое число точек, расположенных вблизи максимума, будет вносить малый вклад в величину 2 ( 2/ 2/ Вследствие этого минимум суммы обеспечит хо- [c.78]

О статистических методах обработки результатов испытаний. Результаты испытания на надежность при достаточном числе данных обрабатываются методами математической статистики. Характеристики надежности изделия получают по полной выборке — если известна наработка (срок службы) до отказа для всех испытываемых изделий (все реализации являются полными), или п6 сокращенной выборке (когда имеются полные и условные реализации). При этом в зависимости от поставленной задачи (например, надо или нет оценивать надежность изделия при значениях ресурса, больших, чем установленное ТУ), от объема и качества статистических данных, полученных при испытании, могут применяться различные варианты статистической обработки результатов. Если нет необходимости (или возможности) в определении вида закона распределения сроков службы (наработки) до отказа, то оценивается вероятность безотказной работы изделия для фиксированного значения t = Т, т. е. точечная оценка (см. выше). Если из построения модели отказа известен вид функции распределения / (/), то по результатам испытания определяются параметры этой функции. При неизвестном законе распределения на основании опытных данных строят гистограмму или полигон распределения и высказывается гипотеза о применимости того или иного закона распределения. Для подбора теоретического распределения, достаточно близко подходящего к полученному эмпирическому, часто применяют метод наименьших квадратов и метод максимума правдоподобия [183]. В инженерной практике также широко применяются графические методы выявления закона распределения с применением вероятностной бумаги , на которой нанесена специальная сетка для наиболее распространенных законов распределения [186]. [c.500]

Получение таких данных с точностью, достаточной для проведения практических расчетов, связано с применением того или иного вида аппроксимации. Наиболее перспективным является использование сплайн-аппроксимации, представляющей относительно новое направление в теории приближения функций,-дающей существенно большую точность при численном дифференцировании диаграмм деформирования по сравнению с расчетами с использованием метода наименьших квадратов и других аналогичных методов, связанных с аппроксимацией полиномом с одними и теми же коэффициентами во всей области определения функции. [c.122]

Применение классического метода наименьших квадратов для оценки коэффициентов трендовых кривых, описываемых уравнениями, нелинейными по параметрам, приводит к ряду вычислительных трудностей, связанных с нелинейностью системы уравнений, из которой определяются неизвестные коэффициенты. Для решения таких систем применяют итеративные методы, часто обладающие плохой сходимостью. [c.33]

Однако применение данного критерия приводит к большему среднеквадратичному отклонению, чем метод наименьших квадратов. [c.63]

Наиболее вероятные значения находятся по методу наименьших квадратов, конечно если экспериментальные данные оправдывают применение этого метода. [c.30]

Метод наименьших квадратов может быть применен к оценке ошибки определения средней температуры газохода в случаях, когда эти температуры имеют отчетливо выраженную пространственную закономерность. Построив кривые изменения температуры по осям газохода, определяют свойственные этим кривым средние значения температуры, дисперсию и стандарт Sx—VD. Дальнейшие операции выполняются так, как это указывалось в 4-6. Так как выборочная дисперсия D, определенная относительно кривой, всегда меньше выборочной дисперсии s , взятой по отношению к средне.му арифметическому значению температуры (см. 4-6), точность ошибки при обработке методом наименьших, квадратов оказывается выше. [c.91]

Необ.ходимо определить такие значения Ри, при которых достигаются минимальные значения е,-. Идеальным было бы, когда е = О, однако при I < К это недостижимо. Таким образом, пе обходимо сформулировать функцию качества Ф,. минимизация которой определит оптимальные значения Рп. Весьма распространенным является применение метода наименьших квадратов [2], при этом [c.52]

Для определения соответствующих постоянных был применен метод множественной корреляции, расчет производился на цифровой ЭВМ Минск-22 с использованием метода наименьших квадратов. [c.192]

При подготовке третьего издания книги автор исходил из того, что в теплотехнических расчетах находит все возрастающее применение современная вычислительная техника. Зависимость изобарной теплоемкости отдельных газов от температуры была с высокой степенью точности аппроксимирована на ЭЦВМ методом наименьших квадратов. Отклонения найденных по аппроксимирующим уравнениям значений изобарной теплоемкости от новейших значений, определенных по спектроскопическим данным, не превышают нескольких сотых долей процента. Выражения для температурной зависимости других термодинамических величин (энтальпии, внутренней энергии и т. д.) были получены на основе известных термодинамических соотношений. [c.3]

Обработав по методу наименьших квадратов большое число экспериментальных данных по решеткам турбин современных газотурбинных двигателей, В. Л. Эпштейн нашел наиболее вероятные величины 5 = 0,058 и С = 0,265. В результате формулу (55.19) в применении к таким решеткам можно использовать в форме [c.414]

Определение констант эмпирического уравнения состояния по экспериментальным данным о термодинамических свойствах реального газа сводится к применению обобщенного метода наименьших квадратов. Минимизируемый функционал в случае обработки разнородных данных (термических, калорических, акустических) и наличия дополнительных условий (критические условия, правило Планка — Гиббса) имеет вид [c.25]

Применение метода наименьших квадратов для оценивания параметров дискретной модели (130) и покомпонентная минимизация критерия приводят к уравнениям типа (123) со следующими матрицами и векторами [c.368]

Необходимые условия минимума квадратичной формы (8.16) при применении метода наименьших квадратов для линейных моделей (8.15) при отсутствии каких-либо ограничений на параметры модели эквивалентны системе нормальных уравнений МНК — системе линейных алгебраических уравнений вида [c.471]

Использование характеристик случайных процессов для обработки экспериментальных данных о нагруженности деталей. Обобщенный нагрузочный режим элементов шасси представляет собой совокупность отдельных элементарных случайных стационарных и нестационарных процессов, характеризующих как установившееся, так и неустановившееся движение автомобиля. Для большинства деталей трансмиссии и ходовой части при установившемся движении, которое составляет основную часть пробега автомобиля, нагрузочные режимы являются нормальными стационарными случайными процессами. Нестационарные случайные процессы можно привести к стационарным путем применения к ним операций исключения трендов среднего значения, дисперсии и частоты. Эти операции основаны, главны м образом, на использовании метода наименьших квадратов, фильтрации, сглаживании, дифференцировании. [c.187]

Как правило, число условий больше, чем число свободных параметров. Возможны несколько способов решения. Наиболее рациональный — это применение метода наименьших квадратов, который позволяет принять во внимание аберрации при любых промежуточных значениях фокусного расстояния и призов [c.308]

Численные значения коэффициентов, входящих в уравнения (11.49) и (11.50), определялись по методу наименьших квадратов для пяти точек, взятых на диаграмме деформирования (табл. 9). В случае применения этих коэффициентов зависимости (11.47) и (11.48) описывают диаграммы деформирования с весьма малой погрешностью. Затем с использованием уравнений (11.49) и (11.50) строились номинальные диаграммы деформирования, которые на рис. 83 и 84 показаны в виде штриховых линий, и по ним с применением описанной выше методики определялись величины пределов пропорциональности е ц, уйц и относительных модулей упрочнения Ёт, G . [c.109]

В качестве примера применения метода наименьших квадратов рассмотрим задачу об интерпретации результатов калориметрических измерений [c.16]

Можно показать ([3.13], [3.12]), что метод наименьших квадратов, примененный к устойчивому разностному уравнению, линейному по параметрам, отвечает указанным требованиям, если выполняются следующие условия [c.357]

Применение метода наименьших квадратов с модифицированной моделью (25.3-11) позволяет получить несмещенные оценки. [c.410]

В данной главе обсуждаются вопросы применения подобных фильтров в системах управления. Если же спектры полезного сигнала и шума накладываются друг на друга, для выделения сигнала должны использоваться статистические методы оценивания. В этих условиях принципиально невозможно получить абсолютно точные значения сигналов и целью указанных методов является лишь минимизация воздействия помех. Первым фильтром такого типа стал предложенный в 1940 г. для непрерывных сигналов фильтр Винера, в основе которого лежал метод наименьших квадратов. Реализация этого фильтра столкнулась, однако, с существенными трудностями. Новым этапом в развитии теории фильтрации явился фильтр Калмана, первое сообщение [c.456]

Существует несколько предположений о том, как преодолеть эту трудность. Записывая распределение осевого потенциала как взвешенную сумму вкладов от системы электродов и полюсных наконечников, можно с помощью матрицы обратного преобразования или подгонки методом наименьших квадратов установить геометрические формы, способные создавать желаемое осевое распределение ([349]. По существу это метод, обратный методу зарядовой плотности (разд. 3.3.4), но практического применения он не находит. [c.533]

Обработка результатов испытаний проводится с применением методов математической статистики. Постоянные величины Хо, и я а рассчитываются по методу наименьших квадратов. [c.179]

Традиционным, известным путем минимизации систематических и случайных погрешностей оиределепия 5 и о)о по дифференциальному уравнению является исиользование метода наименьших квадратов для множества отсчетов фазовых переменных в моменты времени /, в общем случае неэквидистантные. В случае известного вида и параметров входного воздействия Хй можно после применения к уравнению (Г) Z-преобразования получить разностную схему для определения динамических характеристик, не требующую измерения X,i для ряда типовых воздействий. Так, например, при [c.8]

При решении задачи оценивания параметров состояния линейной МС по данным процессов на входе и выходе (случай а) u t) 0, R [q (i)]=0 предлагается использовать трехэтапный метод наименьших квадратов. Основная идея этого метода состоит в применении аналитических зависимостей между вектором параметров состояния X и вектором параметров ФДМ а. [c.133]

Зп, то сумма квадратов этих определителей равна Л. В вышеуказанной статье я дал прекразное применение этой теоремы, впервые опубликованной Коши, к методу наименьших квадратов. В случае, когда точка двигается по данной поверхности, уравнение этой поверхнозти = О есть единзтвенное условие поэтому частные определители, из квадратов которых может быть составлен И, приводятся к [c.123]

Перегудов В. Н. Метод наименьших квадратов и его применение а иоследаваниях. М., Статистика , 1965. [c.135]

Лит. Л и н н а к Ю. В., Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений, 2 изд., М., 1962 Клепиков Н. П., Соколов С. Н., Анализ и планирование экспериментов методом максимума правдоподобии, М,, 1964 Худсон Д., Статистика для физиков, пер. с англ., 2 изд., М., 1970 Pao С. Р., Линейные статистические методы и их применения, пер. с англ., М., 1968 Статистические методы в вкспериментальной физике, пер. с англ., М., 1976. В. П. Жигунов, С. В. Клименко. [c.239]

Аппроксимация составляет центральную часть проблемы кинематического синтеза [1]. Даже когда ей присваиваются такие термины, как точный синтез или прецизионный синтез , конечным результатом явится шарнирный механизм, основанный на аппроксимации по отношению к желаемому движению, пути или функции. Эта, так называемая точная теория аппроксимации, развивается начиная с работ Бурместера (1876) [2, 3] и уже хорошо разработана. За последнее десятилетие она подверглась значительному развитию в работах Фреденштайна, Сандора, Роса и Боттема [4—6]. Дополнительно представляется возможным рассмотреть любой тип аппроксимации как неотъемлемую часть кинематической теории. В этом направлении интересны оригинальные труды Чебышева (1850—1860), предшествуюш ие работам Бурместера, упомянутым выше. Несколько примеров применения теории Чебышева можно найти в собрании его работ [7], а также в книге Блоха [8]. Революционный характер работ Чебышева определился идеей использования метода наименьших квадратов, искусно введенного Лежандром (1806) и Гауссом (1809) [9, 10]. Постановка вопроса в то время была следующей если Е это функция ошибки, то можно методом наименьших квадратов отыскать минимум или постоянную величину [ E da. Лежандр и Гаусс решали эту задачу в предположении, что Е линейно зависит от параметров. [c.166]

Несмотря на то, что имелись возможности для рассмотрения этой задачи без применения методов наименьших квадратов в годы, предшествовавшие Чебышеву, все усилия в этом направлении были тщетными. Одна из наиболее ранних попыток восходит к Лапласу, в его Me anique eleste (1799). В 1850 г. Чебышев успешно решает задачу по минимизации в каком-нибудь интервале ошибки Е. Это было действительно выдающимся исследованием Чебышева в области кинематики. В начале столетия [11—16] эти усилия были обобщены термином минимизации нормированной [c.166]

При описании программных средств АСНИ изложены сведения об операционных системах общего назначения и реального времени, а также о средствах и языках программирования. В разделе приводится классификация инструментальных программных сред и перспективнь[х языков прикладного программирования. Достаточно подробно рассмотрены вопросы статистического анализа экспериментальных данных как математической основы современного автоматизированного эксперимента. Изложены методы обработки опытных данных, способы оценивания статистических характеристик случайных величин и процессов. Описан метод наименьших квадратов, который может служить примером применения методов регрессионного анализа для определения функциональной зависимости между параметрами по результатам их измерений. Раздел завершается описанием элементов теории планирования эксперимента, а также сведениями о ряде современных программных продуктов для статистического анализа данных. [c.9]

Таким образом, применение метода наименьших квадратов при колебательном расчете с исследованием системы линейных уравнений на обусловленность и выбором хорошо обусловленной системы позволяет получить набор силовых постоянных, хорошо описывающий колебательные спектры различных изотонозамещенных молекулы бутадиена-1,3. [c.140]

К Прибору поставляется вычислительная приставка, позволяющая нанести на диаграммный диск базовую окружность или эллипс, вычисленные по методу наименьших квадратов. Имеется также ряд других дополнительных устройств, расширяющих область применения прибора. К этим устройствам относятся механизм подъема шпинделя, механизирующий вертикальный подъем шпинделя на длине 100 мм, облегчающий проверку оси контролируемого изделия относительно направления вертикального перемещения шпинделя и позволяющий фиксировать осевые координаты проверяемых поперечных сечений с погрешностью не более 1,25 мкм (по заказу поставляется переключатель, позволяющий записывать некруглость в прямоугольных координатах с помощью самописца профилографа-профилометра Талисерф ) регулируемый предварительный усилитель для изменения радиального увеличения от 0,5 до 2 , что расширяет диапазон увеличений до значений от 25 до 20 ОООХ. [c.487]

Условие, согласно которому корреляция между элементами последовательности ошибок е(к) должна отсутствовать, существенно ограничивает возможность применения метода наименьших квадратов для идентификации сильно зашумленных объектов. Для получения несмещенных оценок параметров необходимо, чтобы формирующий фильтр шума имел вид [c.357]

Применение рекуррентного метода наименьших квадратов, опи сываемого соотношениями (23.2-14) — (23.2-17), к уравнению (23.2 32) было бы возможно при известных значениях (к—1),. . [c.360]

На рис. 30.3.3 представлены результаты, полученные с применением многомерного адаптивного регулятора [25.33]. Регулятор представляет собой сочетание рекуррентного метода наименьших квадратов (для многомерной модели) с регулятором состояния, синтезируемого по минимуму квадратичного критерия качества РМНК-КК1/РС. В соответствии с рис. 30.3.3, а вначале на оба входа объекта управления подаются два различных ПСДС, чтобы с помощью идентификации разомкнутого контура получить начальное приближение модели объекта для адаптивного регулятора, который включается в контур управления через 35 мин. Система сразу приходит в установившееся состояние без наличия статической ошибки. Качество управления при ступенчатом изменении двух уставок, как показывают переходные процессы на рис. 30.3.3, г, очень хорошее. [c.505]

От ЛИШНИХ стационарных точек можно избавиться, прибавляя к функционалу интегралы от квадратов (или перекрестных произведений, если граничные условия парные) левых частей граничных условий, естественных для функционала. Исключение составляет случай, когда допустимые функции удовлетворяют уравнению во всем объеме V. В этом случае свойством достаточности обладают функционалы, представляющие собой просто сумму интегралов (с произвольными весовыми коэффициентами) от квадратов левых частей всех граничных условий, которым допустимые функции не удовлетворяют. Для самосопряженных задач эти же функционалы возникают в методе наименьших квадратов. Применение метода Ритца к таким функционалам приводит к матрицам с попарно близкими (сливающимися в пределе) собственными значениями. [c.183]

Первая из них связана с применением метода наименьших квадратов, что, как известно, приводит к процедуре приближения по Ритцу. [c.64]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...